微积分极限习题课
第一章 习题课
一、主要内容 二、计算 三、典型例题
一、主要内容
函数 极限 连续
基本初等函数
复合函数
初等函数
函 数 的定义
函 数 的性质
双曲函数与 反双曲函数
分段函数
奇偶性 单调性 有界性 周期性
1、函数的定义 2、分段函数 3、复合函数 4、初等函数 5、函数的简单性质 （奇偶性、周期性、单调性、有界性）
基本初等函数
1）幂函数 y x (是常数)
y ax 2）指数函数 (a 0, a 1)
3）对数函数 y log a x
4）三角函数 y sin x;
(a 0, a 1) y cos x;
y tan x;
y cot x;
5）反三角函数 y arcsin x; y arccos x;
y arctan x; y arc cot x
数列极限
lim x n a
n x
函
数
极
x x0
限
无穷大
lim f ( x )
lim f ( x ) A
lim f ( x ) A
两者的 关系
极限存在的 充要条件 判定极限 存在的准则 唯一性
左右极限 两个重要 极限
无穷小的比较 等价无穷小 及其性质
无穷小
lim f ( x ) 0
无穷小 的性质
求极限的常用方法
极限的性质
概念 1、极限的定义 2、无穷小与无穷大 3、无穷小的阶
定理与性质 4、 定理 : xlim f ( x ) A f ( x0 0) f ( x0 0) A. x
0
（用来证明分段函数在分段点极限的存在性） 5、极限的性质（运算性质、唯一性、保号性）
6、 f ( x ) A f ( x ) A ( x ), lim ( x ) 0 lim
7、判定极限存在的准则（单调有界、夹逼准则） 8、无穷小与无穷大的关系 9、无穷小的运算性质 10、两个重要极限
(1)
sin x lim 1 x 0 x 1 x lim (1 ) e x x lim(1 x ) e
x 0 1 x
(2)
连
x 0
续
x x0
定
义
lim y 0
lim f ( x ) f ( x 0 )
间断点定义
左右连续
在区间[a,b] 上连续
连续的 充要条件
连续函数的 运算性质 初等函数 的连续性
第一类 第二类
可跳 去跃 间间 断断 点点 无振 穷荡 间间 断断 点点
闭区间上连续 函数的性质
概念
1、连续的定义
x 0
lim y 0, lim f ( x ) f ( x 0 )
x x0
2、单侧连续 3、间断点的定义及分类
定理与性质
4、连续的充要条件 5、初等函数的连续性 6、闭区间上连续函数的性质
二、计算
1、用定义证明极限；
2、证明数列极限存在，并求极限值；
3、求极限； （已知函数的极限，确定a,b等） 4、比较无穷小、判断无穷小的阶； 5、讨论分段函数、函数的连续性； （利用连续性求函数表达式中的参数）
6、求函数的间断点、判断其类型；
7、讨论方程的根。
求极限的常用方法
a.利用极限运算法则（多项式与分式函数代 入法求极限、消去零因子法求极限等）
b.利用两个重要的极限； c. 利用夹逼定理; d.利用无穷小与有界变量之积;
e.利
用等价无穷小； f.利用左右极限求分段函数极限;
g.利用函数的连续性。
常用等价无穷小:
当x 0时,
x ~ sin x , x ~ tan x , x ~ arcsin x x ~ arctan x , x ~ ln(1 x ), x ~ e 1, 1 2 a 1 cos x ~ x , (1 x ) 1 ~ ax (a 0) 2
x
三、典型例题
例1
设x1 a , x2 a x1 ,, xn a xn1 , 求 lim xn
n
例2
例3
设x n
求极限
1 n2 1
1 n2 n
, 求 lim xn
n
(1) lim (cos x 1 cos x )
x
1 1 x ( 2) lim (sin cos ) x x x
( 3)
1 cos x (4) lim x x 0 ( e 1) ln( 1 x )
(5) lim (
x 0
2 1
1 ex 4 ex
sin x ) x
例4
设 lim ( 1 2 x x ax b) 0,
3 2 3 x
求a , b的值。
例5
例6
2 x 的间断点，并指出其类 型。
n 2n 2n
求f ( x ) lim
x n 2
( x 0)
例7
例8
证明方程 2 1至少有一个 x
x
x2 1 x 1 2 x 3 x1 2 讨论f ( x ) (1 x ) x o x 1的连续性。 sin x 1 x 0
不超过1的正根。
例9 设f ( x )在( ,)内有定义， x , y R,
f ( x y ) f ( x ) f ( y ), 且f ( x )在x 0 点连续，试证 ( x )在（ ， ）内 f 处处连续。
例10
例11 设f ( x )对任意的实数满足 (x ) f ( x ) f
1, 且f ( x )在x 0处连续，试证
f ( x )必是常数。
例12、设f ( x ) lim
x
2 n 1
sin
2
x a bx
n
x 2n 1
求（）f ( x )的表达式； 1 （ ）确定a, b的值，使得 2 lim f ( x ) f (1),
x 1 x 1
lim f ( x ) f ( 1).
例13、设f ( x )在(- ,)上连续，且lim f ( x )
x
存在，证明： ( x )有界. f
作业：P77
1单数,5(2)(4) 6 (2)（3）,8, 9, 11 (1) (2) ，12，16