二次函数知识点总结(整理1)

二次函数知识点总结

知识点1. 二次函数的定义

定义：一般地，如果y=ax2+bx+c（a ，b ，c 是常数且a ≠0），那么y 叫做x 的二次函数，它是关于自变量的 次式，

练习（1）下列函数中，二次函数的是（ ） A ．y=ax2+bx+c B 。y =(x +2)(x -2) -(x -1) 2 C 。y =x 2+练习（2）如果函数y =(m -3) x m

2

1

D 。y=x(x—1) x

-3m +2

+mx +1是二次函数，那么m 的值为

知识点2. 二次函数的图像及性质

1、二次函数 y =ax 2+bx +c 的图像是对称轴平行于(包括重合) y 轴的抛物线. 2、二次函数 y =ax 2+bx +c ，当a >0时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；

当a

3、对于y=ax2+bx+c而言，其顶点坐标为（ ，）．对于y=a（x －h ）2+k而言其

顶点坐标为（ ， ）。二次函数y =ax 2+bx +用配方法或公式法（求h 时可用代入法）可化

2

成：y =a (x -h ) +k 的形式，其中h= ,k=

练习（３）抛物线y =-2x 2+8x -1的图象的开口方向是_____, 顶点坐标是练习（４）若抛物线y =(m -1) x 2+2mx +3m -2的最低点在x 轴上，则m 的值为4、二次函数 y =ax 2+bx +c 的对称轴为直线x=－

b

运用抛物线的对称性求对称轴，由于2a

抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线段的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 若抛物线上有两点A （m,n ）、B(p,n)的纵坐标相等, 则它的对称轴为直线x=－

m +p

2

练习（５）已知A 、B 是抛物线y =x 2-4x +3上位置不同的两点，且关于抛物线的对称轴对称，则点A 、B 的坐标可能是_____________．（写出一对即可）

5、增减性：二次函数 y =ax 2+bx +c 的增减性分对称轴左右两侧描述（数形结合理解它的增减性）

若a >0，当x 时（在对称轴 侧），y 随x 的增大而增大，当x 时（在对称轴 侧），y 随x 的增大而减小，若a

而增大，当x 时（在对称轴 侧），y 随x 的增大而减小，

练习（６）已知抛物线y =ax 2+bx +c （a ＞0）的对称轴为直线x =1，且经过点

(-1，y 1)，(2，y 2)，试比较y 1和y 2的大小：y 1y 2（填“>”，“

练习（７）二次函数y =4x 2-mx +5，当x -2时，

y 随x 的增大而增大。则当x =-2时，y 的值是

6、最大（小）值：

①若顶点横坐标在自变量的取值范围内

当a>0时，函数有最 值，并且当x= 时，y 最 值= ； 当a

练习（８）二次函数y=m2x 2-4x+1有最小值-3, 则m 等于( ) A.1 B.-1 C.±1 D.±

练习（９）已知二次函数的图象(0≤x ≤3)如图所示．关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是( )

A．有最小值0，有最大值3 B ．有最小值－1，有最大值0 C．有最小值－1，有最大值3 D ．有最小值－1，无最大值

练习（10）填表：

12

练习（11）若二次函数y =(x -m ) 2-1．当x ≤l 时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（ ） A．m =l B．m >l C．m ≥l D．m ≤l 7、抛物线y =ax 2+bx +c 中，a , b , c 的作用

（1）a 决定________________，这与y =ax 2中的a 完全一样.

（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置：①b =0时，对称轴为_____；②

b

>0（即a 、b a

同号）时，对称轴在y 轴______侧；③

b

（3）c 的大小决定抛物线y =ax 2+bx +c 与____轴交点的位置

①c =0，抛物线经过______; ②c >0, 与y 轴交于____半轴；③c

练习（12）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点 A. 一B. 二C. 三 D. 四

练习（13）已知二次函数的图像如图所示，下列结论：

在第___象限( )

⑴a+b+c﹤0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷b=2a其中正确的结论的个数是（ ）

A 1 B 2 C 3 D 4

8、. 几种特殊的二次函数的图像特征如下：

9、抛物线的平移、对称、旋转

练习（14）二次函数y =x 2+bx +c 的图像向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到函数图像的解析式为y =x 2-2x +1，则b 与c 分别等于（ ） A 、6、4 B、－8、14 C、4、6 D、－8、－14

练习（15）将抛物线y =3x 2绕原点按顺时针方向旋转180°后，再分别向下、向右平移1个单位，此时该抛物线的解析式为（ ）

A.y =-3(x -1) 2-1 B. y =-3(x +1) 2-1 C.y =-3(x -1) 2+1 D. y =-3(x +1) 2+1

知识点3：确定二次函数的解析式

11. 用待定系数法求二次函数的解析式

（1）一般式：y =ax 2+bx +c . 已知图像上____点或____对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：y =a (x -h )+k . 已知图像的____或_______，通常选择顶点式.

2

（3）交点式：已知图像与x 轴的____________，通常选用交点式：y =a (x -x 1)(x -x 2).

练习（17）有一个运算装置，当输入值为x 时，其输出值为y ，且y 是x 的二次函数，已知输入值为-2,0, 1时, 相应的输出值分别为5, -3, -4．此二次函数的解析式是_____ 练习（18）抛物线与x 轴一个交点的横坐标为－2，顶点为(2,8),它的关系式为 练习（19）直线y =3x +3交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，过A 、B 两点的抛物线交x 轴于另一点C （3,0）. 抛物线的解析式为

练习（20）已知抛物线y =x 2+bx +c 经过点（0，－3），请你确定一个b 的值，使该抛物线与x 轴的一个交点在(1，0) 和(3，0) 之间你所确定的b 的值是 ． 练习（21）抛物线y =ax 2+bx +c 上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：

知识点4：二次函数与一元二次方程

（1）y 轴与抛物线y =ax 2+bx +c 得交点为________________.

（2）抛物线与x 轴的交点

二次函数y =ax 2+bx +c 的图像与x 轴的两个交点的横坐标x 1、x 2，是对应一元二次方

程ax 2+bx +c =0的两个实数根. 抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

①有_____个交点⇔∆>0⇔抛物线与x 轴_______；②有____个交点（顶点在x 轴上）

⇔∆=0⇔抛物线与x 轴相切；

③_____交点⇔∆

同（2）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点. 当有2个交点时，两交点的纵坐标

相等，设纵坐标为k ，则横坐标是ax 2+bx +c =k 的两个实数根.

（4）一次函数y =kx +n (k ≠0)的图像l 与二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图像G 的交点，

由方程组

y =kx +n y =ax 2+bx +c

的解的数目来确定：①方程组有___组不同的解时⇔l 与G

有两个交点; ②方程组只有___组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组____解时⇔l 与G 没有交点.

（5）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴两交点为

A (x 1，0)，B (x 2，0)，由于x 1、x 2是方程ax 2+bx +c =0的两个根，故x 1+x 2=-, x 1⋅x 2=

b

a c a

AB =x 1-x 2

练习（24）已知二次函数y =-x 2+2x +m 的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程-x 2+2x +m =0的解为．

练习（25）已知函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，那么关于x 的方程ax 2+bx +c +2=0的根的情况是（ ） A ．无实数根 C ．有两个异号实数根

B ．有两个相等实数根 D ．有两个同号不等实数根

练习（26）已知二次函数y=x2+x+m,当x 取任意实数时, 都有y>0,则m 的取值范围是( ) A.m≥; B.m>; C.m≤; D.m

练习（27）已知关于x 的函数y ＝（m －1）x 2＋2x ＋m 图像与坐标轴有且只有2个交点，则m ＝

练习（28）已知抛物线y =2x 2-mx -2m 的图象与x 轴有两个交点为(x 1, 0), (x 2, 0) ，且

14

14

14

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x 1+x 2=5，m=

练习（29）如图，抛物线的对称轴是直线x=1，它与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，点A 、C 的坐标分别是（-1，0）（0，1.5）

（1）求此抛物线的函数关系式。

（2）若点P 是此抛物线上位于x 轴上方的一个动点，求三角形ABP 面积的最大值。 （3）问：此抛物线位于x 轴的下方是否存在一点Q ，，使△ABQ 的面积与△ABP 的面积相等？

如果有，求出该点坐标，如果没有请说明理由。

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知识点5：二次函数的应用：

1、二次函数常用来解决最优化问题，

（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围； （2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。 （３）检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内 。

练习（29）某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加x 元．求： （1）房间每天的入住量y （间）关于x （元）的函数关系式． （2）该宾馆每天的房间收费p （元）关于x （元）的函数关系式．

（3）该宾馆客房部每天的利润w （元）关于x （元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w 有最大值？最大值是多少？

2、利用二次函数的关系式求解实际问题的一般步骤: (1).建立适当的直角系, 并将已知条件转化为点的坐标

(2).合理设出所求的函数的表达式, 并代入已知条件或点的坐标, 求出关系式, (3).利用关系式，解决相关问题

练习（30）抛物线y =x 2-2x -3与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2。（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；（2）P 是线段AC 上一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值；