初三数学动点问题

动态问题

一、选择题

1. （2011安徽，10，4分）如图所示，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P垂直于

AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AC=2，BD=1，AP=x，△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象的大致形状是（ ）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

2. （2011山东威海，12，3分）如图，在正方形ABCD中，AB=3cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速

度运动，同时动点N自A点出发沿折线AD—DC—CB以每秒3cm的速度运动，到达B点时运动同时停止，设△AMN的面积为y（cm2），运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是（ ）

【答案】B

3. （2011甘肃兰州，14，4分）如图，正方形ABCD的边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，

设小正方形EFGH的面积为S，AE为x，则S关于x的函数图象大致是

A．

B．

C．

G

D．

【答案】B 三、解答题

1. （2011浙江省舟山，24，12分）已知直线ykx3（k＜0）分别交x轴、y轴于A、B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为t秒．

（1）当k1时，线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以相同速度同时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动（如图1）．

① 直接写出t＝1秒时C、Q两点的坐标；

② 若以Q、C、A为顶点的三角形与△AOB相似，求t的值． （2）当k

3

时，设以C为顶点的抛物线y(xm)2n与4

（第24题图1）

（第24题图2）

直线AB的另一交点为D（如图2）， ① 求CD的长；

② 设△COD的OC边上的高为h，当t为何值时，h的值最大？

2. （2011广东东莞，22，9分）如图，抛物线yx2B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）. （1）求直线AB的函数关系式；

（2）动点P在线段OC上，从原点O出发以每钞一个单位的速度向C移动，过点P作⊥x轴，交直线AB于点M，抛物线于点N，设点P移动的时间为t秒，MN的长为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；

（3）设（2）的条件下（不考虑点P与点O，点G重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平等四边形？问对于所求的t的值，平行四边形BCMN是否为菱形？说明理由.

5

417

x1与y轴交于点A，过点A的直线与抛物线交于另一点4

3. （2011江苏扬州，28,12分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90º，AB0） （1）△PBM与△QNM相似吗？以图1为例说明理由； （2）若∠ABC=60º，AB=4厘米。 ① 求动点Q的运动速度；

② 设Rt△APQ的面积为S（平方厘米），求S与t的函数关系式； （3）探求BP2、PQ2、CQ2三者之间的数量关系，以图1为例说明理由。

4. （2011山东德州23,12分）在直角坐标系xoy中，已知点P是反比例函数y为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A．

（1）如图1，⊙P运动到与x轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由． （2）如图2，⊙P运动到与x轴相交，设交点为B，C．当四边形ABCP是菱形时：

23

(x＞0）图象上一个动点，以Px

①求出点A，B，C的坐标．

②在过A，B，C三点的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面积的1

．若存在，试求出所有满足条件的M点的坐标，若不存在，试说明理由．

图1

5. （2011山东菏泽，21，9分）如图，抛物线y＝12

x2

＋bx－2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A(－1，0)．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）判断△ABC的形状，证明你的结论；

（3）点M(m，0)是x轴上的一个动点，当MC＋MD的值最小时，求m的值．

2

6. （2011山东济宁，23，10分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，

C两点（点B在点C的左侧）. 已知A点坐标为（0，3）.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D， 如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；B

（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和PAC的最大面积.

7. （2011山东威海，25，12分）如图，抛物线yax2bxc交x轴

(第23

x

1,0),交y轴于点E(0,3)．点C是点A关于点B于点A(3,0)，点B(

的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行．直线

yxm过点C，交y轴于点D．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H，与抛物线交于点G,求线段HG长度的最大值；

（3）在直线l上取点M，在抛物线上取点N，使以点A，C，M，N为顶点的四边是平行四边形，求点N的坐标．

8. （2011山东烟台，26,14分）如图，在直角坐标系中，梯形ABCD的底边AB在x轴上，底边CD的端点D在y轴上.直线CB的表达式为y=－

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x+，点A、D的坐标分别为（－4，0），（0，4）.动点P自A点出发，在AB上匀速33

运行.动点Q自点B出发，在折线BCD上匀速运行，速度均为每秒1个单位.当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动.设点P运动t（秒）时，△OPQ的面积为s（不能构成△OPQ的动点除外）. （1）求出点B、C的坐标； （2）求s随t变化的函数关系式；

（3）当t为何值时s有最大值？并求出最大值.

（备用图1）

（备用图2）

9. （2011四川南充市，22，8分）抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为A（m－4,0）和B(m,0)，与直线y=－x+p相交于点A和点C(2m－4,m－6). (1)求抛物线的解析式；

（2）若点P在抛物线上，且以点P和A,C以及另一点Q为顶点的平行四边形ACQP面积为12，求点P,Q的坐标； （3）在（2）条件下，若点M是x轴下方抛物线上的动点，当⊿PQM的面积最大时，请求出⊿PQM的最大面积及点M的坐标。

10．（2011 浙江杭州，24， 12)图形既关于点O中心对称，又关于直线AC，BD对称，AC＝10，BD＝6，已知点E，

M是线段AB上的动点(不与端点重合)，点O到EF，MN的距离分别为h1，h2．△OEF与△OGH组成的图形称为蝶形． (1)求蝶形面积S的最大值；

(2)当以EH为直径的圆与以MQ为直径的圆重合时，求h1与h2满足的关系式，并求h1的取值范围．

11. (2011 浙江湖州，24，14)如图1．已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,M是BC的中点．P(0，m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D． (1) 求点D的坐标（用含m的代数式表示）； (2) 当△APD是等腰三角形时，求m的值；

(3) 设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2）．当点P从点O向点C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H所经过 的路径长．（不必写解答过程）

17. （2011四川重庆，26，12分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP＝3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速动动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速动动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动．在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧，设动动的时间为t秒(t≥0)．

(1)当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；

(2)在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t

之间的函数关系式和相

应的自变量t的取值范围；

(3)设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．

20．（2011福建泉州，26，14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A， 与y轴交于点B， 且

OA = 3，AB = 5．点P从点O出发沿OA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AO返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB－BO－OP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）． （1）求直线AB的解析式；

（2）在点P从O向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t之间的函数关系式（不必写出t的取值范围）；

（3）在点E从B向O运动的过程中，完成下面问题： ①四边形QBED能否成为直角梯形？若能，请求出t的值； 若不能，请说明理由；

②当DE经过点O时，请你直接写出t的值．

（第26题）

22. （2011湖南邵阳，24，12分）如图（十一）所示，在平面直角坐标系Oxy中，已知点A（点B是x轴上一点（位于点A右侧），以AB为直径的圆恰好经过点C。 （1）求角ACB的度数；

（2）已知抛物线y=ax2+bx+3经过A，B两点，求抛物线的解析式；

（3）线段BC上是否存在点D，使△BOD为等腰三角形？若存在，则求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由。

9

，0），点C（0,3）4

3. （2011四川成都，20,10分） 如图，已知线段AB∥CD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点. (1)若BK=

5CDKC，求的值； 2AB

1

AD时，猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样的等量关系?请写2

(2)连接BE，若BE平分∠ABC，则当AE=出你的结论并予以证明．再探究：当AE=

1AD (n2)，而其余条件不变时，线段AB、BC、CD三者之间又有怎n

样的等量关系?请直接写出你的结论，不必证明．