数学悖论--文献综述
题 目 数学中悖论问题的研究 系 别专 业班 级 姓 名学 号
本 科 毕 业 论 文 文 献 综 述
一、前言
本次论文是为了让我们更清楚地理解数学的神奇有趣,为我们开拓眼界。让我们在本论文的引导下畅游在快乐的数学世界,与数学成为朋友。数学广泛应用在各科和生活中,时代的发展使得思维方式深刻的变化。也给传统的机械,死板的思维方式带来了挑战。
随着我们学习的迅速深入,思维方式的改变将迫在眉睫,数学的更抽象化,以及灵活性的加深,并逐步挑战着我们的思维。数学的扩展,以及悖论的研究是深入学习化学,物理、生物、地理的基础,是提高逻辑能力,提高严密推理的必要手段。
二、正文
(一)悖论问题的相关理解
百度百科中有提到“悖论,亦称为吊诡、诡局或佯谬,是指一种导致矛盾的命题。在逻辑学上指可以同时推导或证明出两个互相矛盾的命题的理论体系或命题。 悖论的定义可以这样表述:由一个被承认是真的命题为前提,设为B ,进行正确的逻辑推理后,得出一个与前提互为矛盾命题的结论非B ;反之,以非B 为前提,亦可推得B 。那么命题B 就是一个悖论。当然非B 也是一个悖论。我们可以按照某些制定或约定的公理规则去判定或证明某一命题的真假,但是我们按照制定或约定的公理规则去判定或证明有些命题的真假时,有时却出现发生了无法解决的悖论问题。”
其中还提到“悖论(paradox)来自希腊语‘para+dokein’,意思是‘多想一想’。这个词的意义比较丰富,它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论,那些结论会使我们惊异无比。 悖论是自相矛盾的命题。即如果承认这个命题成立,就可推出它的否定命题成立;反之,如果承认这个命题的否定命题成立,又可推出这个命题成立 如果承认它是真的,经过一系列正确的推理,却又得出它是假的;如果承认它是假的,经过一系列正确的推理,却又得出它是真的。”
(二)悖论问题的类型
张红主编的《数学简史》中有介绍到芝诺著名的四个悖论。
两分法:是说运动不存在。理由是“运动中的物体在到达目的地前必须到达半路上的点。”即先到达其1/2处,又必须到达1/4处, „„依此类推可至无穷。简
言之芝诺认为物体所走的道路是全程的1/2、1/4、1/8、„„无穷下去。
阿基里斯追不上龟:公元前5世纪,芝诺发表态了著名的阿基里斯和乌龟赛跑悖论:他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始,并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍。当比赛开始后,若阿基里斯跑了1000米,设所用的时间为t ,此时乌龟便领先他100米;当阿基里斯跑完下一个100米时,他所用的时间为t/10,乌龟仍然前于他10米。当阿基里斯跑完下一个10米时,他所用的时间为t/100,乌龟仍然前于他1米„„ 芝诺解说,阿基里斯能够继续逼近乌龟,但决不可能追上它。
飞箭不动说:“飞箭在每一个瞬间都占有一个特定的位置,它在这一个瞬间是不动的,每个瞬间都不动,无限个不动的瞬间总和还是不动,所以飞箭不动。”
运动场问题(又称竞走问题):设运动场跑道上三条线段A ,B ,C ,令C 不动,A 向左,B 向右移动,A 对于C 移动一个小段用的时间与A 对于B 移动两段用的时间相等。简言之,一半的时间可以等于全体的时间。
张云霞2012年在家教世界第24期出版的(数学悖论奇观) 中有提到几种悖论类型。说谎者悖论:公元前6世纪,克利特哲学家埃庇米尼得斯(Epimenides )说了一句很有名的话:“所有克利特人都说谎。”这句话有名是因为它没有答案。因为如果埃庇米尼得斯所言为真,但这跟先前假设此言为真相矛盾;又假设此言为假,那么也就是说所有克利特人都不说谎,自己也是克利特人的埃庇米尼得斯就不是在说谎,就是说这句话是真的,但如果这句话是真的,又会产生矛盾。因此这句话是没有解释的。
理发师悖论:在萨维尔村,理发师挂出一块招牌:“我只给村里所有那些不给自己理发的人理发。”有人问他:“你给不给自己理发?”理发师顿时无言以对。这是一个矛盾推理:如果理发师不给自己理发,他就属于招牌上的那一类人。有言在先,他应该给自己理发。反之,如果这个理发师给他自己理发,根据招牌所言,他只给村中不给自己理发的人理发,他不能给自己理发。因此,无论这个理发师怎么回答,都不能排除内在的矛盾。这个悖论是罗素在一九〇二年提出来的,所以又叫“罗素悖论”。
苏格拉底悖论:有“西方孔子”之称的雅典人苏格拉底(Socrates ,公元前470原前399)是古希腊的大哲学家,曾经与普洛特-加龙省哥拉斯、哥吉斯等著名诡辩家相对。他建立“定义”以对付诡辩派混淆的修辞,从而勘落了百家的杂说。但是他的道德观念不为希腊人所容,竟在七十岁的时候被当作诡辩杂说的代
表。在普洛特-加龙省哥拉斯被驱逐、书被焚十二年以后,苏格拉底也被处以死刑,但是他的学说得到了柏拉图和亚里斯多德的继承。苏格拉底有一句名言:“我只知道一件事,那就是什么都不知道。”这是一个悖论,我们无法从这句话中推论出苏格拉底是否对这件事本身也不知道。
(二)悖论问题所具有的影响
黄静在考试(综合版) 第1期中发表的(数学悖论在中小学数学教学中的价值初探)告诉我们:传统的数学教学理论一般都认为,数学教学应该尽可能地避免出现差异或者谬误,尤其是要避免出现悖论,因此,在这种“正确的”教学理论指导下的教学实践就是“正确的”的“数学结论”(包括事实、命题、法则、规律、推理和证明等) 的展示、表演与习得、操练与熟悉。但是,即使是算术的教学,在这种教学理论的指导下,大多数学生最多也只能获得一些“死”的概念符号和计算程序,而无法获得真正的数感。正因为如此,笔者认为,数学发展史上的诸多悖论,如果能够结合学校数学课程,并加以合理的处理,它们就可以成为数学课堂教学中的“本原性”问题;与此同时,在数学课堂同样引起了学生们激烈的争论。大多数人争取一下三种看教学实践中也涌现出许许多多的“原发性”的数学(悖论) ,它们也是数学“本原性”问题,所有这些悖论,如果能够适当地加以运用和捕捉,都会起到意想不到的教育教学效果。
其中就有提到数学悖论对中小学生的影响:数学悖论有利于培养中小学生思维的发散性;数学悖论有利于培养中小学生思维的批判性;数学悖论有利于培养中小学生思维的独创性。
《数学简史》中也有提到:悖论的出现逼迫数学家投入最大的热情去解决它。而在解决悖论的过程中,各种理论应运而生了:第一次数学危机促成了公理几何与逻辑的诞生;第二次数学危机促成了分析基础理论的完善与集合论的创立;第三次数学危机促成了数理逻辑的发展与一批现代数学的产生。可见数学悖论对数学蓬勃发展具有很大的影响。
三、结论
在我看来悖论问题就是一种矛盾的问题,即理论上推出来的结果与现实实践出来的结果存在差异。就拿阿基里斯追龟来说,放到实际当中以车和人为模型进行实践,实践结果很显然车最终一定会追上人,但是按照阿基里斯悖论里的观点来研究得出的结论则是车永远追不上人。
还有就是没有考虑到自己也身在其中而出现自相矛盾的情况,就拿理发师悖论来说,其中理发师就是因为没把自己算进去才出现了被别人问得无言以对的尴尬情况。这是集合论悖论的通俗的、有故事情节的表述。显然,这里也存在着一个不可排除的“自指”问题。
以上的研究,在一定的程度上表明了悖论问题对于数学的重要性以及对于开发学生创造性思维、提高学生逻辑能力、培养学生对数学的兴趣等的重要影响。如果教师能够在课堂上举一些生动、有趣的悖论问题叫学生自己讨论解决而不是一味的讲枯燥的理论知识,那样的话就能激发起学生的兴趣让他们对数学感兴趣,甚至喜欢上数学。另外就是以上研究的是几个典型的数学悖论问题,我们可以根据那些悖论问题创造出相关的生动有趣的故事应用于数学教学中。
参考文献:
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[8] 张红主编. 《数学简史》. 科学出版社.2007
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[10]黄静. 数学悖论在中小学数学教学中的价值初探. 刊名:考试(综合版).2013第1期