指数运算与指数函数
指数与指数函数
基础知识清单：
考点一 指数与指数幂运算
1. n次方根 如果一个数的a 的n 次方根。
一个数的奇次方根只有 ，即 。一个正数的偶次方根有 即 。0的偶次方根是 ，
负数 2．同次公示：①
（n
a ）n
=a ，②n a n
=⎧a , n 为奇数；
⎨
⎩
|a |,n 为偶数 3. 指数幂的运算法则
①a r ∙a s = ②a r ÷a s =。③(a r ) S = ④(ab ) r = 考点二 指数函数及其性质
1．定义： 一般地，形如函数y=ax ( a＞0且a ≠1) 叫做指数函数，其中x 是自变量，其定义域为R 。
1.y= f（x ）→y=f(x+a) 2.y=f（x ）→y=f(x)+h 3. y= f（x ）→y=f (x ) 4. y= f（x ）→y=f (x )
方法技巧清单
题型1 指数式的化简 例1化简下列各式。
411111
（1）
a 3-8a 3b
2
2
÷(a
-
23
-
2b a
) ⨯
a ⋅
a
2
4b 3+23ab +a 3
a ⋅a
（2）
a 2-b 2
1
1
+
a 2+b 2
1
1
a 2+b 2
a 2-b 2
变式训练1化简下列各式。 （1）a
2
⋅
3
a
5
⋅a
-
52
b 4b b
⋅a 6 (2) (2a 2) 2÷(-a -7) ⨯(-) 3=
5
332
题型2 指数式的求值 例2：计算下列各式。 （1）[(3)
83
-23
(5
49
)
0. 5
+(0. 008)
-
23
÷(0. 02)
-
12
1
⨯(0. 32) ]÷0. 0625
2
0. 25
（2）(0. 25)
-0. 5
+(
127
)
-
13
-625
0. 25
变式训练2 计算下列各式。 ①() +(-2. 8) -(1)
2
1
3
79
-
12
4
+0. 1
-2
②
[(1-2)(1+2)
1
2
2
-1
--1+
2
13
÷
4
7
题型3：指数幂运算的条件求值 例3：已知x +x -1=3, 求下列各式的值:
1
(1) x 2+x
-
12
3
; (2) x 2+x
-
32
1
. （ 3 ）x 2-x
-2-3
-
12
3
（ 4 ）x 2-x
-
32
;
变式训练3 已知x +x -1=3, 求
x
232
++
x
-232
的值
-
题型4定义与图像的考察：
例4．若函数y ＝(a 2－5a ＋5)·a x 是指数函数，则有( )
A ．a ＝1或a ＝4 B ．a ＝1 C ．a ＝4 D ．a >0，且a ≠1
变式训练4如图是指数函数①y ＝a x ，②y ＝b x ，③y ＝c x ，④y ＝d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与0和1的大小关系是(
)
A ．0＜a ＜b ＜1＜c ＜d
C ．1＜a ＜b ＜c ＜d
题型5：利用指数函数的单调性比较大小 例5 、比较下列各题中两个值的大小：
B ．0＜b ＜a ＜1＜d ＜c D ．0＜a ＜b ＜1＜d ＜c
比较大小问题的处理方法：1：看类型 2：同底用单调性 3:其它类型找中间量 （1）1.52.5 ， 1.53.2 （2）0.5-1.2 ， 0.5-1.5 （3）1.50.3 ， 0.81.2 变式训练5. 若a , b 满足0
x +1
a b a b a a b b
+1(a >0且a ≠1)的图象一定通过点 变式训练6函数y =a
x -3
+2恒过点
题型7：利用单调性解不等式和相关问题（看清底数大于1还是在0到1之间）
方法：两边换为同底的指数式，利用单调性脱去底数求解 ⎛1⎫
例7．若 ⎪
⎝4⎭
m
n
A. m =
n 2
B.m = n C.m > n D.m
2
变式训练7 .求不等式a 2x
-7
>a
4x -1
(a >0且a ≠1) 中x 的取值范围。
题型8：指数复合函数的单调区间（对任何复合函数：分两层函数考虑通增异减原则）
1．求函数y =3-x
2
+2x +3
的定义域，值域，单调区间
1
2
ax
变式训练8．已知函数f (x ) ＝ （）
-4x +3
3
(1)若a ＝－1，求f (x ) 的单调区间； (2)若f (x ) 有最大值3，求a 的值．
题型9与指数函数有关的二次函数问题
例9 已知函数f （x ）=a +2a -1在区间[-1, 1]的最大值是14，求a 的值。 变式训练9求函数f （x ）=4+2例10 已知函数f （x ）=变式10函数y =
e +e e -e
x x
-x -x
2x x
x x +1
+2的定义域，值域和单调区间。
题型10与指数函数有关的图像变换问题
2
x
-1，（1）求函数的单调区间(2)比较f （x+1）与f(x）的大小
的图像大致为
A
题型11：与指数函数有关的奇偶性 例11设a ∈R ，f (x ) =
a ⋅2+a -2
2+1
a -1
x
x
x x
(x ∈R ) ，试确定a
的值，使f (x ) 为奇函数。
变式训练11. 已知函数f (x ) =
a +1
(2)求该函数的值域；(3)证明f (x ) 是R 上的增函数。
(a >1) ,(1)判断函数的奇偶性；
题型12. 与指数函数有关的抽象函数问题
例12已知函数f (x ) 的定义域为R, 对任意实数m , n 都有f (m +n ) =f (m ) ∙时, 01; (2)证明: f (x ) 在R 上单调递减;
变式训练12定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)，（1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0；
（3）证明：f(x)是R 上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x2)>1，求x 的取值范围。
, ) 且当x >0f (n
指数与指数函数练习
311. 计算：（１）(2
2-1
1
-
12
3) ⋅(24)
-(2
103
27
)
-
（2） (
8a
-3
27b
6
)
-
-1
11
（3）
a
+b
-11
(ab )
-1
（4）(2x 2+3y
-
4
)(2x 2-3y
-
14
)
3
31
1x 2+x -
2
2. 若x 2
+x
-
2
＝３ ．求
-3x 2
+x
-2
的值．
-2
3. 函数y =a x -1+1（a >0, a ≠1）必经过点4. 下列各式错误的是( )
A. 30. 8>30. 7 B. 0. 50. 4>0. 50. 6 C .0. 75-0. 1(3) 1. 4 5. 已知c
A. 2C >1 B. c >(1
) c
C. 2c
) c D. 2c
>(1
c
2
2
2
)
6. 函数y =(2a -1) x 是减函数，则求a 的取值范围
7. 设0
2x
2
-3x +2
>a
x 2
+2x -2
。
8．求函数y =3x
-
3的定义域。
9．函数y =a x
在[0, 1]上的最大值与最小值之差为3，则a 的值为多少？
10. 求函数y =(1
) x
2
-3x +2
2的单调区间和值域