辅助角公式
勿忘我——辅助角公式
课本P 140例3的教学以及新学案P 194的预习提纲都给出了辅助角公式的推导过程,利用两角和与差的三角逆用公式将a sin x +
b cos x 引入辅助角合并为
b x +ϕ) (其中ϕ为辅助角且tan ϕ=)的形式,称之为辅助角公式:即a
b a sin x +bcoax =a 2+b 2sin(x +ϕ) (其中tan ϕ=) ;或者:a
a 。她虽然不是万能公式,但是威a sin x +bcoax =a 2+b 2sin(x +ϕ) (其中tan ϕ=)b
力无比,能够解决三角函数的许多问题,为了不让大家小窥她的巨大作用,下面举例说明,让我们一起来见证奇迹:
1. 求函数的定义域
例1.求函数y =sin x +cos x 的定义域
分析:要使函数有意义,只需根式内为非负数即可 解: sin x +cos x =2sin x +⎛
⎝π⎫π⎪≥0 ,∴2k π≤x +≤2k π+π 33⎭
即2k π-π
3≤x ≤2k π+2ππ2π⎤⎡, k ∈Z ,故原函数的定义域为⎢2k π-, 2k π+, k ∈Z ⎥333⎣⎦
【评注】在求原函数定义域时应把函数解析式尽量化简后求定义域,当然在化简的过程中也要注意等价性。
2. 求函数的值域
例2.求y =3-cos x 的值域; 2+sin x
分析:本题的解法有很多,除了代数函数最值的求法外,常见的有数形结合,转化为斜率问题和三角函数的有界性求解等,其中三角函数的有界性求解是最基本的解法。 解:由原式变形为2y +y sin x =3-cos x
∴y sin x +cos x =3-2y 得y 2+1sin (x +ϕ)=3-2y (其中tan ϕ=1) y ∴sin (x +ϕ)=3-2y
y +12,sin (x +ϕ)≤1 ∴3-2y y +12≤1
⎡223⎤, 2+两边平方得到:3y -12y +8≤0 ∴y ∈⎢2-⎥ 33⎣⎦2
【评注】值域与最值是紧密相连的,由于三角函数中公式多,变形多,对求最值的方
x +ϕ) 变形求值域和最值也有它的独到之处。
3. 求函数的周期
例3. 求函数y =2cos 2x -22sin x cos x 的最小正周期
分析:通过三角公式的变换将原函数化为单一函数,再用周期公式求得。
2解: y =2c o s (2x +ϕ)x -22s i n x c o s x =1+c o s 2x -2s i n 2x =1+3s i n
(其中tan ϕ=1
-2=-2π2π2),∴T ===π
w 22
x +ϕ) 这种单一函数的形式后,求函数的最小正周期就可用周期公式T =
2πx +ϕ) 中ϕ值的大小对周期没有影响,因w
此在求周期时我们可以不求出确切的ϕ值。
4. 求函数的单调区间
例4. 求函数y =sin x x +cos 的单调递增区间 22
分析:利用辅助公式化为单一函数,再用复合函数求单调区间的方法求之 ⎛2x 2x ⎫x π⎫ ⎪=2sin ⎛sin +cos +⎪ 解:y =2 2⎪22224⎭⎝⎝⎭
令t =x πππ⎤⎡+,则y =2s i n t ,因y =2s i n t 在⎢2k π-, 2k π+⎥, k ∈Z 为增函数, 2422⎦⎣
即2k π-π
2≤x ππ3ππ+≤2k π+得4k π-≤x ≤4k π+;故 24222
即x ∈⎢4k π-⎡
⎣3ππ⎤, 4k π+⎥时原函数为增函数,故函数的增区间为22⎦
3ππ⎤⎡4k π-, 4k π+, (k ∈Z )。 ⎢⎥22⎦⎣