特征函数的性质及应用
特征函数的性质及其应用
摘 要：本文讨论了特征函数概念，特征函数的若干性质并进一步探讨特征函数在 各个方面的应用以及它们的证明过程。
关键词：特征函数；随机变量
Some properties of characteristic function
and its application
Class3, 2008, Department of Mathematics XueEnde
Abstract : This paper discusses the concept of characteristic function characteristic
function, some properties and further explore the characteristic functionVarious aspects of the application as well as their process of proof
Keywords : The characteristic function of random variables;
1引言
特征函数在概率统计领域中是研究极限定理的强有力的工具，虽然它的作用不像分
布函数那样明显，但是它却有着很好的分析性质。广大数学工作者对此也进行了深入的探讨，得到了特征函数的一些性质以及在各个方面中的应用等一系列成果。它不是单一的学科，与其它学科也有着重要的联系，特别是在物理学上各种热力学关系都以特征函数为基础，所以它在热力学中占有很重要的地位。鉴于此，我们有必要进一步讨论特征函数的相关性质。本文将主要针对特征函数的性质和应用进行分开讨论。
2特征函数的定义及性质
为了讨论方便，先给出特征函数的概念
2.1基本概念 我们称ϕ(t ) =Ee it ξ
, -∞(
上面介绍了特征函数的概念，接下来讨论一下特征函数的一些性质.
2.2特征函数的性质 性质1 令ξ1,
那么ξ1+ξ2的特征函数ξ2的特征函数分别为ϕ1(t ), ϕ2(t ), 且ξ1与ξ2相互独立，
为ϕ(t ) =ϕ1(t ) ϕ2(t ) .
证明 设ξ1, ξ2是两个相互独立的随机变量，则ξ1, ξ2的特征函数
1
2
1
ϕ1(t ) =Ee it ξ, ϕ2(t ) =Ee it ξ中的e it ξ与e it ξ也相互独立. 由数学期望的性质可得
2
ϕ(t ) =Ee it (ξ+ξ) =E (e it ξ⋅e it ξ) =Ee it ξ⋅Ee it ξ=ϕ1(t ) ϕ2(t ), 故性质1得证.
1
2
1
2
1
2
性质2 令随机变量ξ存在有n 阶矩，那么ξ的特征函数ϕ(t ) 可以微分n 次，且若k ≤n , 则
ϕk (0)=i k E ξk .
d k itx k k +∞k k itx
x dF (x )
dt
k
导n 次，于是对0≤k ≤n ，有ϕ(t ) =
⎰
+∞k -∞
i x k e itx p (x ) dx =i k E (ξk e it ξ)
令t=0，即ϕk (0)=i k E (ξk ) .
+
性质3 若ϕ(t ) 是特征函数，则（1）ϕ(-t ) ，（2）ϕ(t ) , （3）[ϕ(t ) ](n ∈N ) 也是特征
2
n
函数.
证明 （1）若ϕ(t ) 是随机变量ξ的特征函数，那么ϕ(-t ) 可以看作是随机变量（-ξ）的特征函数.
（2）若ξ1与ξ2独立同分布，其特征函数为ϕ(t ) ，那么ϕ(t ) =ϕ(t ) ϕ(-t ) 是随机变量ξ1-ξ2的特征函数.
（3）若ξ1, ξ2, , ξm 独立同分布，其特征函数为ϕ(t ) ，那么[ϕ(t ) ]是随机变量ξ1+ξ2+ +ξm 的特征函数.
性质4（唯一性）随机变量ξ的分布函数F (x ) 仅由特征函数ϕ(t ) 决定. 证明 设x 是任取的F (x ) 的连续点. 令z 设在F 的连续点趋近-∞，则有
1
F (x ) =lim lim
z →-∞A →∞2π
n
2
⎰
A -A
e -itz -e -itx
ϕ(t ) dt . it
根据分布函数左连续，并且F 的连续点在直线上稠密， 即对每个x ∈(-∞, +∞) 有F 的连续点x m
性质5 当且仅当ϕ(t ) =e iat 时，函数ϕ(t ) 与
1
都是一个特征函数. ϕ(t )
证明 若ϕ(t ) 与
1
都是特征函数，设随机变量ξ1与ξ2相互独立，且ξ1与ξ2的特ϕ(t )
11
. 因为ξ1+ξ2的特征函数为ϕ(t ) =1，所以
ϕ(t ) ϕ(t )
征函数分别是ϕ(t ) 和
P (ξ1+ξ2=0) =1. 故有
F (x ) =P (ξ1
.
2
因此必存在常数a , 使得
⎧0x ≤a
F (x ) =⎨
⎩1x ≥a
所以ξ服从单点分布P (ξ=a ) =1, 即ϕ(t ) =e iat .
1
=e -iat 也是特征函数. ϕ(t )
反过来，若ϕ(t ) =e iat ，则
所以当且仅当ϕ(t ) =e iat 时，ϕ(t ) 与
1
都是特征函数. ϕ(t )
性质6 设η=a ξ+b （a , b 是任意常数），记η在Y =Z 时条件特征函数为ϕk (t ) ，则
ϕk (t ) =e ibt ϕk (at ) .
证明ϕk (t ) =E (e it (a ξ+b ) /Y =k ) =E (e itb ξ/Y =k ) e itb =e itb ϕk (at ) . 3 特征函数的应用 3.1在证明极限定理的应用
定理1 （辛钦大数定律）设ξ1, ξ2, 是一列独立分布的随机变量，且数学期望存在
1n p
，则对任意的ε>0，有∑ξi −−→a . E ξi =a (i =1, 2, )
n i =1
证明 因为ξ1, ξ2, 具有一样的分布，所以它们也有一样的特征函数. 我们把这个特征函
数记为ϕ(t ) ，又由于E ξi =a 存在，从而特征函数ϕ(t ) 有展开式ϕ(t ) =ϕ(0)+ϕ'(0)+ο(t )
1n t t ⎤⎡t ⎤⎡
再由独立性知∑ξi 的特征函数为ϕ() =1+ia +ο().
⎢⎢n i =1n n ⎥⎣n ⎥⎦⎣⎦
m m
t t ⎤⎡t ⎤⎡
对任意t 有lim ϕ() =lim 1+ia +ο()=e iat .
n →∞⎢n →∞⎢n n ⎥⎣n ⎥⎦⎣⎦
已知e 是退化分布的特征函数，对应的分布函数为I (x -a ) .
iat
m m
1n
根据连续性定理∑ξi 的分布函数弱收敛于F (x ) ，
n i =11n p
因为a 是常数，则有∑ξi −−→a .
n i =1
定理2 （林德贝格——勒维定理）若ξ1, ξ2, 是一列独立同分布的随机变量，且
E ξk =a , D ξk =σ2(σ2>0) k =1,2,
则有lim p n →+∞∑ξ
n
k
-na
≤x ) =
x
-∞
e dt .
-
t 22
证明 设ξk -a 的特征函数ϕ
(t ) ∑ξ
n
k
-na
⎤⎡
⎥. ⎢ϕ=
⎣⎦k =1n
n
又因为E (ξk -a ) =0, D (ξk -a ) =σ2, 所以ϕ'(0)=0, ϕ''(0)=-σ.
2
t 212222
于是特征函数ϕ(t ) 的展开式ϕ(t ) =ϕ(0)+ϕ'(0)t +ϕ''(0)+ο(t ) =1-σt +ο(t ) .
22⎤⎡t 2t 2⎤⎡
⎥=⎢1-+ο() ⎥. 从而对任意固定的t
有⎢ϕn ⎦⎣⎦⎣2n
而e
-t 2
2
n
n
是N (0,1)分布的特征函数，从而定理得证.
3.2在计算数字特征上的应用.
例 求N (μ, σ) 分布的数学期望与方差. 解 根据N (μ, σ) 分布的函数ϕ(t ) =e
k
k
22
i μt
σ2t 2
2
,
2
2
2
2
再由性质2ϕ(0)=ikE ξ知iE ξ=ϕ'(0)=i μ, i E ξ=ϕ''(0)=-μ-σ. 因此E ξ=μ, D ξ=E ξ-(E ξ) =σ. 3.3在证明函数的随机变量和分布中的应用.
2
2
2
利用归纳法：我们可以把性质1进行推广到n 个独立随机变量的场合，令ξ1, ξ2, , ξn
为n 个相互独立的随机变量，它们所对应的特征函数为ϕ1(t ), ϕ2(t ), , ϕn (t ), 则
ξ=∑ξi 的特征函数为ϕ(t ) =∑ϕi (t ).
i =1
i =1
n n
例 设ξi (i =1,2, , n ) 为n 个相互独立的随机变量，且它们服从N (μi , σ2) 分布的正态随机变量，试求ξ=
∑ξ
i =1
n
i
的分布.
解 由ξi 得分布为N (μi , σ) ，所以它们对应的特征函数为ϕ(t ) =e
n
2
i μi t
σi 2t 2
2
.
我们根据特征函数的性质ϕ(t ) =
∑ϕ(t ) 可知ξ的特征函数
i i =1⎡n ⎤
i ⎢μi ⎥t ⎢i =1⎦⎥⎣
ϕ(t ) =∑ϕi (t ) =Ee
i =1
n
i μi t
σi t
2
2i
22
=e
∑
1n 22
+(∑σi ) t . 2i =1
而它却是N (
∑μ, ∑σ
i i =1
i =1
n n
) 分布的特征函数.
n
n
从而根据分布函数与特征函数的一一对应关系即可知ξ服从N (
∑μ, ∑σ
i i =1
i =1
2i
) 分布.
例 设随机变量X 1, X 2, , X n 相互独立且分别服从为λk (1≤k ≤m ) 的普哇松分布，求
Y =∑X k .
K =1
n
解 对于任何一个k ，X k 服从参数为λ的普哇松分布，从而我们知道它的特征函数为
ϕ(t ) =∑ϕk (t ) =e
K =1
n (
∑λk )(e it -1)
k =1
n
，
n
而ϕ(t ) 是参数为布.
∑λ
K =1
n
k
的普哇松分布的特征函数，从而可知Y 服从参数为
∑λ
K =1
k
的普哇松分