波速与介质的关系研究
波速与介质的关系研究
吴文明
（安徽大学 文典学院理科班 学号：V21114008）
摘要 本文分别定性和定量分析了机械波波速与介质的关系，然后简单介绍了电磁波波速与介质的关系。
关键词 机械波 电磁波 波速 介质
1. 前言
波动是自然界中最重要的一种能量的传输形式。自然界中的波有机械波和电磁波两种形 式。从波的产生机制上看，机械波、电磁波有着本质上的不同，前者是关于时间与空间的函数，而后者是关于电场强度与磁场强度的函数。但是，在研究机械波和电磁波的时候，都要涉及波的重要物理量—波速。
理论表明，波速由介质决定。生活经验表明，在固体中，横波的传播速度比纵波的传播速度要小些。而且，温度越高，声音的传播速度越大。到底波速由介质如何决定？
2. 机械波波速与介质的关系研究
2.1定性分析
对机械波而言，介质的各种模量（弹性模量E ，切变模量G ，体积模量K 等等），密度 ，温度T 等都可以反映介质的特征。机械波是一种依靠介质中的各种力的作用来传播的波，这些力的作用包括弹性力，切变力等等。因此，力的作用越强，机械波的传播速度就越大。除此之外，机械波的传播速度还与介质的惯性有关。因此，惯性越大，机械波就越不容易被带动，这样就延缓了机械波的传播速度。对于机械波而言，介质的力的作用可以用各种模量来表征，介质的惯性可以由密度来表征。因此，我们推测，机械波的传播速度是由各种模量和其密度来决定的。
2.2定量分析 （1）横波
横波只能在固体中传播。
如图所示为固体介质中长度为d x 的质元，其横截面积为S ，介质密度为ρ，则质元的质量为dm=ρS dx ，由于切变形变，质元的前后分别受到方向相反的切变力F 1，F 2，根据切变形变关系式
F S =G
dy dx
有
F 1=SG F 2=SG
dy dx dy dx |x =x
|x =x +dx
于是合力
F =F 2-F 1=SG (
dy dx
|x =x +dx -
dy dx
|x =x ) =SG
y dx
2
2
dx
此合力使质元在y 方向上产生加速度
a =
y dt
2
2
根据牛顿第二运动定律
F =SG
dx
G
2
y
2
dx =ρSdx
y dt
2
2
整理并将求导符号改为求偏导的符号得
ρ
∂x
2
y
2
=
y ∂t
2
2
解偏微分方程得到解为波函数
⎡
y =A cos ⎢ω
⎣
x ⎫⎤⎛t -+ϕ ⎪⎥
v ⎝⎭⎦
将波函数代入上式得
y
∂t ∂x
整理得
2
2
2
⎡2
=-ωA cos ⎢ω
⎣
2
x ⎛t -
v ⎝⎤⎫+ϕ⎪⎥ ⎭⎦⎤⎫+ϕ⎪⎥ ⎭⎦
y
2
⎡
=-2A cos ⎢ω
⎣v
x ⎛
t -
v ⎝
V
2
=
G
ρ
所以
V =
（1）
（2）纵波
纵波可以在固体、液体和气体中传播
如图所示为固体介质中长度为d x 的质元，其横截面积为S ，介质密度为ρ，则质元的质量为dm=ρS dx ，由于弹性形变，横截面的位移为dy ，质元的前后分别受到方向相反的弹性力F 1，F 2，根据弹性形变关系式波在固体中的传播速度为
V =
F S =E
dy dx
，类似于横波波速的推导过程，我们得出纵
2）
对于细绳中的横波有
V =
=
=
T 为细绳的张力，ρ为细绳的线密度
,
类比（2）式，我们可以得到纵波在液体和气体中的波速为
V =
3）
但是，为什么实际生活中波速与介质的温度有关呢？ 【1】根据体积模量的定义
K =-V
dP dV
由理想气体的绝热方程
P V
γ
=C ，C 是常数，γ=
i +2i
γ
，i 为气体自由度
两边取微分得
γP V
γ-1
dV +V dP =
dP dV
=-
γP
V
代入体积模量的定义得
K =γP
于是有
V =
=
又由理想气体状态方程
P V =R T
有
ρ=
M P R T
，其中ρ是气体密度，M 是气体摩尔质量
代入得
V =
由此可以看出，气体波速明显地决定于其温度，温度越高，波速越大。
在固体介质中，切变模量反映了分子间上下移动的弹性大小，弹性模量反映了分子间相互挤压的弹性大小。就像两块吸铁石一样，水平移开的力一般都要大于其上下错开的力，所以切边模量G 一般要比弹性模量E 小。因此，在同一固体介质中，横波的传播速度比纵波的传播速度要小些。
3. 电磁波波速与介质的关系研究
【2】对于电磁波而言，介质的相对电容率εr 和相对磁导率u r 可以反映介质的特征。所以，介质可以由相对电容率εr 和相对磁导率u r 来表征。对于电磁波，按照麦克斯韦的电磁理论可以推出，在介质中，电磁波的速度为
V =
=
这说明电磁波在介质中的传播速度与介质的相对电容率和相对磁导率有关。
4. 结语
无论是机械波还是电磁波，波长λ，频率f （或周期T ）和波速V 之间的关系遵从波动的一般关系，即
λ=
v f
式中的周期和频率，只取决于波源，而与V 、λ 无直接关系．波速V 取决于介质的物理性质，它与f 、λ 无直接关系．对于高频电磁波，在同一介质（真空除外）中传播时，外电
场频率越高，介质的相对电容率εr 越小，波速越大；频率越低，介质的相对电容率越大，波速越小．波长λ 具有从属的性质，它取决于V 和f ，只要V 、f 中一个发生变化，λ 必然发生变化，而保持λ=
v f
的关系，即λ 由介质和波源共同决定．
总之，波的周期和频率由波源决定；波速由介质决定；波长具有从属的性质．它们之间保持λ=
参考文献
v f
的关系．
[1]马文蔚. 物理学[M].高等教育出版社.2010. （46-47）
[2]许第余，刘力. 谈波速与介质决定[J].四川职业技术学院学报.2009（03）.