混沌理论综述

混沌理论综述

摘要：混沌运动是非线性动力学系统所产生的复杂的不规则行为，它普遍存在于自然界的各个领域中。该文介绍了混沌的产生、特点及混沌控制的发展以及研究思想，给出了混沌的定义及其相关概念，深入浅出地阐明了混沌运动的基本性质和基本规律，概括介绍了混沌学及混沌控制，最后论述了混沌应用的巨大潜力。 关键词：混沌 混沌运动 混沌控制

引言

混沌是非线性系统所独有且广泛存在的一种非周期运动形式,其覆盖面涉及到自然科学和社会科学的几乎每一个分支。混沌运动的早期研究可以追溯到1963年美国气象学家Lorenz对两无限平面间的大气湍流的模拟。在用计算机求解的过程中,Lorenz发现当方程中的参数取适当值时,解是非周期的且具有随机性,即由确定性方程可得出随机性的结果,这与几百年来统治人们思想的拉普拉斯确定论相违背(确定性方程得出确定性结果)。随后, Henon和Rossler等也得到类似结论。Ruelle,May,Feigenbaum等对这类随机运动的特性进行了进一步研究,从而开创了混沌这一新的研究方向。近二三十年来,近似方法、非线性微分方程的数值积分法,特别是计算机技术的飞速发展,为人们对混沌的深入研究提供了可能,混沌理论研究取得的可喜成果也使人们能够更加全面透彻地认识、理解和应用混沌。本文将介绍与混沌有关的基本概念和基本理论以及混沌应用研究的最新进展,希望能起到抛砖引玉的作用[2]。

背景

我国著名的混沌学家、中国科学院院士郝柏林指出:“混沌,这个在中外文化渊源悠久的词儿,正在成为具有严格定义的科学概念,成为一门新科学的名字,它正在促使整个现代知识体系成为新科学。”他还指出:“越来越多的人认识到,这是相对论和量子力学问世以来,对人类整个知识体系的又一次巨大冲击。这也许是20世纪后半叶数理科学所做的意义最为深远的贡献。”作为一门新科学的混沌学(Chaology),一般认为始于李天岩和约克(Yorke)的著名论文“周期3蕴含混沌”,因为正是在该文中“混沌”(Chaos)首次被作为科学词儿使用。该文在《美国数学月刊》上正式发表是1975年12月.20年来,混沌学作为一门新科学传播速度之快,波及空间之广,恐怕是前所未有的。李天岩和约克的论文发表后大约过了10年,国际上便形成了一支可观的混沌学专家队伍。与此同时,许多研究中心与研究所则专门冠之以“非线性动力学”、“非线性科学”、“非线性数学”等名称[4]。

目录

1 混沌的基本概念 ......................................................................................................................... 1

2 混沌运动的基本性质 ................................................................................................................. 2

3关于混沌系统的控制 .................................................................................................................... 6

3.1 混沌控制的目标和方法 .................................................................................................... 7

3.1.1 OGY方法 ................................................................................................................ 7

3.1.2 连续反馈控制法 ..................................................................................................... 8

3.1.3 自适应控制法 ......................................................................................................... 8

3.1.4 智能控制法 ............................................................................................................. 8

3.2 混沌控制理论的应用 ........................................................................................................ 9

3.2.1 非线性时间序列预测 ............................................................................................. 9

3.2.2 信息存储,语音、图像压缩 .................................................................................... 9

3.2.3 信号检测、估值 ..................................................................................................... 9

3.2.4 优化 ......................................................................................................................... 9

4 混沌的发展与前景展望 ............................................................................................................. 11

参考文献......................................................................................................................................... 12

1 混沌的基本概念

混沌：目前尚无通用的严格的定义,一般认为,将不是由随机性外因引起的,而是由确定性方程(内因)直接得到的具有随机性的运动状态称为混沌。

相空间：在连续动力系统中,用一组一阶微分方程描述运动,以状态变量(或状态向量)为坐标轴的空间构成系统的相空间。系统的一个状态用相空间的一个点表示,通过该点有唯一的一条积分曲线。

混沌运动：是确定性系统中局限于有限相空间的高度不稳定的运动。所谓轨道高度不稳定,是指近邻的轨道随时间的发展会指数地分离。由于这种不稳定性,系统的长时间行为会显示出某种混乱性。

分形和分维：分形是n维空间一个点集的一种几何性质,该点集具有无限精细的结构,在任何尺度下都有自相似部分和整体相似性质,具有小于所在空间维数n的非整数维数。分维就是用非整数维——分数维来定量地描述分形的基本性质。 不动点：又称平衡点、定态。不动点是系统状态变量所取的一组值,对于这些值系统不随时间变化。在连续动力学系统中,相空间中有一个点x0,若满足当t→∞时,轨迹x(t)→x0,则称x0为不动点。

吸引子：指相空间的这样的一个点集s(或一个子空间),对s邻域的几乎任意一点,当t→∞时所有轨迹线均趋于s,吸引子是稳定的不动点。

奇异吸引子：又称混沌吸引子,指相空间中具有分数维的吸引子的集合。该吸引集由永不重复自身的一系列点组成,并且无论如何也不表现出任何周期性。混沌轨道就运行在该吸引集中。

分叉和分叉点：又称分岔或分支。指在某个参数或某组参数发生变化时,长时间动力学运动的类型也发生变化。这个参数值(或这组参数值)称为分叉点,在分叉点处参数的微小变化会产生不同性质的动力学特性,故系统在分叉点处是结构不稳定的。

周期解：对于系统xn+1=f(xn),当n→∞时,若存在N=xn+i=xn,则称该系统有周期i解N。不动点可以看做是周期1解,因为它满足xn+1=xn[5]。

2 混沌运动的基本性质

Logistic映射[9]是非线性方程中出现的一个能成功地进行实验数学研究的不寻常的实例,它虽然简单却能体现出所有非线性现象的本质。以Logistic映射这只“小麻雀”为例来说明混沌运动的基本性质。Logistic映射如式(1),最初用来描述昆虫数目的世代变化规律:

xn+1=f(L,xn) =Lxn(1 -xn) n= 0,1,2,…(1)

其中L为控制参量;有限差分方程(1)可以看做是一个动力学系统。

L值确定后,由任意初值x0∈[0,1],可迭代出一个确定的时间序列x1,x2,x3,…。对于不同的L值,系统(1)将呈现不同的特性,如图1所示。图1(a)如下绘制:纵坐标为变量x,所属区间为[0,1],横坐标为控制参量L,所属区间为[1,4]。把参量空间分成500步,对每个固定的参量值L,变量x从某一个初值(统一用x0= 0.123)开始迭代,舍去最初暂态过程的300个迭代值,再把后继400个轨道点都画到所选参量的纵方向上,这样扫过全部的参量范围。图1(b)为图1(a)中小矩形区域的放大图。

由图1(a),当1≤L

a.随机性。当L=4时,Logistic映射在有限区间[0,1]内不稳定运动,其长时间的动态行为将显示随机性质,图2为当x0=0.1时的运动轨迹,迭代次数为100。从图2可以明显地观察到其随机性,事实上当x0取其他初值时,系统(1)一般都能体现这样的随机性。

图2 随机性

Fig.2 The stochastic property

b.规律性。尽管{xn}体现出随机性质,但它是由确定方程(1)导出的,初值确定后{xn}便已确定,即其随机性是内在的,这就是混沌运动的规律性。

c.遍历性。混沌运动的遍历性是指混沌变量能在一定范围内按其自身规律不重复地遍历所有状态,如图3所示。该图分别以x10= 0.165432和x20=0.234561为初值迭代1000次,得到2个混沌序列{x1n}和{x2n},图中小圆圈表示空间中的一点,其坐标为(x1j,x2j)。

图3 遍历性

Fig.3 The ergodicity

d.对初值的敏感性。初值x0的微小变化将导致序列{xn}远期行为的巨大差异,如

图4所示。图4是令x10=0.123456,x20=0.123457,以x10和x20为初值迭代100次得到序列{x1n}和{x2n}。可以看出,虽然初值相差1.0e - 6,但迭代10多次后两个序列便完全不一样了。对初值的敏感性是混沌的一个十分鲜明的特征,Lorenz曾十分形象地称其为蝴蝶效应:“仅仅是蝴蝶翅膀的一次小小扇动,就有可能改变一个月以后的天气情况”。

图4 对初值的敏感性

Fig.4 The property of sensitive to initial value

e.具有分形的性质。如图1(b)所示,混沌的奇异吸引子在微小尺度上具有与整体自相似的几何结构,对它的空间描述只能采用分数维。

f.普适性。是指混沌系统中存在着一些普遍适用的常数。如在Logistic映射的倍周期分叉点{Lm}有如下一个普适常数:

被称为Feigenbaum数。Feigenbaum数是如同圆周率一样的常数,对于许多由分叉导致混沌的系统,其值不变。如果在某次实验中,当参数1在时出现一分为二的分叉,在2时出现2分叉为4,若Feigenbaum数起作用,则参数大约再改变21的13%左右,可预期发生混沌。

此外,图1的分叉高度也在不断缩小,且缩小的比例也趋于一个极限:A=

2.502907897[6]。

3关于混沌系统的控制

混沌系统的特征表明,无法精确预测混沌系统的长时间的行为。但是新近研究表明:混沌系统是可以控制的,可以利用的。混沌已被用来增强激光器的功率;调整电子线路的输出,使之同步;控制化学反应的波动;稳定动物心脏的异常心律;编码电子信息以保证通讯安全。我们知道,混沌系统的行为是许多有序行为的集合。若以适当的方式干扰一个混沌系统,就能促使该系统的某种有序行为起主导作用,从而使其不同行为之间进行转换[4]。

另一方面,混沌系统长远行为不可预测,但它是确定的。如果两个极为相似的混沌系统受到同一信号驱动,可以产生相同的输出。这是实验已证实的，它可以产生新的通讯技术。

用数学描述的混沌系统中有状态变量和参数。状态变量组成状态空间，状态空间中的一个点代表系统在某一时刻的一个状态，当系统发生变化时,它就在状态空间中的各点之间发生移动,定义出一条轨线。混沌系统在状态空间的轨线十分复杂,但并非随心所欲，可以让其通过某些区域而避开一些区域,例如把它拉向混沌吸引区，吸引区总是保持不变的。因此,只要搞清混沌吸引区,就可以设法将混沌系统控制到混沌吸引区[12]。

控制混沌系统的关键之一在于认识到混沌吸引区是一个不稳定的周期行为的无穷集合,或者说是一些不稳定周期轨道的集合。当混沌系统的参数被改变时,混沌吸引区也要发生迁移。因此可以通过控制参数产生所需要的吸引区，这个过程很像在马鞍上平衡一个玻璃球。如果这颗玻璃球一开始是置于马鞍中央,它趋于向两侧滚动。为了让其不动,就需迅速摆动马鞍.混沌吸引区迁移的道理是类似的。控制混沌系统并不容易,但实验证明可以在一个相当简单的系统中成功地控制混沌。

混沌控制的首项技术是在生物系统中实现的。先是在一只兔子心脏上试验,并取得了成功。有人预测,在不久的将来,有可能研制成采用混沌控制技术的心脏整律器和去纤维颤动器[4]。

3.1 混沌控制的目标和方法

混沌控制的方法有两种,一是通过合适的策略、方法及途径,有效地抑制混沌行为,使李雅普诺夫指数下降进而消除混沌。二是选择某一具有期望行为的轨道作为控制目标一般情况下,在混沌吸引子中的无穷多不稳定的周期轨道常被作为首选目标,其目的就是将系统的混沌运动轨迹转换到期望的周期轨道上。不同的控制策略必须遵循这样的原则:控制律的设计须最小限度的改变原系统,从而对原系统的影响最小[7]。

3.1.1 OGY方法

综观混沌发展的历史, 起初人们认为混沌是不可控的,直到1990 年OGY方法的提出才彻底改变了这种观点。OGY控制法是一种参数微扰控制方法,利用混沌运动对很小参数扰动的敏感性,选择一个易调节的参数进行微小扰动,将混沌吸引子中无穷多个不稳定周期轨道中所需要的周期轨道稳定住,使系统进人需要的周期状态,达到控制混沌的目的。由于在双曲不动点附近存在局部稳定和局部不稳定流形,可以将当前状态与目标的偏差及参数的摄动看成微小量,将下一步状态与目标的偏差按以上两个微小量做线性化展开,并使得下一步状态和目标的偏差矢量与不稳定流形方向垂直,即可得到当前参数的调节值。

这类控制不需要知道混沌系统的确切动力学行为,只需要使用微小的控制信号,从而降低控制代价,把系统的混沌状态控制在任意周期轨道上,基本不受噪声的影响,不改变系统本身的结构。但这种方法必须有一个确定的目标函数或给定轨道,只适用于离散动力学系统及可用庞加莱映射表征的连续动力学系统,通常只能控制低周期轨道。例含控制参数

并且利用OGY方法可以实现混沌轨道的同步化,其控制参量的扰动大小与系统状态输出量成正比,从控制理论角度来说属于线性反馈方法[6]。 的n维映射描述的有限动力系统:

3.1.2 连续反馈控制法

尽管 OGY 方法及其改进法对混沌的有效控制使其广泛地应用于力学、光学和环境科学等领域中,但由于它必须获得庞加莱截面,并且需要确定所需的不稳定周期轨道及不动点的特征值和特征向量,这使它的应用受到一定的限制。在OGY 控制方法的基础上,德国科学家K. Pyragas 在1993 年提出了外力反馈控制法和延迟反馈控制法。这两种方法都可以实现对混沌吸引子的连续控制,使不稳定周期趋于稳定[13]。

3.1.3 自适应控制法

基于OGY 方法存在的不足及实际问题需要, 很多学者尝试用传统的控制手段实现混沌控制,自适应控制混沌运动是根据自适应原理发展而来,由赫伯曼等人提出的一种方法。在控制系统运动过程中,系统自身来识别被控的状态、性能或参量,将系统当前的运行指标与期望的指标加以比较,改变控制器的结构、参量或控制作用,使系统运行在其所期望的指标下的最优或次优状态。这种方法是通过参量的调整来控制系统,使其达到所需要的运动状态,调节是依靠目标输出与实际输出之间的差信号来实现的。例如连续时间混沌系统的参数自适应控制;离散混沌系统的自适应轨道控制[1]。

3.1.4 智能控制法

混沌系统以及控制的复杂性,使人们自然考虑智能方法引入到混沌控制中,采用模糊逻辑控制器和神经网络对混沌系统进行建模和控制已做了一些探索研究。

3.2 混沌控制理论的应用

3.2.1 非线性时间序列预测

本征混沌具有正的李亚普诺夫指数,使其不能进行长期预测。但许多混沌时间序列预测的研究显示了其短期预测的可靠性,利用电力负荷的时间序列,不直接考虑与负荷相关的随机因素,而对负荷的历史数据进行分析,建立数学模型,并进行预测与传统的预测方法相比,其收敛性和适应性均有不同程度的提高,且精度高,通用性强。

3.2.2 信息存储,语音、图像压缩

许多语音、图像信号中存在着混沌和分形特征, Kumar等通过对语音信号的吸引子重构,求得元音和爆破音的关联维数小于3,摩擦音的关联维数略大于5,揭示了语音信号的混沌本质。语音信号的低维吸引子意味着我们可以用少数几个独立变量来重构声道模型。其预测误差比线性预测编码小一个数量级。混沌理论提供了一个简单、有效的描述语音信号的数学方法,在语音存储和传输数据压缩领域有很好的应用前景。

3.2.3 信号检测、估值

现有的信号检测理论多数以线性理论为基础,线性理论所强调的是稳定、平衡和均匀性,而利用混沌轨迹对初始条件的敏感性,可使系统识别出只有微小差别的不同模式,且混沌控制理论的非线性观点从不稳定、非平衡的状态中来提取信息、处理信息,从而显示它特有的优点。混沌信号检测具有极高的灵敏度和分辨率,而且还具有极强的适应能力。

3.2.4 优化

利用混沌变量的随机性、遍历性、规律性可以进行优化搜索。混沌优化方法一般分为两个阶段进行:首先,在整个空间内按照混沌变量的变化规律依次考察经

过的各点,接受较好点作为当前最优点;其次,一定步数以后,认为当前最优点已在系统固有的最优点附近,然后以当前最优点为中心,附加一混沌小扰动,进行细搜索寻找最优点。混沌优化与遗传算法、模拟退火算法等优化方法的结合,可以减少计算量,提高求得全局最优解的计算效率,克服了标准遗传算法、模拟退火算法中的“早熟”现象,并具有更快的收敛速度。可用于机电系统的系统辨识、参数优化设计等方面[6,8]。

4 混沌的发展与前景展望

人们已经对混沌学进行了大量的研究,并已取得了许多结果,但是混沌学仍是一个全新的科学前沿,很多系统的理论和有效的方法尚待发展。

混沌学作为一门科学毕竟只有20余年，因此远未成为一门成熟的科学。人们记得，19世纪末凯莱曾致力于研究复的牛顿迭代法，1930年左右朱莉亚(Julia)和法都研究了复多项式和有理函数的迭代并发明了朱莉亚。但是,直到1980年并没有什么进展，这一年曼德尔布诺特(Mandlbrot)用计算机绘出了第一张曼氏集的图像。今天，这个集成了混沌学的公认的标志，混沌图像也成为极精致的工艺品，并一度风靡全世界。可以断言，混沌的应用前景无限广阔[5]。

混沌学毕竟是“年轻”的，许多理论问题没有弄清楚，有待人们去探索。学者们都认为，非线性科学的基础是非线性数学，而非线性数学的发展又决定混沌学的未来。混沌学改变了天文学家看待太阳系的方式，改变了企业保险决策方式，改变了分析国际紧张局势的方式，……。可以预料，混沌学最终将成为人类观察整个世界的一个基本观点，将对人类思维起到解放的作用[10]。

参考文献

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