电磁场与电磁波
CH8 电磁场与电磁波
本章主要内容
1、 掌握位移电流的定义及意义。
2、 正确理解电场和磁场的互相激发。
3、 知道平面电磁波的性质、表示方法。
引 言
19世纪以前,人们曾认为电和磁是互不相关联的两种东西。自从发现了电流的磁效应,人们开始注意到电流(运动电荷)与磁场之间的相互关系,可是很长时间只能看到电流产生磁场,而不能做到磁场产生电流,更谈不上揭示电场与磁场之间的关系。法拉第发现的电磁感应定律,不仅实现了磁生电,还进一步揭示了变化磁通与感应电动势的关系。麦克斯韦在前人实践和理论的基础上,对整个电磁现象做了系统的研究,提出了感生电动势来源于变化磁场所产生的涡旋电场,指出了“变化磁场产生电场”的磁场与电场之间的联系。在研究安培环路定律用于时变电流电路的矛盾之后,他又提出了位移电流的假说,不仅将安培环路定律推广到时变电路中,还进一步指出了“时变电场也产生磁场”的电场与磁场之间的联系。在此基础上,麦克斯韦总结出将电磁场统为一体的一组方程式,即所称的麦克斯韦方程组,该方程组不仅可以描述时变的电磁场,而且覆盖了静态的电磁场。麦克斯韦方程组表明,不仅电荷会产生电场,而且变化的磁场也会产生电场;不仅电流会产生磁场,而变化电场也同样会产生磁场。由此麦克斯韦推断,一个电荷或电流的扰动就会形成在空间传播并相互激发的电场、磁场的波动即电磁波。麦克斯韦不仅预言了电磁波的存在(1865年)而且还计算出电磁波的传播速度等于光速。由此,麦克斯韦将光和电磁波统一在一个理论框架下。1888年赫芝首次用实验证实了电磁波的发生与存在。以后的大量实验充分证明了麦克斯韦理论的正确性。
麦克斯韦(MAXWELL)方程是宏观电动力学的理论基础。
§1 位移电流
1.位移电流
麦克斯韦将安培环路定理运用于含电容的交变电路中(如图9-1) 发现矛盾所在。
a 穿过S1、S2的稳恒电流相同 b 穿过S1、S2的传导电流不同
图9-1
稳恒电流磁场的安培环路定理具有如下形式:
H ⋅d =
L ⎰S j ⋅d S =I (9-1)
式中j 为传导电流密度,I 是穿过以闭合曲线L 为边线的任意曲面的传导电流强度(电流密度通量)。例如在图9-1a 的稳恒电路中,穿过L 为边线的曲面S 1、S 2的电流I 是相同的。 在图9-1b 所示的含电容C 的交变电流电路中,如果将安培环路定理应用于闭合曲线L ,于是对S 1 面有 H ⋅d =⎰j ⋅d S =i (9-2) S
L
而对S 2 面有 H ⋅d =
L ⎰S j ⋅d S =0 (9-3)
式(9-2)与(9-3)是互相矛盾的。即在稳恒情况下得到的磁场环路定理式(9-1),一般地不能应用到可变电流(非稳恒)的情况。那么,在非稳恒情况下磁场强度的环流应该是一个什么样的表达式?既然矛盾由含电容的交变电路所引出,因此我们从交变电路中与电容有关的物理过程开始讨论,以期获得某种结果。
当有电流通过电容时,电容器每一极板的电量q 随时间发生变化,同时电场E 和D 也随时间发生变化。考虑到在静电场中,q 与E (或D )之间的关系由高斯定理描述,于是麦克斯韦就假设在一般(例如非稳恒)情形下高斯定理仍然成立,即有 S D ⋅d S =q (9-4)
∂D q 为闭合曲面S 所包围的自由电荷。将式(9-4)对时间t 求导数,即得 S dq ⋅d S = (9-5) ∂t dt
式中dq /dt 为闭合面内自由电荷的增加率。由电荷守恒定律,应有 dq =-j ⋅d S (9-6) dt S
将式(9-6)代人(9-5)可得到 S ∂D ∂t ⋅d S =-j ⋅d S S
移项可得 ⎤⎡∂D +j ⎥⋅d S =0 (9-7) ⎢S ⎣∂t ⎦
若将 ∂D j 全=+j (9-8) ∂t 称为全电流,并称∂D /∂t 为位移电流密度,用j d 表示,即 ∂D j d = (9-9) ∂t
则式(9-7)可改写为
j 全⋅d S =0 (9-10) S 式(9-7)和(9-10)表明,当我们将位移电流密度∂D /∂t 与传导电流密度j 的矢量和构
成全电流密度j 全之后,全电流就成为连续的,即通过闭合曲面S 1+S 2的 j 全通量为零, 这完全类似于稳恒电流中的j ⋅d S =0以及稳恒电流磁场中的B ⋅d S =0。
S S
由全电流的连续性可知,通过闭合曲线L 为边线的任意曲面的全电流强度相等,即 ⎤⎡∂D ⎤⎡∂D i =⎰⎢+j ⎥⋅d S =⎰⎢+j ⎥⋅d S (9-11) ∂t ∂t ⎦⎦S ⎣S ⎣
式中S 1,S 2是以L 为边线的两个曲面。正是利用这种全电流的通量,使安培环路定理
在含电容交变电路中得以推广。 12 麦克斯韦假设:在非稳恒情况下,磁场强度H 沿任意闭合曲线L 的线积分(环量)满足下式 ⎤⎡∂D ⎰⎢∂t +j ⎥⋅d S (9-12) L ⎦S ⎣
式中S 是以L 为边线的任意曲面。式(9-12)就是稳恒电流磁场的安培环路定理(9-1)式在非稳恒情况下的推广,是著名的麦克斯韦方程组的方程之一。它揭示了一个新的物理 ∂D 规律,即位移电流j d =与传导电流j 都可以激发磁场,或者说位移电流与传导电流在∂t ∂D 激发磁场方面具有等效性。j d =与j 以同等的地位居于式(9-12)中就是很好地说明。∂t
式(9-12)的正确性已为麦克斯韦电磁理论所得出的一切结论与实验事实(例如电磁波的传播)所验证。
如果在曲面S 范围内不存在导电媒质(如图8-2中的S 2面),则S 面上处处j =0,由式(9-11)可得全电流强度应该等于该曲面位移电流密度的通量,而位移电流密度通量就是该曲面的位移电流强度i d ,因而这时就有 ∂D i 全=i d =⎰⋅d S (9-13) ∂t S H ⋅d =
令
ϕD
则 =⎰D ⋅d S S
i D =d ϕD dt
即位移电流强度等于该曲面D 通量的时间变化率。 将D =ε0E +P 代入式(9-9)中,有 ∂E ∂P j d =ε0+ ∂t ∂t
式中第二项来自交变电路中电介质的反复极化,在真空中这部分等于零,因而就有
∂E j d =ε0∂t
这是位移电流最基本的组成部分,即真空中的位移电流——“纯粹”的位移电流,它与电荷的运动无关,它本质上是变化着的电场。所以麦克斯韦用位移电流假说将安培环路定理推广到非稳恒情况后,方程所表达得的中心思想是:变化的电场激发涡旋磁场。
由于全电流的连续性以及在一般情况下磁场强度的环流由式(9-12)决定,因而由图9-1b 所引出的“矛盾”也就不复存在。 位移电流和传导电流是两个不同的物理概念,其共同性质是它们都能够激发磁场,而其它方面则截然不同。真空中的位移电流只相当于电场强度矢量的变化,而不伴有电荷或任何别的物体的任何运动;其次,位移电流不产生焦尔热, 这对于真空情况是很明显的。在电介质中,特别是对于有极分子组成的电介质, 由于 ∂P /∂t 项的存在,位移电流会产生热效应,在高频时更是如此,电介质将由于极化振动而放出颇大的热量,例如微波炉,然而这和传导电流通过导体放出焦尔热根本不同,它遵从完全不同的规律。
a .变化电场激发磁场 b .变化磁场激发电场
图9-2 变化的电场和变化的磁场
2.电磁场
按照位移电流的概念,任何随时间而变化的电场,都要在邻近空间激发磁场,因而它总是与磁场存在着密切的联系(图9-2a )。按照涡旋电场的概念,任何随时间而变化的磁场都要在邻近空间激发涡旋电场,因而总是和电场的存在联系着(图9-2b )。
电流产生磁场,变化的电流产生变化的磁场。当电荷加速运动时,在其周围除了激发变化的磁场之外,还有随时间而变化的电场。一般来说,随时间变化的电场(位移电流)所激发的磁场也随时间变化;随时间变化的磁场也激发随时间变化的电场。充满变化磁场的空间,同时也充满变化的电场;充满变化电场的空间,同时也充满了变化的磁场。这两种变化的场——电场和磁场浑然一体,它们永远互相联系,密不可分,互相激发,无限延续,直到被吸收转化。
麦克斯韦将电磁现象的普遍规律主要概括为四个方程式,通常称之为麦克扬韦方程组,它有积分和微分两种形式。一般在电磁学范围只讨论积分形式,但电动力学中则需要研究场点的电磁场量的变化规律,因而还要大量使用它的微分形式。
练习题:
1. 如图所示,设平行板电容器内各点的交变电场强度E=720sin105πt (伏/米),正方向规定如图。试求:
(1)电容器中的位移电流密度;
(2)电容器内距中心联线r=10-2(米)的一点P ,当t=0 ,t=1/2×10-5(秒)时的磁
场强度的大小及方向。(不考虑传导电流产生的磁场)。
2. 一平行板电容器的两板面积均为A 的圆形金属板,接于一交流电源时,板上的电荷q 随时间变化,即q 0=q m sin ωt
(1)试求电容器中的位移电流密度;
(2)试证两板之间的磁感应强度分布B =
点的距离。 q m r ωμ2A 0其中r 为由圆板中心线到该cos ωt ,
§2 麦克斯韦方程组
(1) 电场的环路定理
电场强度E 沿任意闭合曲线的线积分,等于以该曲线为边线的曲面的磁通量的变化率的负值,即
∂B L E ⋅d =-⎰S ∂t ⋅d S
这里的 E =E 库+E 感,前者是指由电荷产生的库仑场,后者则指由变化磁场所产
生的涡旋(感生)电场。上式是将法拉第电磁感应定律向迅变情况下的假设性推广,即认为该式在迅变条件下也成立。因为当时还没有关于迅变场的实验资料,而理论分析也提不出必需进行修改的理由。
(2) 电位移矢量的高斯定理
通过任意闭合面的电位移D 的通量,等于该曲面所包围的自由电荷的代数和,即
D ⋅d S =q 0
S
上式是建立在静止电荷相互作用的实验事实的基础上的。现在把它推广到一般情况,即假定这一方程在电荷与场都随时间而变化时仍然成立。这意味着,尽管这时场与电
荷之间的关系不像静电场那样由库仑平方反比定律所决定,但任一闭合面的D 通量与闭合
面内自由电荷电量的关系仍然遵从高斯定理。
(3) H 的环路定理
磁场强度H 沿任意闭合曲线的线积分,等于穿过以该曲线为边线的全电流,
⎤⎡∂D d +j ⎥⋅d S =I 0+D ⋅d S 即 H ⋅d =⎰⎢⎰L S ∂t dt ⎦S ⎣
在上一节已对此作了详细的论述。
(4) B 的高斯定理
通过任意闭会曲面的磁通量恒等于零,即
B ⋅d S =0
S
这是从稳定场到时变场的假设性推广。
上述四个方程就是麦克斯韦电磁场方程组的积分形式。
从上面论述我们看到,麦克斯韦理论不但提出了涡旋电场、位移电流这样的概念,还包含了从特殊情况向一般情况的假设性推广。麦克斯韦理论的正确性由它所得到的一系列推论与实验结果很好地符合而得到证实。
在有介质存在时, E 和 B 都和介质的特性有关,因此上述麦克斯韦方程组是不完
备的,还需再补充描述介质性质的下述三个方程
⎧D =εE ⎪ ⎨B =μH (9-15) ⎪j =σE ⎩
式(9-15)中的ε、μ和σ分别为介质的绝对介电常数、绝对磁导率和导体的电导率。 电动力学将论述麦克斯韦方程组是决定电磁场变化的一组完备的方程式。当电荷、电流给定时,从麦克斯韦方程组根据初始条件,就可以完全地决定电磁场的变化。
§3 平面电磁波
由给定的条件求解麦克斯韦方程组,能够证明在空间有波动的电磁场传播。波动的电磁场在空间的传播称为电磁波。电磁波是由场源——加速运动的电荷或交变电流辐射出来的。例如使电荷在不长的直线段里按正弦规律振动,在较远处我们能够得到球面电磁波。根据波的性质,已发射出去的电磁波,即使当激发它的波源消失后,仍将继续存在并向前传播。因此,我们可以得出这样的结论,电磁场可以脱离电荷和电流而单独存在,并在一般情况下以波的形式运动。
场方程组只有四个方程,由于所给条件不同,它的解——实际存在的电磁波的形态则是极为复杂的和多种多样的。真空中传播着的平面正弦电磁波是电磁波的最简单的形态。由它可以看到电磁波的一些基本性质。任何球面波在离场源较远地方的一个不大区域里都可看成平面波。从数学角度讲,平面电磁波所对应的场方程组形式最为简单,任何复杂的电磁波有都可以分解为这种简单的平面波来研究,因此平面电磁波可以看作是组成一切复
杂电磁波的基本形态,所以讨论平面电磁波是研究电磁波的基础。
我们把称没有电荷电流而只有电磁波存在的电磁场称为自由电磁波。假设所讨论的空间范围内为真空。这时整个空间内q =0、j =0、μ=μ0、ε=ε0 ,则场方程组为下列形式: d H ⋅d =L dt ⎰D ⋅d S (1) S
∂B E ⋅d =-⎰⋅d S (2) L S ∂t
D ⋅d S =0 (3) S
B ⋅d S =0
S
(1)式说明,随时间变化的电场与其周围激发的磁场之间的定量关系,并且ϕe 的正
方向与H 的积分方向成右手螺旋关系(图9-3);
(2)式说明随时间变化的磁场与其周围空间激发的涡旋电场的关系,约定ϕB 的正方
向与积分方向成右手螺旋关系。解上方程组可以证明平面电磁波具有以下基本性质:
(1).平面电磁波为横波
ˆ表示电磁波传播方向的电磁波中的电矢量E 、磁矢量H 均与传播方向垂直,若以k
ˆ ˆ单位矢量,则有:E ⊥k 、H ⊥k
(2).电矢量E 与磁矢量H 垂直,E ⊥H
ˆ三者有如下图所示的直角坐标关系,即 E 、H 、k
ˆ的方向。 E ⨯H 总是沿着k
(3).同一场点上的E 与H 的瞬时值成正比。在真空中的自由
磁波有
电
ε0E =μ0H
按照波的概念,上式实际上包括两个内容:①E 和H 同位相、
同频率;②幅值(Em 和Hm )成正比,即0E m =μ0H m
(4).电磁波的传播速度等于光速。在真空中,电磁波的传播速
度为: v =
式中ε0=8.9×10
0之值代人上式可得 -12210μ0 2-7库仑/牛顿〃米,μ0=4π×10韦伯/安培〃米。将ε0和μ
v =c =3×108米/秒
这正是光在真空中的传播速度。
1 关于平面电磁波
首先,电磁波是由场源辐射出来的。使电荷在不长的直线段中按正弦规律振动,在较远处可以得到球面电磁波。由波的性质,已发射出去的电磁波,即使激发它的场源消失后,仍将继续存在并向前传播。所以电磁场可以脱离电荷和电流而单独存在,并在一般情况下以波的形式运动。
真空中传播的平面正弦电磁波是形态最简单的电磁波。任何球面波在离场源较远地方的一个不大区域可以看作是平面波。
在没有电荷电流而只有电磁波存在情况下的电磁波叫自由电磁波。假设讨论的范围为真空,其场方程可以写成:
d H ⋅d =L dt d d ϕe D ⋅d S =εE ⋅d S =ε 00⎰S dt ⎰S dt
∂B ∂H d ϕH E ⋅d =-⋅d S =-μ⋅d S =-μ 0⎰0L ⎰S ∂t S ∂t dt
所以,变化的电场与变化的磁场可以互相激发,可以设想有变化的电磁场在空间传播。
设想有一组平面电磁波,用相联系的电场矢量和磁场矢量表示,其中电场矢量为: z E =i ˆE xm sin ω(t -) v
它表示沿x 方向振动而沿z 轴传播的平面波,可以证明,它是满足场方程的平面波解。
进一步讨论可以得到,与上述电场分量相对应的磁场分量应为: H =j H ym sin ω(t -z v )
这是在y 方向振动且沿z 方向传播的平面波。
由上述两个场分量的表达式可以说明电磁波的前述几条基本性质。
2 能流密度
前面讲过,电磁能量是以体能密度定定域于电磁场中。而本章中又看到电磁场以确定的速度在空间传播。
实验证明,在远离发射源的观测点,要在场源发射后一段时间内才能收到发射来的电磁波的信号,即电磁波的传播需要时间;电磁波具有能量。
在电动力学中将证明,在自由空间中,平面正弦电磁波能量的传播速度就是电磁波(相位)传播的速度(大小和方向)。由此可证,单位时间内流过垂直于传播方向单位面积的能量为:
S =EH
ˆˆ因为E ⊥H ,E ⊥k 、H ⊥k ,即E ⨯H 所决定的方向就是电磁能量传播的方向,
所以,上式又可表示为:
S =E ⨯H
称矢量S =E ⨯H 为能流密度矢量,也称为坡印廷矢量。
练习题:
1. 一个很长的螺线管,每单位长度有n 匝,半径为a ,载有一增加的电流I ,
(1)在螺线管内距轴线为r 处一点的感应电场;
(2)在这点的玻印廷量的大小及方向。
2. 一导线,半径为10米,每单位长的电阻为3×10欧/米。载有电流25.1安培。计算在距导线表面很近一点的下列各量:
(1) H 的大小;
(2) E在平行与导线方向上的分量;
(3) 垂直于导线的S 分量。
本章小结
本章总结:1、本章讲解了位移电流的定义及意义;给出了麦克斯韦方程组;并以平面电磁波为例导出了电磁波的基本性质。
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