整系数多项式有理重根的一个性质

第２２卷第１期２００５年３月

阜阳师范学院学报（自然科学版）

Ｊｏｕｒｎａｌ“ＦｕｙａｎｇＴｅａｃｈｅｒｓｃｏｎｅｇｅ（Ｎａｔｕｒａｌｓｃｉｅｎｃｅ）

Ｖ０１．２２．Ｎｏ．１

Ｍａｒｃｈ

２００５

整系数多项式有理重根的二个性质

王海坤１，

王

宇２

２３６０３２）

（１．阜阳师范学院数学系，安徽阜阳２３６０３２；２．阜阳师范学院计算机系，安徽阜阳

关键词：整系数多项式｝有理根；重根

摘要：文章给出了整数系多项式有理重根的一个重要性质，主要结论推广了整系数多项式的有理根定理．

中圈分类号：０１５１引理设

文献标识码：Ａ文章编号：１００４—４３２９（２００５）ｏｌ—００２４一０３

厂（ｚ）一口。矿＋口一１ｚ”１十…＋口１ｚ＋口ｏ（口。≠

（，ｌ一１）（，ｌ一２）…＠一，，Ｉ）ａ。一１音＋…＋

（以一）（恕一是一１）…（露一五～ｍ＋１）口。一＾，一”一‘＝Ｏ

ｏ）‘是一整系数多项式，÷（（ｒ，ｓ）一１）是它的，，ｌ＋１

重根，（，，ｌ＝Ｏ，１，…挖一１；五＝Ｏ，ｌ，２，…，挖一ｍ）

则

ｒ＾

因为（，．，ｓ）＝１，所以０，，一一‘）＝１

ｓ／，ｌ（ｎ一１）…

Ｊ

．（竹一ｍ＋１）口。ｊ＋ｏ一１）（挖一２）…

（Ｉ）

ｓ／咒（ｎ一１）…（挖一优＋１）‰ｊ＋

ｒ＾一１

（甩一１）（，ｌ一２）…（扎一ｍ＋１）口。一１≥ｊ＋…＋

（ｎ一是）（以一愚一１）…（咒一是一所＋１）口。～Ｉ

ｃ＾

（，ｚ—ｍ＋！）％一ｌ矗＋…＋

（ｎ一愚）（咒一彘一１）…（挖一愚一班＋１）口。一＾

，ｊ一１

仿上可证

一

（Ⅱ）ｒ／ｍ（优一１）…２・ｌ口ｍ

ｒｔ—ｌ

ｉ＋

ｒ／研（搬一１）…２・１口ｍ

．＾一１

ｉ＋（ｍ＋１）撒”・２口ｍ＋１

（肌＋１）肌…２口ｍ＋１为＋…＋

（ｍ＋矗）（ｍ＋愚～１）…忌口。＋Ｉ

墨＋…＋（ｍ＋愚）（ｍ＋忌一１）…五盘ｍ＋＾

（ｍ—Ｏ，１，２…扎一ｌ；忌一０，１，２，…，靠一ｍ）

证明

，‘”’（ｚ）一行（挖一１）…（＂一ｍ＋１）口。矿一“＋ｏ一１）（咒一２）…ｏ一研）以。一１矿一一１＋…＋

ｍ（，，ｌ一１）…２・１口。

由于÷是，（ｚ）的ｍ＋１重根，则必是它的的一

重根、二重根、所＋１重根，故有

、定理

设

，（ｚ）一口。矿＋口。一１∥－１＋…＋口１ｚ＋口ｏ

（口。≠０）

珂（挖一１）…（行一ｍ＋１）‰，＿焉＋（挖一１）（佗一２）…

Ｑ一辨）‰一１≥＝ｊ＋…＋，，ｌ（ｍ一１）…２・１口ｍ＝ｏ

上式两边同乘ｓ””＿（愚＝０，１，２，３，…，咒一ｍ），

有

ｔ一一辨一１

是整系数多项式，÷是它的ｍ＋１重根（（ｒ，ｓ）一１，

优一ｏ，１，…，，ｌ一１），则对愚。一１，２，…，，ｚ；愚１—１，２，…，，ｚ一１，…，愚ｍ＝１，２，，咒一俄，有

托（咒一１）…（咒一ｍ＋１）‰Ｌｒ＋（忍一１）（咒一２）…

（扎一ｍ）口，。塑上÷ｄ＋…＋

’－ｎ—ｍ

小。宝ｈ筹＋…ｈ。。小，宝＋２口。筹＋．．．＋％＋ｍ”。

ｒＩｍ（优一１）…１口ｍｉ＋（所＋１）ｍ…２口ｍ＋ｌ≥：ｊ＋相（优＿１）…１口。宝＋（所＋１加２‰ｌ筹＋

…＋（ｍ＋五。）（优＋五。一１）…（是。＋１）乱。＋。

口．一＾，一ｍ一‘＋…ｍ（ｍ一１）…２・１盘龌，一‘一Ｏ

由上式知

（，２一蠡）（，２一惫一１）…（，ｚ～忌一优＋１）

ｓ知（挖一１）…（竹一优＋１）口。了＋

收稿日期：２００４一０１—２９

作者簿介：王海坤（１９５７一），男，副教授，主要从事函数论和数学教育方面的研究．

第３期王海坤等：整系数多项式有理重根的一个性质

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出。宝ｈ一，筹＋．．・ｈ飞小％宝帕－１）“，箸＋．．・

＋０一忌１）％一＾１

ｍ乏［号］，÷必是，（ｚ）的［号］＋１的重根，上面的

证明依然适用．

推论２

设厂（ｚ）一口。矿＋‰一１矿一１十・”＋口１ｚ＋口ｏ（口。

≠ｏ）是整系数多项式，÷是它的ｍ＋１（（５，，．）一１，

ｍ＝Ｏ，１，…，，ｚ一１）重根，则

（Ｉ），．２／（，７ｌ—１）！口。一１

小（挖一”“咒一ｍ＋１）％宝＋（口一１）（口＿２）…（挖一咖州箸＋．．．帕一¨

（挖一五。一１）…（靠一＾ｍ—ｍ）盘ｎ—ｌ。

１（Ⅱ）ｍ≤｝号！时，ｓ２／哳一１）ｌ口一。＋１，当ｍ≥

［号］时，ｓ２／ｃ［号］一１）！口一［羞］＋，

证明

在定理中分别取愚ｏ＝五。一…一愚。．一ｏ，屉。一是１一…志。一１，得

ｆ，．／，竹！口ｍ

推论１

设

口。

厂ｏ）＝口。∥＋％一１∥一１＋…＋口１ｚ＋

（％≠ｏ）是整系数多项式，÷是它的优＋

（Ｉ）ｒ／ｍ！口。；

１（（５，，．）一１，优一Ｏ，１，…，他一１）重根，贝０

１，．／ｍ！口。寺＋（ｍ一１）！口。一，

从而有，．／（（ｍ一１）！口一・詈十ｍ！口。）一优！口二，

且ｐｒ２／（，咒一１）！口。一１

（ｎ）优≤［号］时，有ｓ／优！ｎ。一。；优≥［号］时，

有ｓ／ｌ号ｊ！口，Ｉ一［詈］

证明（Ｉ）在定理中，取惫。＝意。一…一志。一０，既得要证的结论

同理可证（童）

推论３。

一

（Ｉ）当ｍ≤ｌ詈ｆ时，在定理中取忌。一愚，＝…

一点。一优，有

设厂（ｚ）一口。矿＋％一１∥＿１＋…＋口ｌｚ＋

口。（日。≠ｏ）是整系数多项式，÷是它的辨＋１（（５，

ｒ）一１，，，ｌ＝ｏ，１，…，托一１）重根，贝Ⅱ

咖。；ｈ一。暑＋．．．＋口一。ＩＡｌ，

咖％；帕＿１）址。筹＋．．．＋（ｎ一咖…－Ａ１。

ｒｍ

（Ｉ）当ｍ≤ｌ号Ｊ时，ｓ”＋１／优！口。；

当

优≥［号］时，ｓ［暑］＋１／［号］ｌ口。

（Ⅱ），＋１／ｍ！口ｏ．证明

ｓ肪（ｎ一１）…（”一ｍ＋１）‰≥＋（ｎ一１）

（ｎ＿２）…（ｎ刊％，暑＋．．・

（ｎ一优）（”一ｍ一１）…（ｎ—ｍ—ｍ＋１）‰一。＝Ａ１．。＋１

当ｍ≤［詈］时，取志

＝Ｏ，１，…，优

班‰；＋％。而Ｉ箬“．＋枇“一

则

５砌Ａ１１一Ａ１２一Ａ２１ｓ／Ａ１２（，ｚ一１）一Ａ１３一Ａ２２

ｓ／Ａ。一１，１（咒一班＋２）一Ａ。一１，２一（优一１）

七！吼；＋志（忌一１）…２（％一。筹＋物。一。筹＋

ｔ．Ｉ一２

…忌口。一Ｉ）一屉（愚一１）…３［２・１口＾一２：了乏＋

３・２口＾一３五十…正（愚一１）吼一＾］一……＋

．－＾一３

（ｍ一２）…２・１口。一。：・÷＋ｍ（优一１）…

２口。一。一Ａ。１

（一１）‘志［（愚一１）…２・１口。一＾＋１南＋

愚（忌一１）…２口。一＾］＋

（一１）‘＋１愚（愚一１）（愚一２）…２・１口．一Ｉ，

ｓ／Ａ。一１。２（ｎ—ｍ＋１）一Ａ。一１。３一（ｍ一１）

（ｍ一２）…２・１（咒一ｍ十１）口（。一。＋・）÷＋

ｍ（，，ｚ一１）…２（，ｚ—ｍ）口。一。一Ａ。２

且口ｓｍ＋１／，竹！口。．

所以ｊ／Ａ。１（。一。＋１）一Ａ。２一优（优一１）…２・

１口。一辨

当ｍ≥ｌ詈ｆ时；取愚＝ｏ，１，…，ｌ詈！，仿上同理

。厶一

Ｌ．厶一

可证；（Ⅱ）同理可证．

、

２６

阜阳师范学院学报（自然科学版）第２１卷

参考文献

：１］王海坤．整系数多项式有理根定理的改进口］．工科数学，１９９８，１４（１）：８１—８３．：２］张禾瑞等．高等代数［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９８３．

ＡＰｒｏｐｅｒｔｒｏｆ

ＭｕｌｔｉｐｌｅＲａｔｉｏｎａｌＲＯＯｔＯｆＩｎｔｅｇｅｒＰｏｌｙｎｏｍｉａｌ

ＷＡＮＧＨａｉ－ｋｕｎｌ

ＷＡＮＧＹｕ２

（１．丁ｋ＾缸纨口ｍ口ｔｉｃｓＤ印口，＿于ｍＰ行ｔＤ，ＦＭｙ４雄ｇ７’口ｃ＾Ｐ邝Ｃ｜Ｄ伽ｇＢ，ＦＭ妒行ｇ２３６０３２Ｃ＾ｉ咒口）

（２．ＣＤ打妒“ｔＰｒＤ哆口Ｈｍ口ｎｆｏ，Ｆ‘拶４雄譬７０４ｃ＾Ｆ＂ＧＤｚ跆ｇＰ，Ａ靠＾撕Ｆ彤『４行ｇ２３３６４１，Ｃ冼扬口）

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｇｉｖｅｓ

ａｎ

ｉｍｐｏｒｔａｎｔｔｈｅｏｒｙｏｆｍｕｌｔｉｐｌｅｒａｔｉｏｎａｌ

ｒｏｏｔ

ｏｆｉｎｔｅｇｅｒｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ，ｔｈｅｍａｉｎｒｅｓｕｌｔｓｅｘｔｅｎｄ

ｔｈｅｏｒｙｏｆｒａｔｉｏｎａｌ

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Ｋｅｙ

Ｗｏｒｄｓ：ｉｎｔｅｇｅｒ

ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ；ｒ８ｔｉｏｎａｌｒｏｏｔ；ｍｕｌｔｉｐｌｅ

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（上接第１２页）

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Ｍａｎｉｆｅｓｔａｔｉｏｎ

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ＭａｃｒｏｍｏｌｅｃｕｌｅＭｅｔａｂｏｌｉｓｍ

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ｒｅ８ｎ＿ａｉｎｔｈｅｂｉ０８ｙｎｔｈｅｓｉｓｏｆｂｉｏＩｏｇｉｃａｌｍａｃｒｏｍｏｌｅｃｕｌｅｓｃｏｎｓｐｉｃｕｏｕ８ｌｙ．

ＫｅｙｗＯｒｄｓ：ｉ８０ｔｏｐｅｍａｒｋｉｎｇ｝ｍ８ｃｒｏｍｏｌｅｃｕｌｅｍｅｔａｂｏｌｉｓｍ；ｍｅｔａｂｏｌｉ８ｍ

ｔｈｅｎａｔｉｏｎ

ａｌｋａｌｏｉｄｓ

整系数多项式有理重根的一个性质

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：

王海坤， 王宇， WANG Hai-kun， WANG Yu

王海坤,WANG Hai-kun(阜阳师范学院数学系,安徽,阜阳,236032)， 王宇,WANG Yu(阜阳师范学院计算机系,安徽,阜阳,236032)

阜阳师范学院学报（自然科学版）

JOURNAL OF FUYANG TEACHERS COLLEGE(NATURAL SCIENCE)2005,22(1)1次

参考文献(2条)

1. 张禾瑞 高等代数 1983

2. 王海坤 整系数多项式有理根定理的改进 1998(01)

本文读者也读过(2条)

1. 朱玉扬. ZHU Yu-yang 整系数多项式有理根一个新求法的再探讨[期刊论文]-数学的实践与认识2005,35(5)2. 罗永超. LUO Yong-chao 关于整系数多项式无有理根的一个判别法的注记[期刊论文]-贵州师范大学学报（自然科学版）2011,29(1)

引证文献(1条)

1. 杨侠. 孙自行 关于高等代数中命题的反例研究[期刊论文]-阜阳师范学院学报（自然科学版） 2010(4)

本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_fysfxyxb-zrkxb200501009.aspx