供应链中配送系统联合优化的数学模型
第２８卷总第１２０期
・连锁与配送・
物流科技
供应链中配送系统联合优化的数学模型
ＥｓｔａｂｌｉｓｈｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃＭｏｄｅｌｏｆＩｎｔｅｇｒａｔｅｄＯｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ
ｏｆＤｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｏｆＳｕｐｐｌｙＣｈａｉｎ
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
朱向顺，李仲兴，李锦飞
（江苏大学，江苏镇江２１０２１３）
ＺＨＵＸｉａｎｇ－ｓｈｕｎ，ＬＩＺｈｏｎｇ－ｘｉｎｇ，ＬＩＪｉｎ－ｆｅｉ（ＪｉａｎｇｓｕＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｚｈｅｎｊｉａｎｇ２１０２１３，Ｃｈｉｎａ）
摘
要：主要分析了供应链配送系统中分销商和零售商之间的关系，应用最优化方法提出了以转运为基础的动态数学
模型。模型中讨论了如何动态地集中控制各分销商和零售商的库存，以最大限度地满足顾客的需求。并给出了按
ＢＥＮＧＥＲＳ方法设计的求解算法。模型中约束方程数量的有限性保证了算法的收敛性。最后，以苏果超市为背景对模型进
行实例分析。分析结果表明，该模型能够有效的降低库存，为企业科学决策提供了支持。
关键词：配送系统；混合整数规划；最优化方法；转运中图分类号：Ｆ２２４．０
文献标识码：Ａ
文章编号：１００２－３１００（２００５）０８－００６７－０５
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅａｒｔｉｃｌｅｍａｉｎａｎａｌｙｓｅｓｔｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｂｅｔｗｅｅｎｄｉｓｔｒｉｂｕｔｏｒｓａｎｄｒｅｔａｉｌｅｒｓｉｎｔｈｅｓｕｐｐｌｙｃｈａｉｎｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓｙｓｔｅｍ．Ａｄｙｎａｍｉｃｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｍｏｄｅｌｂａｓｅｄｏｎｔｒａｎｓｆｅｒｉｓｂｕｉｌｔｂｙｔｈｅｕｓｉｎｇｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ，ｗｈｉｃｈｄｉｓｃｕｓｓｅｓｈｏｗｔｏｂｅｃｏｎｃｅｎｔｒａｔｅｏｎｃｏｎｔｒｏｌｌｉｎｇｔｈｅｉｎｖｅｎｔｏｒｙｏｆｄｉｓｔｒｉｂｕｔｏｒｓａｎｄｒｅｔａｉｌｅｒｓｄｙｎａｍｉｃａｌｌｙｉｎｏｒｄｅｒｔｏｓａｔｉｓｆｙｃｕｓｔｏｍｅｒｓ＇ｄｅｍａｎｄｓｔｏｔｈｅｈｉｇｈｅｓｔｌｉｍｉｔａｎｄｔｈｅａｌｇｏｒｉｔｈｍｗｈｉｃｈｒｅｆｅｒｓｔｏｔｈｅｂｅｎｄｅｒｓｍｅｔｈｏｄｉｓｇｉｖｅｎ．Ｌｉｍｉｔｅｄｑｕａｎｔｉｔｙｏｆｓｔｉｐｕｌａｔｉｏｎｓｅｎｓｕｒｅｓｔｈｅａｓｔｒｉｎｇｅｎｃｙｏｆｔｈｅａｌｇｏｒｉｔｈｍ．ＴｈｅｍｏｄｅｌｉｓａｎａｌｙｚｅｄｏｎｔｈｅｂａｓｉｓｏｆＳｕｇｕｏｓｕｐｅｒｍａｒｋｅｔ．Ｔｈｅａｎａｌｙｓｉｓｒｅｓｕｌｔｉｎｄｉｃａｔｅｓｔｈａｔｔｈｉｓｍｏｄｅｌｃａｎｒｅｄｕｃｅｉｎｖｅｎｔｏｒｙｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙ，ａｎｄｐｒｏｖｉｄｅｓｓｕｐｐｏｒｔｆｏｒｅｎｔｅｒｐｒｉｓｅｓｃｉｅｎｃｅｄｅｃｉｓｉｏｎ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ；ｍｉｘｅｄ－ｉｎｔｅｇｅｒｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ；ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ；ｔｒａｎｓｆｅｒ
１引言
在传统的配送系统中，由于商品的需求量及种类较少，零售商可凭借较多的存货及较长的订货周期来减少供货商的配送频率，以降低配送运输成本。但是在现代的配送系统中，零售商为了减少资金积压及提供多样化的商品，势必要减少各种商品的存货数量，而同时又必须考虑到提供最好的服务品质（不允许缺货）。供应链战略就在于对商品的仓储与运输进行有效的统筹规划以降低配送成本［１］。
随着快速运输方法和高级信息系统的发展，转运成为供应链战略选择时考虑的一个重要选项。转运是指为了满足一些应急需要，供应链同一层次上的不同机构之间进行的商品运输。
转运是零售层次最常考虑的一种方法，转运能力能够使零售商用其他零售商的库存来满足顾客需求。为了实现这种做法，零售商必须了解其他零售商有什么库存，并且必须能够快速地把商品运到自己的商店或分销商。这些要求只能通过高级信息系统才能满足。高级信息系统允许零售商知道其他零售商有什么库存，并促使零售商之间的快速运输。因此本文提出了零售商之间的转运来满足顾客需求的变化，并提出了配送系统最小化库存动态模型，这对实际中使用这种配送系统的企业有一定的实用价值［２］。
收稿日期：２００５－０３－１７
基金项目：镇江市物流发展战略研究（市政府攻关项目）
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物流科技
&
连锁与配送&
２２．１
供应链配送战略动态模型的建立模型的有关假设模型的假设如下：
（１）仅在一定的备选取地点范围内考虑配送系统的配置；（２）分销商有足够的商品供应各零售商；（３）每个零售商区域内顾客的需求量稳定；（４）每个零售商的需求量相等都为Ｄｉｋｔ。
我们假设生产厂商有足够的商品供应各分销商，此模型仅考虑一定范围内的配送系统，目的是使得
配送系统的库存最小［３，４，５，６］。
２．２模型指数
ｉ，ｊ———
仓库的位置ｔ———
时间阶段ｋ———
商品的种类２．３模型变量
Ｘ———在时间ｔ商品从仓库ｉ运送到仓库ｊｉｊｔ＝
! １０
———否则
Ｉｉｋｔ———
仓库ｉ在时段ｔ结束时货物ｋ的库存量Ｙｉｊｋｔ———
在时段ｔ内仓库ｉ转运商品ｋ到仓库ｊ的数量２．４模型参数
ＩＤ———
表示分销商ＩＭ———
表示制造商ＩＲ———
表示零售商ＩＤｌ———
表示分销商的仓库ＩＲｌ———
表示零售商的仓库Ｉｌ———
表示分销商和零售商总的仓库Ｔ———
计划期长度ｂｉｔ———
在时段ｔ仓库ｉ能储存的最大库存量Ｄｉｋｔ———
在时段ｔ仓库ｉ需要提供给顾客商品ｋ的数量Ｍ——一个无穷大数
３模型的建立
Ｍｉｎ#$$Ｉｉｋｔ＋$$$ＸｉｊｔＹｉｊｔ＋$$$ＸｉｊｔＹｉｊｔ
ｉ∈Ｉｌｋ∈Ｋｔ∈Ｔ
ｉ∈ＩＲｌｊ∈ＩＲｌｔ∈Ｔ
ｉ∈ＩＤｌｊ∈ＩＲｌｔ∈Ｔ
约束条件：
Ｉｉｋｔ＋$Ｙｊｉｋｔ－$Ｙｉｊｋｔ－Ｄｉｋｔ＝Ｉ%ｉ∈ＩＲｌ，ｋ，ｔ，ｉ∈Ｉｉｋ，ｔ＋１
ｌ
ｊ∈ＩＲｌｌ
Ｉｉｋｔ＋$Ｙｊｉｋｔ－%ｉ∈ＩＤｌ，ｋ，ｔ，ｉ∈Ｉ$Ｙｉｊｋｔ＝Ｉｉｋ，ｔ＋１
Ｍ
ｊ∈ＩＲｌｌ
ｊｉｔ
ｘ
ｉｊ，ｔ＋１
＝０
%ｉ∈ＩＲｌ，ｔ，ｊ$Ｘ－∈Ｉ$Ｒｌ
ｊ∈ＩＲｌ
%ｉ∈ＩＤｌ，ｔ，
ｊ$ｉｊｋｔ
－ＭＸｉｉｔ≤０
∈Ｉ$Ｙ
Ｒｌｋ∈Ｋ
（１）
｛１｝｛２｝｛３｝｛４｝
+
连锁与配送+
ｊ∈ＩＲｌ
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" Ｙ
ｉｊｋ，ｔ＋１
－Ｉｉｋｔ≤０－ｂｉｔ≤０－Ｄｉｋｔ≥０
#ｉ∈ＩＤｌ，ｋ，ｔ，#ｉ∈ＩＲｌ#ｉ∈ＩＲｌ
｛５｝｛６｝｛７｝｛８｝
" Ｉ
ｋ∈Ｋ
ｉｋｔ
" Ｉ
ｋ∈Ｋ
ｉｋｔ
Ｉｌ＝ＩＲｌ＋ＩＤｌＹｉｊｋｔ，Ｉｉｋｔ≥０Ｘｉｊｔ∈｛０，１｝
#ｉ，ｊ，ｋ，ｔ，#ｉ，ｊ，ｔ，
｛９｝｛１０｝
目标函数（１）使得配送系统的总库存最小。这总库存包括：ａ．分销商和零售商的库存；ｂ．在ｔ时段分销商向零售商运送的商品数；ｃ．在ｔ时段零售商之间相互转运的商品数。
约束条件｛１｝建立了零售商货物的进出库及库存的平衡；约束条件｛２｝建立了分销商货物的进出库及库存的平衡；约束条件｛３｝保证货物在零售商之间流动的连续性；
约束条件｛４｝保证分销商能够稳定的提供零售商所需的货物；约束条件｛５｝分销商的最大供货能力；
约束条件｛６｝限制单个零售商在时段ｔ结束时的最大物理库存能力；约束条件｛７｝保证零售商的库存满足顾客的最大需求；约束条件｛９｝，｛１０｝强加了适当的变量限制。
此模型的目的是通过零售商之间的合理转运，使得配送系统（分销商和零售商）中的库存量最小，并能最大限度的满足顾客的需求和服务水平。
４求解算法
模型式（１）是混合整数规划，应当用ｂｅｎｇｅｒｓ分解算法求解，为此先把原问题式（１）转化成标准
形式
ｍｉｎｓ．ｔ．
ＣＸ＋ｆ（ｙ）ＡＸ＋Ｆ（ｙ）≥ｂ%ｙ∈Ｙ；Ｘ≥０；
（２）
其中，Ｘ是线性变量矢量，Ｙ是专门变量矢量（全是０－１变量）。可看出的值一旦被固定，式（２）就成为一个普通的线性规划问题，但选择一定要保证所得规划有可行解。由Ｆａｒｋａｓ引理和对偶原则可以得出式（３）
ｍｉｎＵ
Ｕ≥ｆ（ｙ）＋ｕｐ（ｂ－Ｆ（ｙ））ｐ＝１，２，…，ｐｓ．ｔ．
其中，Ｐ为极点数，Ｒ为极线数。
（３）
ｕ（ｂ－Ｆ（Ｙ））&０ｒ＝１，２，…，Ｒｙ∈Ｙ
由于式（１）带有很大数目的约束，极点数Ｐ和极线数Ｒ是相当大的，可采用部分约束集合开始逐步迭代的方法求解。令ＩＰ是集合｛１，２，…，ｐ｝的子集，ＩＲ是集合｛１，２，…，Ｒ｝的子集，由此可得式（４）
’) ) ) () ) ) ) ) *
ｍｉｎＵ
Ｕ≥ｆ（ｙ）＋ｕｐ（ｂ－Ｆ（ｙ））ｐ＝１，２，…，ｐ
（４）
ｕ（ｂ－Ｆ（Ｙ））&０ｒ∈ＩＲ
ｙ∈Ｙ
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设（Ｕ＊，ｙ＊）为式（４）的最优解，则考虑下列的问题
&
ｍａｘｓ．ｔ．
ｕ（ｂ－Ｆ（ｙ＊））! ０
连锁与配送&
（５）
#ｕ≥０
ｕＡ! Ｃ
由文献［７］可以得出下列结论：
①式（１）有可行解$式（３）有可行解；②式（１）有无界解$式（３）有无界解；
③若（Ｕ０，ｙ０）是式（３）的最优解，ｘ０为下述ＬＰ的最优解。
ｍｉｎｓ．ｔ．
ＣＸ
#Ｘ≥０
ＡＸ≥ｂ－Ｆ（ｙ０）
那么（ｘ０，ｙ０）就是原问题（１）的最优解。算法如下：（ａ）假定初始集合ＩＰ０，ＩＰ０解式（４）（ｐ∈ＩＰ０，ｒ∈ＩＰ０）。
（ｂ）这时，具有集合ＩＰ，ＩＲ，解式（４）（ｐ∈ＩＰ，ｒ∈ＩＰ）。若式（４）不可行，停止，原问题式（１）无解；若式（４）有有界最优解（Ｕ＊，ｙ＊），转②；有无界最优解时，令（Ｕ＊，ｙ＊）是使得Ｕ＊＝－∞的任一可行解转②。
（ｃ）解ＬＰ规划式（５），其中ｙ＊是由初始解给出，若ＬＰ式（５）不可行，停止，这时式（１）也不。可行或有无界最优解，若ＬＰ式（５）有无界解，转③；若ＬＰ式（５）有有限最优解，转（４）
（ｄ）这时，沿着某个极线ｒ有ｕ（ｂ－Ｆ（ｙ＊））→＋∞，把相应的约束ｒ（ｂ－Ｆ（ｙ））≤０加到问题式（４）中，扩大ＩＲ后再转①。
（ｅ）令ｕｐ为ＬＰ的最优极点解，若ｕｐ（ｂ－Ｆ（ｙ））＝Ｕ＊－ｆ（ｙ＊）则停止，式｛４｝的解（Ｕ＊，ｙ＊）即为式（３）的一个最优可行解；若ｕｐ（ｂ－Ｆ（ｙ））＞Ｕ＊－ｆ（ｙ＊），那么把相应的约束加到式（４）中，即扩大集合Ｐ，再转①。
由于约束是有限的，问题只有有限个极点和极线，所以上面的算法在有限步就会收敛。
５实例分析
通过对苏果超市调查，我们可以验证此模型和算法的优越性和有效性。苏果超市在镇江有一个配送
中心，九个零售商。配送中心和零售商的地理布置和图１大致相同，为了计算简单，我们只考虑一种产品。在实行此模型前，我们从苏果超市的历史数据可以看出配送中心一个月需要１６２００箱的库存才能满足每个零售商的需求。各个零售商的需求量如下表所示。
各个零售商一个月的需求量
零售商需求量
Ｘ１２５００
Ｘ２１７００
Ｘ３１４００
Ｘ４２０００
Ｘ５２３００
Ｘ６１４００
Ｘ７１５００
Ｘ８１６００
Ｘ９１８００
图１实行模型前配送系统模式
图２实行模型后配送系统模式
由ｂｅｎｄｅｒｓ算法对模型进行求解，得出当目标函数为１２０００箱时，算法收敛。从而得出模型目标函数的最小值为１２０００箱。并用图３表示算法求解的全过程。由图３可见，通过采用该模型，镇江地区苏
!
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果超市的库存减少了４２００箱，下降了２５．９２％，从而验证了该模型是有效的。
图３算法步数Ｎ
６结论
通过对供应链配送系统转运特点的分析，建立了使配送系统合理转运的库存最小化模型。图１和图
２充分显示了实行模型后配送系统的优越性。本文的研究思路可以为企业的配送决策提供支持，使企业
能够合理地安排库存、运输等计划，以降低供应链配送系统的整体成本。除了通过联合转运可以提高经济效益外，还可以恰当设置配送中心、制定配送计划，实行计划配送，把多数顾客按地区、销售量分不同层次，再按顾客层次等分开货物，根据高效率的配送路线，进行巡回服务，使货物到达顾客手中的时间定时化。此外，还应发展配送技术，如将单位载荷制应用在联合托盘上，集装箱化的配送中，可促进运输、装卸的效率化。自动分拣装置，将使分拣省力化的程度大大提高。再者有机地结合运输枢纽站，仓库、配送中心、卸货地区的功能、切实地配备现代化的物流据点，采取完善环境保护的对策可以提高物流效率，在今后的物流中不断消除多余的流通环节、压缩不合理的销售储备，减少流通费用，不断提高经济效益。
参考文献：
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Ｍ．ＧｒａｚｉａＳｐｅｒａｎｚａ，ＰａｕｌＳｔａｈｌｙ．张耀平，王明志，黄艾舟，谢玉花，朱茵译．配送物流新趋势［Ｍ］．北京：清华大
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ＫｅｖｉｎＲ．Ｇｕｅ．ＡＤｙｎａｍｉｃＤｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎＭｏｄｅｌＦｏｒＣｏｍｂａｔＬｏｇｉｓｔｉｃｓ［Ｊ］．ＣｏｍｐｕｔｅｒａｎｄＯｐｅｒａｔｉｏｎＲｅｓｅａｒｃｈ，２００３，３０：３６７－３８１．
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（２）：７４８－７５８．［５］［６］［７］
蔡希贤，夏士智译．物流合理化的数量方法［Ｍ］．武汉：华中理工大学出版社，１９８５．卢开澄．组合数学［Ｍ］．北京：清华大学出版社，１９９１．
朱道立．大系统优化理论与应用［Ｍ］．上海：上海交通大学出版社，１９８７．
作者简介：
朱向顺：江苏大学汽车与交通工程学院硕士．研究方向：物流配送车辆优化调度理论．地邮
址：江苏省镇江市江苏大学７７３信箱．
编：２１０２１３．
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