微积分发展简史(二)

微积分发展简史（二）

微积分的创立，由于运算的完整性和应用的广泛性，使其成为研究自然科学的有力工具，被誉为“人类精神的最高胜利”。自18世纪以来，微积分在被广泛应用的同时，也得到了不断发展和完善，内容越来越丰富。

一．广义积分

黎曼积分是在被积函数有界且积分区间为有穷的限制下定义的，但在应用时需要取消这些限制，这就导致了广义积分概念的产生。广义积分包括无穷积分和瑕积分两种。1823年，法国数学家柯西(A.L. Cauchy,1789~1857)在他的《无穷小分析教程概论》中论述了在积分区间的某些值处函数值变为无穷（瑕积分）或积分区间趋于∞时（无穷积分）的反常积分，他还结合物理意义提出积分主值的概念。广义积分的概念后又被推广到含参变量的广义积分。在广义积分和含参变量广义积分的性质以及收敛性研究等方面，柯西、阿贝尔(N.H. Abel, 1802~1829)、狄里克莱(P.G.L Dirichlet, 1805~1859)以及维尔斯特拉斯(K.T.W. Weierstrass, 1815~1897)等数学家做了大量的工作。

二. 多元微积分学

多元函数的微积分学，是微积分学的一个重要组成部分。多元微积分是在一元微积分的基本思想的发展和应用中自然而然地形成的。其基本概念都是在描述和分析物理现象和规律中，与一元微积分的基本概念合为一体而产生的。将微积分算法推广到多元函数而建立偏导数理论和多重积分理论的主要是18世纪的数学家。

偏导数的朴素思想，在微积分学创立的初期，就多次出现在力学研究的著作中，但这一时期，普通的导数与偏导数并没有明显地被区分开，人们只是注意到其物理意义不同。偏导数是在多各自变量的函数中，考虑其中某一个自变量变化的导数。牛顿从x 和y 的多项式f (x , y ) =0中导出f 关于x 或y 的偏微商的表达式。雅各布·伯努利(James Bernoulli, 1655~1705)在他关于等周问题的著作中使用了偏导数。尼古拉·伯努利(Nicholas Bernoulli, 1687~1759)在1720年的一篇关于正交轨线的文章中也使用了偏导数，并证明了函数f (x , y ) 在一定条件下，对x ，y 求偏导数其结果与求导顺序无关，即相当于有

∂2f (x , y )

∂x ∂y =

∂2f (x , y ) ∂y ∂x 。 偏导数的理论是由欧拉和法国数学家方丹(Alexis Fontaine des

Bertins,1705~1771)、克莱罗(A.C. Clairaut,1713~1765)与达朗贝尔(Jean le Rond D ’Alembert,1717~1783)在早期偏微分方程的研究中建立起来的。欧拉在关于流体力学的一系列文章中给出了偏导数运算法则、复合函数偏导数、偏导数反演和函数行列式等有关运算。1739年，克莱罗在关于地球形状的研究论文中首次提出全微分的概念，建立了现在称为全微分方程的一个方程Pdx +Qdy +Rdz =0，讨论了该方程可积分的条件。达朗贝尔在1743年的著作《动力学》和1747年关于弦振动的研究中，推广了偏导数的演算。不过当时一般都用同一个记号d 表示通常导数与偏导数，现在用的专门的偏导数记号直到19世纪40年代才由雅可比(C.G.J. Jacobi, 1804~1851)在其行列式理论中正式创用并逐渐普及。

重积分的概念，牛顿在他的《原理》中讨论球与球壳作用于质点上的万有引力时就已经涉及到，但他是用几何形式论述的。在18世纪上半叶，牛顿的工作被以分析的形式加以推广。1748年，欧拉用累次积分算出了表示一厚度为δc 的椭圆薄片对其中心正上方一质点的引力的重积分：

δc ⎰⎰

积分区域由椭圆x 2

a 2cdxdy (c 2+x 2+y 2) ， +y 2b 2=1围成。1769年，欧拉建立了平面有界区域上二

重积分理论，他给除了用累次积分计算而重积分的方法。而拉格朗日(J.L. Lagrange,1736~1813)在关于旋转椭球的引力的著作中，用三重积分表示引力。为了克服计算中的困难，他转用球坐标，建立了有关的积分变换公式，开始了多重积分变换的研究。与此同时，拉普拉斯(P.S. Laplace, 1749~1827)也使用了球坐标变换。

1828年，俄国数学家奥斯特洛格拉茨基在研究热传导理论的过程中，证明了关于三重积分和曲面积分之间关系的公式，现在称为奥斯特洛格茨基—高斯公式（高斯也曾独立地证明过这个公式）。同一年，英国数学家格林(G. Green,1793~1841)在研究位势方程时得到了著名的格林公式。1833年以后，德国数学家雅可比建立了多重积分变量替换的雅可比行列式。与此同时，奥斯特洛格拉茨基不仅得到了二重积分和三重积分的变换公式，而且还把奥—高公式推广到n 维的情形。变量替换中涉及到的曲线积分与曲面积分也是在这一时期得到明确的概念和系统的研究。1854年，英国数学物理学家斯托克斯(G.G. Stokes, 1819~1903)把格林公式推广到三维空间，建立了著名的斯托克斯定理。多元微积分和一元微积分同时随着其理论分析的发展在数学物理的许多领域获得广泛的应用。

三．无穷级数

在数学史上级数出现的很早。古希腊时期，亚里士多德就知道公比小于1(大于零) 的几何级数可以求出和数。阿基米德(Archimedes, BC.287~BC.212)也求出了公比为的几何级数的和。14世纪的法国数学家4

奥雷姆证明了调和级数的和为无穷，并把一些收敛级数和发散级数区别开来。但直到微积分发明的时代，人们才把级数作为独立的概念。

无穷级数是现代微积分的重要组成部分，它从离散的角度来研究函数关系。无穷级数几乎是和微积分同时产生的，由于级数是研究复杂函数性质的有力工具，所以18世纪时，无穷级数一直被认为是微积分的一个不可缺少的部分。实际上，在微积分的初创时期，就为级数理论的建立提供了基本素材。许多数学家通过微积分的基本运算与级数运算的纯形式的结合，得到了一些初等函数的幂级数展开式。如，1669年，牛顿在他的《分析学》中，

x 给出了sin x ，cos x ，arcsin x ，arctan x 和e 的级数展开，格雷戈里

(J.Gregory, 1638~1675)得到了tan x ，sec x 等函数的级数，莱布尼茨也在1673年独立地得到了sin x ，cos x 和arctan x 的级数。在微积分早期阶段，研究超越函数时，用它们的级数来处理是所用方法中最富有成效的，在这个时期，级数还被用来计算一些特殊的量，如π和e 以及求隐函数的显式解。

17世纪后期和18世纪，为了适应航海、天文学和地理学的发展，摆在数学家们面前的问题之一是函数表的插值。由于对函数表的精确度要求较高，数学家们开始寻求较好的插值方法，牛顿和格雷戈里给出了著名的内插公式。1721年，泰勒(B. Taylor,1685~1731)在牛顿—格雷戈里公式的基础上，提出了函数展开为无穷级数的一般方法，建立了著名的泰勒定理。18世纪末，拉格朗日在研究泰勒级数时，给出了我们今天所谓的泰勒定理，即

(n ) f (x +h ) =f (x ) +f '(x ) h +f ''(x ) 2+ +f (x ) ⋅1n ! +R n 2n

其中

，0

现在被称为拉格朗日余项。1742年，马克劳林(C. Maclaurin,1698~1746)给出了泰勒级数在x =0时的特殊情形，称为马克劳林级数。雅各布·贝努利、欧拉、斯特灵(J. Stirling,1692~1770)等都对级数理论的早期发展做了大量的工作。

18世纪，级数方法的研究取得了很多的成就，这一时期，许多的数学家都把级数看作多项式的代数的推广，级数的收敛和发散问题虽然没有被完全忽视，但也没有引起数学家们的足够重视。由于工作中产生的明显困难，在1810年前后，数学家们开始确切地表述无穷级数。高斯在其《无穷级数的一般研究》（1812年）中，第一个对级数的收敛性作出重要而严密的探讨。n +1

1821年，柯西给出了级数收敛和发散的确切定义，并建立了判别级数收敛的柯西准则以及正项级数收敛的根值判别法和比值判别法，推导出交错级数的莱布尼茨判别法，然后他研究函数项级数，给出了确定收敛区间的方法，并推广到复变函数的情形。

函数项级数的一致收敛性概念最初由斯托克斯和德国数学家赛德尔认识到。1842年，维尔斯特拉斯给出一致收敛概念的确切表述，并建立了逐项积分和微分的条件。狄里克莱在1837年证明了绝对收敛级数的性质，并和黎曼(B. Riemann,1826~1866)分别给出例子，说明条件收敛级数通过重新排序使其和不相同或等于任何已知数。到19世纪末，无穷级数收敛的许多法则都已经建立起来。

傅立叶级数。18世纪中叶以来，欧拉、达朗贝尔、拉格朗日和克莱罗等人在研究天文学和物理学中的问题时，相继得到了某些函数的三角级数表达式。人们逐渐认识到不仅只是周期函数，非周期函数也可以表示成三角级数的形式，并开始寻求如何把所有类型的函数都表示成三角级数的方法，18世纪末，这个问题已经非常引人注目了。

到了19世纪，法国数学家傅立叶(J. Fourier,1768~1830)在研究热传导问题时，创立了傅立叶级数理论。1807年，傅立叶向法国科学院提交了一篇关于热传导问题的论文，提出了任意周期函数都可以用三角级数表示的想法，成为傅立叶分析的起源。但当时这篇论文并没有被采纳。1822年，傅立叶发表了他的经典著作《热的解析理论》，书中研究的主要问题是吸热或放热物体内部任何点处的温度随时间和空间的变化规律，同时也系统地研究了函数的三角级数表示问题，并断言“任意（实际上有一定条件）函数都可以展成三角级数”，他列举了大量函数并运用图形来说明函数的这种级数表示的普遍性。他首先认为，如果f (x ) 是一个以2π为周期的函数，那么f (x ) 可以表示为

f (x ) =

其系数由 a 02+∑(a n cos nx +b n sin nx ) ， n =1∞

a n =⎰f (x ) cos nxdx ， （n =0, 1, 2, ） -ππ

b n =⎰πf (x ) sin nxdx ， （n =1, 2, ） -π

确定，这就是我们通常所称的傅立叶级数。

不过傅立叶从没有对“任意”函数可以展成傅立叶级数这一断言给出过任何完全的证明，也没有指明一个函数可以展成三角级数必须满足的条

件。狄里克莱第一个给出函数f (x ) 的傅立叶级数收敛于它自身的充分条件。黎曼也对傅立叶级数的研究做出了贡献，他建立了重要的局部性定理，并证明了傅立叶级数的一些性质。德国数学家海涅(E. Heine, 1821~1881)、G ·康托(G. Cantor,1845~1918)以及匈牙利数学家费耶尔(E. Fischer, 1875~1959)等等，许多数学家都为傅立叶级数理论的发展做了大量的工作。

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