怎样求初相
怎样根据正余弦型曲线的特征求初相ϕ?
根据正弦型函数y =A sin (ωx +ϕ)+b 的图像特征求解析式是一类常考不衰的题型,如2010年高考题中就出现了数次。它有时以选择题的形式出现,此时要尽可能用排除法求解;但是以填空题或者解答题的形式出现也有可能,此时其难度往往集中在初相ϕ的确定上,根据已知条件的不同又分为两类,第一类是已知点为“纯零点型”的,那么我们一般都是从寻找“五点法”的第一个零点 -
⎝⎛
⎫
, 0⎪作为突破口,注意从图像的升降趋势找准第一个零ω⎭
ϕ
点的位置;第二类是“非纯零点型”的,即已知点不全在x 轴上的,此时求初相ϕ的值相对容易一些。
求A 与ω的值都不会难,此时要写出初步的解析式,以便用待定系数法求ϕ。
一般地,题目都会规定A >0,如果没有规定,也先假设A >0解下去。
若对初相ϕ的范围未给出限制,则习惯上尽量取一个绝对值比较小的值,如ϕ<【问题1】如图为电流I 与时间t 的关系式I =A sin (ωt +ϕ) 在一个周期内的图像,请写出这个解析式。 【解析】:由图像知,A=300,最小正周期 T=2⎢
1⎫⎤12π⎛
- -=ω==100π, ,∴⎪⎥
T 50⎣150⎝300⎭⎦⎡1
T 2
。
此时I =300sin (100πt +ϕ)„„(*)
⎛⎝
⎫
, 0⎪,300⎭1
图像上的第一零点(图像开始上升的零点)为 -
⎛⎝
将其代入(*)式中,得100π⋅ -
π1⎫
ϕ=,∴, +ϕ=0⎪
3300⎭
∴所求解析式为I =300sin 100πt +
⎝
⎛
π⎫
⎪。
3⎭
⎛⎝
⎫
⎪=100π100π⎭
其中ϕ的值也可以这样求:100πt +ϕ=100π t +
ϕ
⎡ϕ⎫⎤⎛t -- ⎪⎥, ⎢
⎝100π⎭⎦⎣
比较图像得:-
ϕ
100π
=-
1300
⇒ϕ=
π
3
。这个方法体现了用“五点法”的第一个零点求ϕ
的值的思想,是最具一般性的思想。
y =f (x )【问题2】(2005全国高考Ⅰ第17题)设函数f (x )=sin (2x +ϕ)(-π<ϕ<0),
的一条对称轴是直线x =(Ⅰ)、求ϕ (Ⅱ)、(Ⅲ)略 【解析】:(Ⅰ)、∵x =
⎛⎝
π
8
。
π
8
是函数y =f (x )的一条对称轴,
∴sin 2⋅
π
ππ⎫
+ϕ⎪=±1,∴+ϕ=k π+, k ∈Z .
428⎭
3π4
∵-π<ϕ<0,取k =-1得ϕ=-。
π
2
【问题3】(2005天津卷文科8)函数y =A sin (ωx +ϕ)(ω>0,≤分图像如图所示,则函数表达式为( )。 (A )y =-4sin
⎛π⎝8
x +
,x ∈R )的部
π⎫
4⎭
⎪ (B )y =4sin
⎛π⎝8⎛π⎝8
x -
π⎫
⎪
4⎭
(C )y =-4sin
⎛π⎝8
x -
π⎫
4⎭
⎪ (D )y =4sin
x +
π⎫
⎪ 4⎭
【解析】:用特殊值排除法不难知应该选A 。 【另解】:不妨先假设A 0,即A =4; 显然ω=
π
8
,此时y =4sin
⎛π
⎫
以第一零点(6,0) x +ϕ⎪,
⎝8⎭
3π4
+2k π, k ∈Z 。因为ϕ≤
代入,得
6π8
+ϕ=2k π,ϕ=-
π
2
,所以取
3πππ⎫⎛π⎫⎛π⎫⎛π
y =4sin x -+2k π⎪=4sin x +-π⎪=-4sin x +⎪。选A 。
444⎭⎝8⎭⎝8⎭⎝8
【问题4】(2005福建理科6)函数y =sin (ωx +ϕ)(x ∈R , ω>0,0≤ϕ<2π)的部分图像如图,则( )。 ππππ
(A )ω=, ϕ= (B )ω=, ϕ=
2
4
3
6
(C )ω=
π
4
, ϕ=
π
4
(D )ω=
π
4
, ϕ=
5π4
2π8=
【解析】:由图知,周期T =4(3-1) =8,∴ω=
⎛π
π
4
,
此时y =sin
π⎫
。选C 。 x +ϕ⎪,图像必过点(-1, 0),代入,得ϕ=44⎝⎭
当然以点(1,1)代入亦可,但是以点(3,0)代入则不能排除选项D 。
【另解】:由题知⎨
⎧⎪f (1)=1,
⎧⎪sin (ω+ϕ)=1,
再逐一将选项代入,C 符合。 ⇒⎨
⎪⎪⎩f (3)=0, ⎩sin (3ω+ϕ)=0.
【问题5】已知函数y =2sin (ωx +ϕ)(ϕ≤(A )ω=
1011, ϕ=
π
2
)的图像的一部分如图所示。则必定有( ) π
6
π
6
(B )ω=
1011
, ϕ=-
⎛11π⎫
, 0⎪, ⎝12⎭
(C )ω=2, ϕ=
π
6
(D )ω=2, ϕ=-
π
6
【解析】:由图像可知,其过两个已知点(0,1)和 ⎧2sin (ω⋅0+ϕ)=1 (1)
⎪
于是有⎨ 11π⎛⎫
+ϕ⎪=0 (2)⎪2sin ω⋅12⎝⎭⎩
由(1)得sin ϕ=
12
, ϕ=
π
6
或
5π6
,但是ϕ≤
π
2
,∴ϕ=
π
6
π
6
;
又由图像可知最小正周期T =π,则ω=2,因此有ϕ=
⎛⎝
,ω=2。选C 。
【问题6】把函数y =cos x +
4π⎫
⎪的图像向右平移ϕ个单位,所得的图像正好关于y 轴对3⎭
称,则ϕ的最小正值为 。
【解析】:由题意,平移后的图像是y =cos x +
⎝
⎛⎝
4π
⎛
4π
⎫
-ϕ⎪,它是偶函数。 3⎭
∴cos 0+
4π4π⎫
-ϕ=k π, k ∈Z ,∴ϕ=-k π, k ∈Z -ϕ⎪=±1,∴333⎭
∴当取k =1时,得ϕ的最小正值为
π
3
。
【问题7】(2002全国文科17)某地一天从6时到 14时的温度变化曲线近似满足函数y =A s i (n ω+x ϕ)+
b 。
(Ⅰ)、求这段时间的最大温差;
(Ⅱ)、写出这段曲线的函数解析式。 【解析】:(Ⅰ)、20C (过程略);
(Ⅱ)、图中从6时到14时的图像是函数y =A s i n (ωx +ϕ)+b 的半个周期的图像,
o
∴
12ππ
。 ⋅=14-6⇒ω=
2ω8
12
由图示,A =(30-10)=10, b =
12
(30+10)=20,
此时y =10sin
3π⎫
。综上,所求解析x +ϕ⎪+20。将x =6, y =10代入上式,可取ϕ=48⎝⎭
⎛π
式是y =10sin
⎛π⎝8
x +
3π⎫
⎪+20, x ∈[6,14]。 4⎭
【问题8】如图是函数y =A sin (ωx +ϕ)在一个周期内的图像, 请确定这个解析式。
【解析】:由图像得,A=3,T =
2πT
5π
⎛π⎫
- -⎪=π, 6⎝6⎭
∴ω=
=2,此时y =3sin (2x +ϕ)。
-
π由图像知,当x =∴2x +ϕ=2⨯
π
12
=π时,y =3,
212
+
π
+ϕ=2k π+
π
2
, k ∈Z ,
经尝试知,当k =0时,ϕ=
⎛⎝
π
3
符合一般要求。
∴y =3sin 2x +
π⎫
⎪为所求。 3⎭
【问题9】(2006浙江理科15)如图,函数y =2sin (πx +ϕ), x ∈R , (其中(0≤ϕ≤
π
2
)的图像与x 轴交于点(0,1).
(Ⅰ)、求ϕ的值; (Ⅱ)、略。
【解析】:(Ⅰ)、因为图像过点(0,1), ∴2sin ϕ=1⇒sin ϕ=因为0≤ϕ≤
π
2
12
。 π
6
,∴ϕ=。
【问题10】(2006四川理科5改编)下列函数中,图像的一部分如图所示的是( ) (A )、y =n i s
π⎫π⎫⎛⎛
(B )、x +y =n i s 2x - ⎪ ⎪ 66⎝⎭⎝⎭
(C )、y =c o s 4 x +
⎝
⎛
π⎫
3⎭
、y =c o s 2 x -⎪ (D )
⎝
⎛
π⎫
⎪
6⎭
【解析】:此题当然可以用特值排除法求解,但是如果善于从图像中看出ϕ的值(注意到选项中出现了余弦函数,将图像右边补充半个周期,如下图,猜想是余弦型图像往右平移了π
12
),则立马知道应选D 。
【问题11】(2004辽宁11)若函数f (x ) =sin (ωx +ϕ)的部分图像如图所示,则ω和ϕ的取值是( ) (A )、ω=1, ϕ=(C )、ω=
12
π
3
(B )、ω=1, ϕ=- (D )、ω=
12
π
3
, ϕ=
π
6
, ϕ=-
π
6
π⎧2πω
+ϕ=, ⎪1π⎪32
⇒ω=, ϕ=【解析】:由⎨,选C 。
26πω⎪-+ϕ=0,
⎪⎩3【问题12】已知函数y =A sin (ωx +ϕ)(ϕ<像如图,求其解析式。
⎧⎛5π⎫
⎪+ϕ=0 (1)(第一零点)⎪ω⋅ -2⎭⎪⎝
⎪
【解析】:由图知: ⎨ω⋅(-π)+ϕ=π (2)(第二零点)
⎪
⎪A sin (
ω⋅0+ϕ)= (3)(交y 轴点)⎪⎩
π
2
)的一段图
(2)-(1)得ω=
23
,代入(2)可得ϕ=
π
2
5π3
,
将其代入(3)得A =2。因为ϕ<所以取ϕ=
5π3
-2π=-
,
π
3
。
∴y =2sin 【问题
⎛2⎝3
x -
π⎫
⎪为所求。 3⎭
13】(2010天津文R )在区间⎢-
⎣
8)右图是函数
5π⎤
上的图像。为
66⎥⎦,
y =A s i (n ω+x ϕ)(∈x
⎡π
了得到这个函数的图像,只要将y =sin x (x ∈R )的图像上所有的点( ) (A )向左平移(B )向左平移
π
3
个单位长度,再把所得点的横坐标缩短到原来的
1212
1212
倍,纵坐标不变;
π
3
个单位长度,再把所得点的横坐标伸长到原来的个单位长度,再把所得点的横坐标缩短到原来的个单位长度,再把所得点的横坐标伸长到原来的
倍,纵坐标不变; 倍,纵坐标不变; 倍,纵坐标不变。
(C )向左平移 (D )向左平移
π
6
π
6
【解析】:应该先根据图像求得函数表达式,其中求初相ϕ的值是关键。显然A=1,周期
T =
5π
2π⎛π⎫⎛π⎫
=2,此时y =sin (2x +ϕ)。以第一零点 -, 0⎪代入得, - -⎪=π,ω=T 666⎝⎭⎝⎭
⎡⎛π⎫⎤π
sin ⎢2⋅ -⎪+ϕ⎥=0,∴取ϕ=。
3⎣⎝6⎭⎦
∴如图所示函数解析式为y =sin(2x +
π
3
), x ∈R 。其余不难,从略,选A 。
14、【问题14】(2010广东理16)已知函数f (x )=A sin (3x +ϕ)(A >0,x ∈(-∞, +∞),0<ϕ<π)在x =
π
12
时取得最大值4.
(1)求f (x )的最小周期; (2)求f (x )的解析式;
⎛2⎝3
12
,求sin α。 =⎪
12⎭5
(3)f
α+
π⎫
【解析】:(2)易知A=4,此时f (x )=4sin(3x +ϕ) ,以 π
4+ϕ=
π⎫
+ϕ) =1,得sin(3⋅ , 4⎪代入,
1212⎝⎭
⎛π
π
2
+2k π, k ∈Z ,ϕ=
π
4
+2k π。
∵0<ϕ<π,∴取k =0,得ϕ=∴f (x )=4sin(3x +
π
4) ;
π
4
。
(3
)解答从略,sin α=±
5
。
四法求初相“ϕ”
要确定正弦型函数y =A sin(ωx +ϕ) 的解析式,需要求出A ,ω和ϕ的值.下面就介绍求ϕ的四种方法.
例1 已知图1是函数y =2sin(ωx +ϕ)
⎝⎛
π⎫⎪2⎭
的图象上的一段,则( )
A.ω=B.ω=
10111011
ϕ=
π6
π6
ϕ=-
π6
C.ω=2,ϕ=
π6
D.ω=2,ϕ=-
分析:观察图象我们可以得到很多信息:周期、五个关键点、图象平移量等,那么是不是这些信息全具备我们才能求出ω和ϕ呢?其实我们只要知道其中的某些信息,通过不同的方法就能求ω和ϕ.下面从不同角度用三种方法解决此问题.
一、最值点法
若题设中出现最值点时,在求出A 和ω后把最值点的坐标代入解析式,然后通过解三角方程来求角ϕ.
解法一:∵T =∴ω=
2πT =2ππ
⎛π⎫π- -⎪=π1212⎝⎭11
,T =
2π
ω
,
=2.∴y =2sin(2x +ϕ) .
⎫⎭
⎛⎝
π
⎫
+ϕ⎪=1, 6⎭
2⎪代入上式得sin 2⨯把最高点 ⎝6
⎛π
∴
π3
+ϕ=2k π+π2
π2
(k ∈Z ) ,ϕ=2k π+
π6
π6
(k ∈Z )
,
∵ϕ
点评:“最值点”法容易理解且出错较少,应重点掌握.
二、逆用五点法
“五点法”可作出正弦型函数y =A sin(ωx +ϕ) 的图象,因此利用五个关键点可求出ϕ. 解法二:ω=2(求解过程同解法一),选取一个关键点 -
⎝⎛⎫
,0⎪12⎭π
,则其对应着用“五点
π6
法”作函数y =sin x 图象的第一个点,故令2⨯ -
⎝
⎛
π⎫
⎪+ϕ=012⎭
,得ϕ=,故选(C).
点评:①用此法求ϕ,需要对“五点法”作简图有深刻的理解;②此法对五个关键点都适用.注意选点时尽可能的选用能够简化运算的点;③本解法中选取的是第一个关键点,得到ϕ=
π6
1⎪,1、第三个关键点(π,.如果选取第二个关键点 ,0) 及第四个、第五个关键点,
⎝2
⎭⎛π
⎫
得到的ϕ是否相同呢?通过验证我们知道得到的ϕ是相等的,但它可能并不是我们所要求的范围的角,我们可以根据终边相同的角的性质,即终边相同的角相差2π的整数倍,将ϕ转化到所要求的范围.
三、图象平移法
图象的变换规律见第二版《三角函数的图象变换及应用》. 解法三:,由图象知,y =2sin(2x +ϕ) 的图象可由y =2sin 2x ω=2(求解过程同解法一)的图象向左平移个单位得到.
∴函数y =A sin(ωx +ϕ) 的解析式为y =2sin 2 x +
⎝⎛
π⎫π⎫⎛
=2sin 2x +⎪ ⎪12⎭6⎭⎝
,
∴ϕ=
π6
.
点评:图象平移法简单易行,但此法需要我们对三角函数的变换规律有深刻的理解. 如果通过分析题意我们不知道函数的周期,不知道五个关键点,更不知道函数图象的平
移量,那该怎么办呢?下面介绍一种解这类问题的方法——单调性法.
四、单调性法
将函数y =A sin(ωx +ϕ) 的图象与y =sin x 的图象进行比较,选取某一单调区间上的点,代入函数y =A sin(ωx +ϕ) 的表达式,得到一个等式,从而求出ϕ.
2k π+代入的点在图象递增段上时,ωx +ϕ∈⎢2k π-⎣
2
⎡
π
3π⎤
⎡
π
π⎤
(k ∈Z ) 2⎥⎦
;
2k π+(k ∈Z ) . 在图象递减段上时,ωx +ϕ∈⎢2k π-,
22⎥⎣⎦
例2 已知函数y =sin(2x +ϕ) 的图象,如图2,求角ϕ.
解:把点A ⎪代入函数解析式得
⎝32⎭
⎛π1⎫⎝32⎭
⎛π1⎫
1
⎛2π⎫=sin +ϕ⎪2⎝3⎭
.
∵A ⎪在函数图象的递减段上, ∴∴
2π
π3⎤⎡
+ϕ∈⎢2k π+2k π+π⎥(k ∈Z ) , 322⎦⎣
2π3
+ϕ=2k π+
π6
56
π(k ∈Z )
,
∴ ∴ϕ=2k π+(k ∈Z ) .