层状介质中电磁波传输特性分析
题 目 层状介质中电磁波传输特性分析
学生姓名 岳曼 学号 1210064058
所在学院 物理与电信工程学院
专业班级 电信1202班
指导教师 黄朝军
完成地点 博远楼1012室
2016 年 6月 5 日
目 录
1引言 ..................................................... 1
1.1研究目的及意义 .......................................... 1
1.2研究现状及发展 .......................................... 1
1.3主要研究内容 ............................................ 1
2电磁场的基本理论 ......................................... 2
3.平面电磁波 .............................................. 3
3.1无耗煤质中的平面电磁波 .................................. 3
3.2均匀平面波的传输特性 .................................... 3
4均匀平面电磁波向平面分界面的入射 ......................... 4
4.1电磁波向理想导体的垂直入射 .............................. 4
4.2均匀平面电磁波向理想分界面的斜入射 ...................... 5
4.3 均匀平面电磁波向理想导体的斜入射 ........................ 6
4.3相位匹配条件和斯奈尔定律 ................................ 6
4.4 垂直入射情况下的反射系数和透射系数 ...................... 7
4.5 数值结果 ................................................ 8
4.5.1垂直入射数据分析 ................................... 8
5 多层平面平行介质中电磁波的传输特性 ....................... 9
5.1 基本方程 ................................................ 9
5.2 边界条件 ............................................... 10
5.3 波阻抗 ................................................. 10
5.3.1无界煤质中的等效波阻抗 ............................ 10
5.3.2 有界媒质中的等效波阻抗 ............................ 11
5.4 数值结果 ............................................... 11
5.4.1用波阻抗的方法求多层煤质中的反射系数 ............... 11
5.4.2用波阻抗的方法求多层煤质中的透射系数 ............... 12
5.5数值分析 ............................................... 12
6 结语 ................................................... 13
致谢 ..................................................... 13
参考文献 ................................................. 15
附录 ..................................................... 16
层状介质中电磁波传输特性分析
岳曼
（陕西理工学院物理与电信工程学院电子信息科学与技术专业1202班，陕西，汉中，723000）
指导老师：黄朝军
[摘要]基于Maxwell电磁理论，分析了电磁波和介质之间的相互作用，并结合电磁场边界条件，求解了电磁波
和平面平行介质相互作用的场方程，利用波阻抗和等效传输原理推导了电磁波在层状介质中传输时各层介质的反射
系数和透射系数的理论公式。最后基于程序设计给出了层状介质中电磁波传输时反射系数和透射系数的数值结果，
为研究层状介质中电磁波的传输特性提供了参考。
[关键词]平面电磁波；分层介质；反射系数；透射系数
Analyzing the transmission characteristic of electromagnetic in layered media
Yue Man
(Grade12,Class02,Major Electronic Information Science and Technology,School of Physics and
Telecommunication Engineering,Shaanxi University of Technology, Hanzhong,723000 Shaanxi).
Tutor: Huang Chaojun
[Abstract] Based on Maxwell's electromagnetic theory, the interaction between electromagnetic
wave and medium are analyzed , combined with electromagnetic field boundary conditions, solve the
field equations of interaction between electromagnetic wave and plane parallel to the media,By using
the theory of wave impedance and equivalent transmission electromagnetic wave propagation in
layered media was deduced the reflection coefficient and transmission coefficient of each layer
medium theory formula. Based on the program design of electromagnetic wave transmission in
layered media are given when the reflection coefficient and transmission coefficient of the numerical
results, to study the transmission properties of electromagnetic wave in layered media provides the
reference
[Key words] plane electromagnetic wave, layered medium, reflection coefficient and
transmission coefficient
1引言
1.1研究目的及意义
随着电磁波技术在信息通讯、目标探测、远程遥控、制导、微波成像等各个领域内的不断发展
升华,电磁波在媒质中的传播情况引起了界内人士的广泛关注以及深入的了解。探究电磁波在媒质中
的传播特性的问题,不仅可以对电磁场理论自身具有的重要的理论意义,而且在实际应用中使得电磁
场具有更加广泛的参考价值。其中作为矿物质、地质层以及云层等诸多介质的实际模型，层状介质
中电磁波传输特性的研究具有显著地应用价值[1-5]。电磁波与层状介质的相互作用后，电磁波传播特
性的研究能对于解决复杂的逆散射问题有所提升,也能对分析一些介质的某些物理价值具有显著的
效果。
1.2研究现状及发展趋势
电磁波为电磁震荡在介质中的传播，电磁波包括无线电波，微波，红外线，可见光，紫外线，
伦琴射线（X射线），伽马射线。电磁波在两种介质分界面的反射和透射是描述电磁波传播过程中
的两个重要参数。对于电磁波在两种均匀介质下的反射和透射，随着电磁波在多层介质中传播的研
究，还面临着许多问题需要进行深入研究[10]。
层状介质模型在大气传输、目标探测、隐身等诸多领域具有显著地应用价值，研究电磁波在层
状介质中的传输特性对大气传输、目标探测、隐身等具有重要的参考价值。正是基于其应用目的，
本设计从Maxwell电磁理论出发，结合边界条件，分析了电磁波和层状介质之间的相互作用机理，
推导出了电磁波在层状介质中传播的基本方程。研究其反射和透射特性，推导了反射和透射系数的
理论计算公式，并给出了相应条件下的数值结果，为研究层状介质中电磁波传输特性提供了参考。
应用领域：无线电波用于通信等；微波用于微波炉、卫星通信等；红外线用于遥控、热成像仪、
红外制导导弹等；可见光是所有生物用来观察事物的基础，紫外线用于医用消毒，验证假钞，测量
距离，工程上的探伤等；X射线用于CT照相，伽玛射线用于治疗,使原子发生跃迁从而产生新的射
线等；无线电波，无线电广播与电视都是利用电磁波来进行的。基于Maxwell电磁理论，分析了电
磁波和介质之间的相互作用，并结合电磁场边界条件，求解了电磁波和平面平行介质相互作用的场
方程，利用波阻抗和等效传输原理推导了电磁波在平行平面介质中传输时各层介质的反射系数和透
射系数的理论公式。最后基于程序设计给出了平面平行介质中电磁波传输时反射系数和透射系数的
数值结果，为研究平面平行介质中电磁波的传输特性提供了参考。在对电磁波的传播、电磁波与介
质的相互作用等基本规律的认识中 ,体现电磁学基本规律在以及信息应用中理论指导意义和其现实
意义 ,由此得出的结论也为深入理解光的反射、折射、散射奠定了基础。
1.3主要研究内容
电磁场在介质分界面处的边值关系[12-15]，电磁波从一种介质传播到另一种介质时 ,在界面上发
生的现象同样服从Maxwell方程组。界面两侧电磁场的联系是由Maxwell方程组推出的边值关系。
在两种介质分界面上 ,因为微分形式的Maxwell方程组由于场矢量出现突变失去意义 ,但是积分形
式的方程却实现了价值。利用边界条件推导电磁波和平面平行介质相互作用后所满足的基本方程及
场量表达式；对比分析不同情况下（介质层的厚度、介质的特性、介质层的数目）平面平行介质中
电磁波的传输特性；
2电磁场基本理论
麦克斯韦方程组是对宏观电磁现象的实验规律进行分析总结的基础上，经过扩充和推广而得到
的。它揭示了电场和磁场之间，以及电磁场和电荷、电流之间的相关关系，是一切宏观电磁现象所
遵循的普遍规律。所以，麦克斯韦方程组是电磁场的基本方程。所以我们可以写出描述宏观电磁场
现象基本特性的一组微分方程及名称如下：
∇⨯=- （2.1） ∂ t
∂ （2.2） ∂ t ∇⨯=J0+
∙=0 （2.3） ∇
∇∙=ρ0 （2.4） 上述方程中的各个量，为电场强度（V/m）；为磁感应强度（T），或磁通密
度（Wb/m2)；为磁场强度（A/m）；为电位移矢量（C/m2）；为电流密度（A/m2）；
ρ自由电荷密度（C/m3）。麦克斯韦方程的物理意义是，它建立在库伦、安培、法拉第所提供
的实验事实和麦克斯韦假设的位移电流概念的基础上，也把任何时刻在空间任一点上的电场和磁场
上网时空关系与同一时空点的场源联系在一起。式(1.1)～(1.4)源以外区域成立。如果考虑一次场源作用，则(1.2)式右端应加
一次电荷密度J0一次场电流密度及(1.4)式右端应加ρ0。还应写出三个物质方程，即：
J=σE B=μH D=εE (2.5)
在自由空间中（即ρ0=0，j0=0），电场和磁场相互作用，电磁场的运动规律在无源情况下，由
Maxwell方程组推导出，即
∇∙=0 (2.6)
∙B=0 (2.7) ∇
∇⨯E=-
∂∂ t (2.8)
在真空情况下， ∇⨯=∂D∂ t (2.9)
即： =ε0E=μ0 （2.10） 电磁波在不同介质中传播时具有不同的相互作用机理，在介质分界面上要么引起电流的变化，要么
引起极化电荷的积累，根据麦克斯韦方程我们可以得到电磁场在不同介质分界面所满足的边界条件，
为方便通常将介质分界面的边界条件分为切向和法相两个分量：
磁场边界条件：
n⨯(H1-H2)=Js (2.11) n∙(B1-B2)=0 (2.12) 电场边界条件：
n∙(D1-D2)=ρs (2.13) en⨯(E1-E2)=0 (2.14)
对于特殊情况，比如两种理想介质分界面上，通常没有电荷和电流的分布，即Js=0、ρs=0，
此时电场和磁场的边界条件可以简化为：
磁场边界条件：
n⨯(H1-H2)=0 (2.15) n∙(B1-B2)=0 (2.16) 电场边界条件：
n⨯(E1-E2)=0 (2.17) n∙(D1-D2)=0 (2.18)
3.平面电磁波
3.1无耗煤质中的平面电磁波
无耗煤质中意味着描述煤质电磁特性的电磁参数满足条件:δ=0，ξ，μ为实常数。无源意味着
无外加场源，即ρ=0，J=0.
3.2均匀平面波的传输特性
假设均匀平面波沿+z方向传播，电场强度只有x方向的坐标分量 Ex(z)由于无界煤质中不存在
反射波，所以正弦均匀平面电磁波的复场量可以表示为：
E=exEy=exE0e-jkz
H=eyHy=ey
式中E0=E0mejφ0 （3.1） E0η e-jkz=eyH0e-jkz （3.2）为z=0处的复振幅。式（3.1）（3.2）所对应的瞬时值表达式为
j(wt-kz) E(z,t)=Re-[exE0e
H（z,t）=Re[ey]=e0E0mcos(wt-kz+φ0) （3.3a） E0ηej(wt-kz)]=eyE0mη cos(wt-kz+φ0) （3.3b）
=eyH0mcos(wt-kz+φ0)
式中，E0m是实常数，表示电场强度的振幅值；wt称为时间相位；kz称为空间相位。式(3.4a)表明，
正弦均匀平面电磁波的电场和磁场在空间上相互垂直，在时间上是同相的，他们的振幅之间有一定
的比值，此值取决于煤质的介电常数和磁导率。
4均匀平面电磁波向平面分界面的入射
4.1电磁波向理想导体的垂直入射
我们从较简单的垂直入射开始研究平面电磁波的反射和投射。如下图4.1所示，I区为无耗煤质，
II为理想导体，它们具有无限大的平面分界面（z=0的无限大平面）。设均匀平面电磁波沿z方向垂
直投射到分界面上。
图4.1 平面电磁波的垂直入射
设入射电磁波的电场和磁场分别依次为
i=xEime
Hi=ey-jβ1z (4.1) 1Eime-jβ1z (4.2) η1
式中Eim为z=0处入射波的振幅，k1和η1为媒质1的相位常数和波阻抗，且有
k1=ω1ε1，η1=μ1 (4.3) ε1
煤质2为理想导体，其中的电场和磁场均为0，即E2=O,H2=0.因此电磁波不能透过理想导体界
面，而是被分界面全部反射后，在煤质1中形成反射波Er和Hr。为使得分界面上的切向边界条件
和法向边界条件在分界面上任意点、任何时刻都能有可能满足， 设反射与入射波有同一个频率和极
化，且都沿-ez方向进行传播。所以我们将反射波的电场和磁场分别写成
Er(z)=exEime
r(Z)=-yjβ1z (4.4) 1Eimejβ1z (4.5) η1
式中，Er0为z=0处反射波的振幅。
媒质1中总的合成电磁场为
E1=Ei+Er=ex(Ei0e-jk1z+Er0ejk1z) (4.6) 1=i+r=y1(Ei0e-jk1z-Er0ejk1z) (4.7) η1
在分界面z=0两侧，电场强度E的切向分量连续，即ez⨯(E2-E1)=0,所以
E1(0)=ex(Ei0+Er0)=0 （4.8）
于是分界面上的反射系数Γ，即分界面上反射波电场强度与入射波电场强度之比为：
Γ=Er0=-1Ei0 （4.9）
4.2均匀平面电磁波向理想分界面的斜入射
斜入射的的均匀平面电磁波，不论何种极化形式，都可以分解为两个正交的线极化波，一个极
化方向与入射垂直，称为垂直极化波；另一个极化方向在入射面内，称为平行极化波。 即
=⊥+// (4.10)
根据边界条件可推知，不管是平行极化波还是垂直极化波在平面边界上被反射和折射时，极化
的特性都不会发生变化，也就是反射波及折射波与入射波的极化特性相同。
因此，只要分别求得这两个分量的反射波和透射波，通过叠加，就可以获得电场强度矢量任意
取向的入射波的反射波和透射波。
Γ⊥=
Er0η2cosθi-η1cosθt=Ei0η2cosθi+η1cosθt
E2η2cosθiT⊥=t0=Ei0η2cosθi+η1cosθt
Γ//= (4.11)
Er0η1cosθi-η2cosθt=Ei0η1cosθi+η2cosθt
Et02η2cosθi=Ei0η1cosθi+η2cosθt （4.12） T//=
1+Γ⊥=T⊥ 1+Γ||=η1T|| (4.13) η2
4.3 均匀平面电磁波向理想导体的斜入射
图4.3.1垂直极化的入射波，反射波和投射波 图4.3.2平行极化的入射波，反射波和投射波
如图4.2.1和4.2.2中，只要将煤质2看成理想导体，我们就获得了均匀平面电磁波向理想导体
斜入射的两种基本形式：垂直极化和平行极化。理想导体的波阻 抗η2=0，故令式（4.11）、（4.12）
中η2=0，有垂直极化的反射系数和透射系数：
Γ⊥=-1，T⊥=0 (4.14)
平行极化的反射系数和透射系数：
Γ||=1，T||=0 （4.15）
4.3相位匹配条件和斯奈尔定律
均匀平面电磁波向理想介质分界面z=0处斜入射时，将产生反射波和透射波，如图所示。设入
射波、反射波和透射波的传播矢量分别依次为：
ki=ekik1=k1(excosαi+eycosβi+ezcosγi)
=xkix+ykiy+zkiz
kr=ekrk1=k1(excosαr+eycosβr+ezcosγr)
=xkrx+ykry+zkrz
kt=ektk2=k2(excosαt+eycosβt+ezcosγt)
=xktx+ykty+zktz (4.17) 式中ki,kr,kt分别是入射波、反射波、透射波在传播方向上的单位矢量。即向任意方向传播的均匀
平面波知，入射波、反射波、透射波的电场强度复矢量可以写成：
Ei=Ei0ejkir
r=r0ejkrr (4.18)
t=t0ejktr
因为分界面z=0处两侧电场强度的切向分量应连续，故有
i0e-j(kixx+kiyy)+r0e-j(krxx+kryy)=t0e-j(ktxx+ktyy) (4.19) 式中上标t表示切向分量。此式对分界面上任意点都成立，因而有
tttttt i0+r0=t0 (4.20)
kixx+kiyy=krxx+kryy=ktxx+ktyy (4.21) 对所有的x、y均成立，故必有
kix=krx=ktx,kiy=kry=kty (4.22) 表明入射波传播矢量、反射波传播矢量和透射波传播矢量沿介质分界面的切向分量相等，这一结论
称为相位匹配条件。
k1cosαi=k1cosαr=k2cosαt (4.23) 0=k1cosβr=k2cosβt (4.24) βr=βt=
αi=π2 (4.25） πππ-θi,αr=-θr,αt=-θt (4.26) 222
k1sinθi=k1sinθr=k2sinθt (4.27) θi=θr (4.28) 此式表明入射角等于反射角，被称为反射定律。由式得
sinθtk1==sinθik211 (4.29) μ2ε2
对于非磁性媒质，μ1=μ2=μ0， 上式简化为
sinθtεn=1=1 (4..30) sinθiε2n2
式中n=r称为介质的折射率。式（1）称为斯奈尔（Snell）折射定律。由上面的讨论可见，已知
入射波及媒质特性，就可以确定反射波、透射波的传播方向。
4.4 垂直入射情况下的反射系数和透射系数
电磁波垂直入射到分界面时，在分界面上发生反射，并在入射波所在区域形成合成的行驻波
或驻波。
定义分界面上的反射系数R为反射波电磁强度场与入射波电磁强度之比；透射系数Г为透射波
电磁强度与入射波电磁强度之比，则
im+rm=tm和11η2-η12η2(im-rm)=tm得出 R= Γ= (4.31) ==η1η2η+ηη+ηimim2121
分界面上透射系数和反射系数都是无量纲的量，反射系数既可以为正数，也可以为负数，这取决
于区域中的波阻抗。透射系数始终为正数。 由此得到 1）1+R=Γ
2）R 和Г是复数，表明反射波和透射波的振幅和相位与入射波都不同。 3）若媒质2为理想导体，即σ2=∞，则η2c=0，故有R=-1，Γ=0 4）若两种媒质均为理想介质，即σ1=σ2=0，则得到 R=4.5 数值结果 4.5.1垂直入射数据分析
当入射波传播到两种不同媒质的分界面处时，通常发生反射和透射现象。设两种媒质的参数分别为μi,εi(i=1,2)，则他们的传播常数与波阻抗分别为：
ki=ωiεi
η2-η12η2
Γ= ， ( 4.32)
η2+η1η2+η1
i=1,2 （4.33）
i=1,2 （4.34）
ηi=
μiεi
以电场垂直于入射平面的垂直极化为例，其分界面处的反射系数和透射系数分别为：
Γ⊥=
E2η2cosθi-η1cosθt
（4.35） =
E1η2cosθi+η1cosθt
E32η2cosθi
（4.36） =
E2η2cosθi+η1cosθt
T⊥=
而反射角，折射角与入射角的关系由斯涅尔定理确定。
现在以两种介质为例，假设煤质1为真空，煤质2为聚苯乙烯，查资料知，煤质1（μ1=1，，ξ1=1）煤质2（μ2=1，ξ2=2.7），做出垂直极化和平行极化的透射系数，反射系数如下图(4.5a)-(4.5b)所示：
图4.5a 垂直极化反射系数T⊥和入射角 θi的关系 图4.5b 平行极化反射系数T||和入射角 θi的关系
图4.5c 平行极化透射射系数T||和入射角
θi的关系 图4.5d 垂直极化透射射系数 T⊥和入射角 θi 的关系
5 多层平面平行介质中电磁波的传输特性
5.1 基本方程
考虑如图5.1所示模型，三个区域中的煤质参数分别依次为ξ1，u1,ξ2,u2,ξ3,u3。煤质2具有有限厚度，它在z=0处与煤质1交界，在z=d处与煤质3交界。现假设煤质1中有-x方向线极化的均匀平面电磁波沿+z轴方向传播，当此入射波到达z=0的第一个交界面时将产生反射和投射。该透射波进入煤质2，在煤质2中一部分波将在两个分界面（z=0,z=d）之间来回反射，另一部分将分别透入煤质1和煤质3.透入煤质1的这部分波与入射波在z=0分界面上的第一次反射波的叠加为煤质1中的反射波；透入煤质3中这一部分波为煤质3中的投射波。而在煤质2中来回反射的波，我们可以将它分为沿+z轴方向传播的波（具有传播因子e
-jk2z
）和沿-z轴方向传播的波（具有传播因子
ejk2z）。一般的说，对于多层煤质，除最后一层外，每层煤质中都存在各自的入射波和反射波，最
后一层则只有投射波。于是我们可以写出各区域的电场和磁场：
图 5.1 垂直入射到多层媒质中的均匀平面电磁波
区域1中的入射波：
1i=x1i0e-jk1z (5.1)
1i=y
区域1中的反射波：
1i0-jk1z
e (5.2) η1
1r=x1r0ejk1z (5.3)
H1r=-ey
区域1(z≤0)中的合成电磁波：
E1r0jk1z
e (5.4) η1
1=1i+1r=x(1i0e-jk1z+1r0e-jk1z) (5.5)
1=1i+1r=y
区域2(0≤z≤d)中的合成电磁波：
1
(E1i0e-jk1z-E1r0e-jk1z) (5.6) η1
2=2i+2r=x[E2i0e-jk2(z-d)+E2r0e-jk2(z-d)] (5.7)
H2=H2i+H2r=ey
区域3(z≥d)中的合成电磁波：
1
[E2i0e-jk2(z-d)-E2r0e-jk2(z-d)] (5.8) η2
E3=exE3i0e-jk3(z-d) (5.9) H3=ey
5.2 边界条件
5.1各式中，E1i0是区域1中入射波电场的复振幅，假设是已知量。E1r0,E2i0,E2r0,E3i0是四个未知量。为了求得以上四个未知量，利用z=0和z=d处媒质分界面上电场和磁场的切向分量都必须连续的边界条件：
1
E3i0e-jk3(z-d) (5.10) η3
E1t=E2t,H1t=H2t(z=0)E2t=E3t,H2t=H3t(z=d)
5.3 波阻抗
5.3.1无界煤质中的等效波阻抗
(5.11)
因为有四个边界条件，所以能够求四个未知量。
假设无界煤质中，x方向极化的均匀平面电磁波沿+z方向传播，那么煤质任意位置处的等效波阻抗为：
E0e-jkzEx(z)
Z（z）===η （5.12） -jkz
HY(z)(E0e/η)
X方向极化的均匀平面电磁波沿-z方向传播时，等效波阻抗为：
Ex(z)E0ejkz
Z（z） ===-η （5.13）
Hy(z)(-E0ejkz/η)
可见无界煤质中，等效波阻抗在数值上等于波阻抗。 5.3.2 有界媒质中的等效波阻抗
若空间存在三层媒质，如图5.1所示。利用边界条件，在z=0的边界上，由式（5.5）-（5.8）得
E1i0+E1r0=E2i0ejk2d+E2r0e-jk2d （5.14）
11
(E1i0-E1r0)=(E2i0ejk2d-E2r0e-jk2d) （5.15） η1η2
在z=d的边界上，由式（5.7）-（5.10）
2i0+2r0=3i0 （5.16）
11(2i0-2r0)=3i0 （5.17） η1η2
z= d分界面处的反射系数
R=
E2r0η3-η2
（5.18） =
E2i0η3+η2
E1r0Z2(0)-η1
（5.19） =
E1i0Z2(0)+η1
z=0分界面处的反射系数
R0=
上式中的Z2(0)表示区域2中z=0处的等效波阻抗：
Z（）=η220
η3+jη2tank2d
（5.20）
η2+jη3tank2d
考虑到z=0和z=d分界面处反射系数的定义，由式（5.16）及式（5.18）知区域2和区域3中的入射波电场振幅为
2i0=3i0
1+R0
1i0ejk2d
j2k2d
1+Re
（5.21）
2η3=2i0η3+η2
可见，根据各个区域的媒质电磁参数计算出各分界面处的反射系数后，用式（5.18）、（5.19）和（5.20）可以计算出各个区域中的合成电磁波。 5.4 数值结果
5.4.1用波阻抗的方法求多层煤质中的反射系数
设特征阻抗Zm=kmz/μc，由于波阻抗在分界面两侧是连续的，并计算多层问题可得特征阻抗与波阻抗的关系为：
(1)Zin=Zn
Zn+1+jZntanKnd
（5.22）
Zn+jZn+1tanKnd
最后可得反射系数：
(1)Zin-Z
Γ=(1)1 （5.23）
Zin+Z1
5.4.2用波阻抗的方法求多层煤质中的透射系数[8]
Γn=∑
5.5数值分析
(Zm+zm)jkmdmk
其中zm=m （5.24） ωεm=1(Zm+zm+1)
n
现在以三层煤质为例，三层媒质的参数分别为μi，εi（i=1,2,3)，且第二层媒质厚度为d。仍以垂直极化为例，设电磁波由媒质1射向媒质2时的反射与透射系数为Ra1和Γa1。由媒质2射向媒质1时的反射与透射系数为Ra2和Γa2，由媒质2射向媒质3时的反射与透射系数为Rb和Γb，则最终可得上层分界面处的总反射系数与下层分界面处的总透射系数为:
Rtotal=Ra1+Γa1RbRa2exp(j
32
Γa1RbRa2Γa2exp(j
2k2d4k2d
)+Γa1Rb2Ra2Γa2exp(j)+cosθt1cosθt1
6k2d
)+ =cosθt1
2nk2d
)= cosθt1
n-1
Ra1+Γa1Γa2∑n=1RbnRa2exp(j
∞
2k2d
)cosθt1
Ra1+ （5.25）
2k2d
1-RbRa2exp(j)
cosθt1
Γa1Γa2Rbexp(j
Γtotal=Γa1Γbexp(j
2
Γa1Rb2Ra2Γbexp(j
k2d3kd
)+Γa1RbRa2Γbexp(j2)+cosθt1cosθt1
5k2d
)+ =cosθt1
k2d∞nn2nk2d
Γa1Γbexp(j)∑RbRa2exp(j)=
cosθt1n=0cosθt1
k2d
)cosθt1
（5.26）
21-RbRa2exp(j)
cosθt1
Γa1Γbexp(j
假设煤质1和煤质3均为空气，（μ1=1，ξ1=1。μ3=1，ξ3=1），煤质2为聚苯乙烯
（μ2=1，ξ2=2.7），f=2000Hz,d=2um,用（4.25）（4.26）所得的公式画出其总反射系数和投射系数关系图如下(5.5a)-(5.5b)所示：
图5.5a 三层煤质总反射系数Rtal和θ的关系 图5.5b 三层煤质总透射系数Ttal和θ的关系
假设入射角度为0，煤质1和煤质3均为空气，（μ1=1，ξ1=1。μ3=1，ξ3=1），煤质2为聚苯乙烯（μ2=1，ξ2=2.7），f=2000Hz,画出反射系数和透射系数随介质层厚度的变化关系入下图（5.5c）,(5.5d)所示：
图5.5c 垂直入射三层介质反射系数
Γ0随d的变化关系 图5.5d 三层介质中透射系数T与d的关系
6 结语
在本文中，我们从电磁理论出发，推导出了电磁波在多层平面平行介质中传播过程中，反射和透射与入射电磁波三者之间的基本关系，在这个关系的基础上，我们推导出各层介质中的反射系数与透射系数的理论公式。因此，从这些关系式中可以清楚的了解每一层的反射和透射情况。虽然在本文中我们没有讨论反射系数和透射系数随入射波波长的变化关系，但我们所有的结论依然是成立的。只是相应的波阻抗为复数，以及反射系数和透射系数也变成复数。
致谢
四年的大学生活就快走入尾声，我们的校园生活就要划上句号，心中是无尽的难舍与眷恋。从这里走出，对我的人生来说，将是踏上一个新的征程，要把所学的知识应用到实际工作中去。
回首四年，取得了些许成绩，生活中有快乐也有艰辛。感谢老师四年来对我孜孜不倦的教诲，对我成长的关心和爱护。
学友情深，情同兄妹。三年的风风雨雨，我们一同走过，充满着关爱，给我留下了值得珍藏的最美好的记忆。
在我的十几年求学历程里，离不开父母的鼓励和支持，是他们辛勤的劳作，无私的付出，为我创造良好的学习条件，我才能顺利完成完成学业，感激他们一直以来对我的抚养与培育。
最后，我要特别感谢老师、是他们在我毕业的最后关头给了我们巨大的帮助与鼓励,使我能够顺利完成毕业设计，在此表示衷心的感激。
老师认真负责的工作态度，严谨的治学精神和深厚的理论水平都使我收益匪浅。他无论在理论上还是在实践中，都给与我很大的帮助，使我得到不少的提高这对于我以后的工作和学习都有一种巨大的帮助，感谢她耐心的辅导。
在论文的撰写过程中,老师也给予我很大的帮助，帮助解决了不少的难点，使得论文能够完成，这里一并表示真诚的感谢。
参考文献
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[14]王晓光, 靳学辉, 刘太辉. 一维FDTD法求解电磁场在多层介质中的透射问题[J]. 北京大学学报（社会科学 版）, 1997, 18(5): 35-38.
[15]文盛乐, 易慧先. 电磁波以任意角入射时介质层的透射系数[J]. 湖南师范大学自然科学学报, 1999, 22(3): 55-59.
附录
平行极化透射射系数T||和入射角θi的关系 clc; clear;
theta=0:pi/50:pi/2; u1=1; ee1=1; u2=1 ee2=2.7;
yita2=sqrt(u2/ee2); yita1=sqrt(u1/ee1); k=(u1*ee1)/(u2*ee2); tfenzi=2*yita2.*cos(theta);
tfenmu=yita1.*cos(theta)+yita2.*sqrt(1-k*k).*sin(theta).*sin(theta); t=tfenzi./tfenmu; plot(theta,t); xlabel('theta'); ylabel('t')
垂直极化透射射系数T⊥和入射角θi的关系 clc; clear;
theta=0:pi/50:pi/2; u1=1; ee1=1; u2=1 ee2=2.7;
yita2=sqrt(u2/ee2); yita1=sqrt(u1/ee1); k=(u1*ee1)/(u2*ee2); tfenzi=2*yita2.*cos(theta);
tfenmu=yita2.*cos(theta)+yita1.*sqrt(1-k*k).*sin(theta).*sin(theta); t=tfenzi./tfenmu; plot(theta,t); xlabel('theta'); ylabel('t')
平行极化反射系数Γ||和入射角θi的关系
clc; clear;
theta=0:pi/50:pi/2; u1=1; ee1=1;
u2=1 ee2=2.7;
yita2=sqrt(u2/ee2); yita1=sqrt(u1/ee1); k=(u1*ee1)/(u2*ee2);
rfenzi=yita1.*cos(theta)-yita2.*sqrt(1-k*k).*sin(theta).*sin(theta); rfenmu=yita1.*cos(theta)+yita2.*sqrt(1-k*k).*sin(theta).*sin(theta); r=rfenzi./rfenmu; plot(theta,r); xlabel('theta'); ylabel('r')
垂直极化反射系数Γ⊥和入射角θi的关系 clc; clear;
theta=0:pi/50:pi/2; u1=1; ee1=1; u2=1 ee2=2.7;
yita2=sqrt(u2/ee2); yita1=sqrt(u1/ee1); k=(u1*ee1)/(u2*ee2);
rfenzi=yita2.*cos(theta)-yita1*sqrt(1-k*k).*sin(theta).*sin(theta); rfenmu=yita2.*cos(theta)+yita1*sqrt(1-k*k).*sin(theta).*sin(theta); r=rfenzi./rfenmu; plot(theta,r); xlabel('theta'); ylabel('r')
三层煤质总透射系数Ttal和θ的关系 clc; clear;
theta=0:pi/500:pi/2; u1=1; ee1=1; u2=1 ee2=2.7; u3=1; ee3=1;
yita2=sqrt(u2/ee2); yita1=sqrt(u1/ee1); yita3=sqrt(u3/ee3); f=2000; w=2*pi/f;
k1=w*sqrt(u1.*ee1);
k2=w*sqrt(u2.*ee2);
k3=w*sqrt(u3.*ee3);
k11=(k2/k1);
k22=(k3/k2);
k33=(k2/k3);
k44=(k1/k2);
ta1fenzi=2.*yita2.*cos(theta);
ta1fenmu=yita2.*cos(theta)+yita1*sqrt(1-k11*k11).*sin(theta).*sin(theta); ta1=ta1fenzi./ta1fenmu;
tbfenzi=2.*yita3.*cos(theta);
tbfenmu=yita3.*cos(theta)+yita2.*sqrt(1-k22*k22).*sin(theta).*sin(theta); tb=tbfenzi./tbfenmu;
rbfenzi=yita3.*cos(theta)-yita2.*sqrt(1-k33*k33).*sin(theta).*sin(theta); rbfenmu=yita3.*cos(theta)+yita1.*sqrt(1-k33*k33).*sin(theta).*sin(theta); rb=rbfenzi./rbfenmu;
ra2fenzi=yita1.*cos(theta)-yita2.*sqrt(1-k11*k11).*sin(theta).*sin(theta); ra2fenmu=yita2.*cos(theta)+yita2.*sqrt(1-k11*k11).*sin(theta).*sin(theta); ra2=ra2fenzi./ra2fenmu;
d=0.000002;
h1=sqrt(1-k44*k44).*sin(theta).*sin(theta);
ttalfenzi=ta1.*tb.*exp(j.*(k2.*d)./h1);
ttalfenmu=1-rb.*ra2.*exp(j.*(2.*k2.*d)./h1);
ttal=ttalfenzi./ttalfenmu;
plot(theta,ttal);
xlabel('theta');
ylabel('ttal')
clc;
clear;
theta=0:pi/500:pi/2;
u1=1;
ee1=1;
u2=1
ee2=2.7;
u3=1;
ee3=1;
yita2=sqrt(u2/ee2);
yita1=sqrt(u1/ee1);
yita3=sqrt(u3/ee3);
f=2000;
w=2*pi/f;
k1=w*sqrt(u1.*ee1);
k2=w*sqrt(u2.*ee2);
k3=w*sqrt(u3.*ee3);
k11=(k2/k1); 三层煤质总反射系数Rtal和 的关系
k22=(k3/k2);
k33=(k2/k3);
k44=(k1/k2);
ta1fenzi=2.*yita2.*cos(theta);
ta1fenmu=yita2.*cos(theta)+yita1*sqrt(1-k11*k11).*sin(theta).*sin(theta); ta1=ta1fenzi./ta1fenmu;
rbfenzi=yita3.*cos(theta)-yita2.*sqrt(1-k33*k33).*sin(theta).*sin(theta); rbfenmu=yita3.*cos(theta)+yita1.*sqrt(1-k33*k33).*sin(theta).*sin(theta); rb=rbfenzi./rbfenmu;
ta2fenzi=2.*yita1.*cos(theta);
ta2fenmu=yita1.*cos(theta)+yita2.*sqrt(1-k44.*k44).*sin(theta).*sin(theta); ta2=ta2fenzi./ta2fenmu;
ra2fenzi=yita1.*cos(theta)-yita2.*sqrt(1-k11*k11).*sin(theta).*sin(theta); ra2fenmu=yita2.*cos(theta)+yita2.*sqrt(1-k11*k11).*sin(theta).*sin(theta); ra2=ra2fenzi./ra2fenmu;
d=0.000002;
h1=sqrt(1-k44*k44).*sin(theta).*sin(theta);
rtalfenzi=ta1.*ta2.*rb.*exp(j.*(2.*k2.*d)./h1);
rtalfenmu=1-rb.*ra2.*exp(j.*(2.*k2.*d)./h1);
rtal=rtalfenzi./rtalfenmu;
plot(theta,rtal)
xlabel('theta');
ylabel('rtal')
三层介质中透射系数T与d的关系
clc;
clear;
theta=0;
d=0:0.02:5;
u1=1;
ee1=1;
u2=1
ee2=2.7;
u3=1;
ee3=1;
f=2000;
w=2.*pi./f;
yita2=sqrt(u2/ee2);
yita1=sqrt(u1/ee1);
yita3=sqrt(u3/ee3);
k2=w*sqrt(u2.*ee2);
theta=k2;
zo=yita2.*(yita3+j.*yita2.*tan(theta).*d)./(yita2+j.*yita3.*tan(theta).*d); rofenzi=zo-yita1;
rofenmu=zo+yita1;
ro=rofenzi./rofenmu;
e2io=yita3+yita2;
e2ro=ro.*(yita3+yita2);
tfenzi=e2io+e2ro;
tfenmu=zo+yita1;
t=tfenzi./tfenmu;
plot(d,t);
xlabel('d');
ylabel('t')
垂直入射三层介质反射系数
clc;
clear;
theta=0;
d=0:0.02:5;
u1=1;
ee1=1;
u2=1
ee2=2.7;
u3=1;
ee3=1;
f=2000;
w=2.*pi./f;
yita2=sqrt(u2/ee2);
yita1=sqrt(u1/ee1);
yita3=sqrt(u3/ee3);
k2=w*sqrt(u2.*ee2);
theta=k2;
zo=yita2.*(yita3+j.*yita2.*tan(theta).*d)./(yita2+j.*yita3.*tan(theta).*d); rofenzi=zo-yita1;
rofenmu=zo+yita1;
ro=rofenzi./rofenmu;
plot(d,ro);
xlabel('d');
ylabel('ro')
0随d的变化关系