等比数列求和公式
6.3.3 等比数列的前n 项和公式
课 型:新授课
课 时:1课时
一、教材分析
等比数列的前n 项和是数列这一章中的一个重要内容, 就知识的应用价值上看,它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型,在现实生活中有着广泛的实际应用,如储蓄、分期付款的有关计算等, 另外公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法, 都是学生今后学习和工作中必备的数学素养.就内容的人文价值来看,等比数列的前n 项和公式的探究与推导需要学生观察、归纳、猜想、证明,这有助于培养学生的创新思维和探索精神, 同时也是培养学生应用意识和数学能力的良好载体。
二、教学目标
1、知识与技能目标
理解等比数列的前n 项和公式的推导方法;掌握等比数列的前n 项和公式并能运用公式解决一些简单问题。
2、 过程与方法
通过公式的推导过程,培养学生猜想、分析、综合的思维能力,提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力,体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法,渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想,优化思维品质。
3、情感态度与价值观
通过经历对公式的探索,激发学生的求知欲,鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新,磨练思维品质,从中获得成功的体验,感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美。用数学的观点看问题,一些所谓不可理解的事就可以给出合理的解释,从而帮助我们用科学的态度认识世界。
三、教学重难点
重点 :等比数列前n 项和公式的推导及公式的简单应用。 难点 :错位相减法的生成和等比数列前n 项和公式的运用。
四、教学过程
一、复习旧知,铺垫新知
【教师提问】
(1) 等比数列定义及通项公式?
(2)等比数列的项之间有何特点?
二、创设情境,提出问题
在古印度,有个名叫西萨的人,发明了国际象棋,当时的印度国王大舍罕为赞赏,对他说:我可以满足你的任何要求。西萨说:请给我棋盘的64个方格上,第一格放1粒小麦,第二格放2粒,第三格放4粒,往后每一格都是前一格的两倍,直至第64格.国王觉得太容易了,就同意了他的要求。国王令宫廷数学家计算,结果出来后,国王大吃一惊.为什么呢?大家想一下,这个国王能够满足宰相的要求吗?
探讨1: S 64 =1+ 2+ 2 2 + 2 3 + ⋅⋅⋅ + 2 63 ,记为(1)式,注意观察每一项的特设
征,有何联系?(学生会发现,后一项都是前一项的2倍)
探讨2: 如果我们把每一项都乘以2,就变成了它的后一项,(1)式两边同乘以2则有 2S 64 = 2 2 + ⋅⋅⋅ + 64 ,记为(2)式.比较(1)(2)两2+2 3 +2 63+ 2
式,你有什么发现?
经过比较、研究,学生发现:(1)、(2)两式有许多相同的项,把两式相减,相同的项就可以消去了,得到: S 64 = 2 - 1 。老师强调指出:这就是错位相减法,并要求学生纵观全过程,反思:为什么(1)式两边要同乘以2呢?
三、类比联想,解决问题
引导学生将结论一般化,设等比数列为{a n },公比为q ,如何求它的前n 项和?让学生自主完成,然后对个别学生进行指导。
一般等比数列前n 项和:64S n =a 1+a 2+a 3+⋅⋅⋅+a n -1+a n =?
+a 1q n -2+a 1q n -1=? 2S =a +a q +a q +111即n
方法1:错位相减法
2n -2n -1⎧⎪S n =a 1+a 1q +a 1q ++a 1q +a 1q ⎨23n -1n ⎪⎩qS n =a 1q +a 1q +a 1q ++a 1q +a 1q
a 1(1-q n ) ∴(1-q ) S n =a 1-a 1q ⇒1-q n
这里的q 能不能等于1?等比数列中的公比能不能为1?q=1时是什么数列?此时S n =?
⎧a 1(1-q n ) ⎪⎪S n =⎨1-q
⎪na ⎪⎩1q ≠1q =1
a 1-a 1q n
S n =n (1-q ) S =a -a q 1-q n 11在学生推导完成之后,我再问:由得
四、讨论交流,延伸拓展
方法2:提取公比q
S n =a 1+a 1q +a 1q 2+⋅⋅⋅+a 1q n -2+a 1q n -1
=a 1+q (a 1+a 1q +⋅⋅⋅+a 1q n -2)
=a 1+q (S n -a 1q n -1)
∴(1-q ) S n =a 1-a 1q n
∴S n =a 1-a n q (q ≠1) 1-q
方法3:利用等比定理有
a a 2a 3a 4===⋅⋅⋅=n =q a 1a 2a 3a n -1
∴a 2+a 3+⋅⋅⋅+a n S -a =q =n 1 a 1+a 2+⋅⋅⋅+a n -1S n -a n
∴(1-q ) S n =a 1-a n q
∴S n =a 1-a n q (q ≠1) 1-q
五、例题讲解,形成技能
例5:写出等比数列
1, -3, 9, -27, ⋅⋅⋅
的前n 项和公式,并求出数列的前8项和。
解:因为a 1=1, q =-3=-3, 所以等比数列的前n 项和公式为 1
n 1⨯⎡1-(-3)⎤1-(-3)n ⎦=S n =⎣, 1--34
1-(-3)S ==-1640. 故 n 4
例6:一个等比数列的首项为892114 ,末项为 ,各项的和为 ,求数列的公4369
比并判断数列是由几项组成。
解:设该数列由n 项组成,其公比为q ,则a 1=94211, a n =, S n =. 于是 4936
94-⋅q 211=, 361-q
2⎛94⎫即211⋅(1-q )=36⋅ -q ⎪, 解得 q =. 3⎝49⎭
9⎛2⎫所以数列的通项公式为a n =⋅ ⎪4⎝3⎭
⎛2⎫⎛2⎫即 ⎪= ⎪⎝3⎭⎝3⎭4n -1n -149⎛2⎫, 于是=⋅ ⎪94⎝3⎭n -1, , 解得n=5. 2故数列的公比是 ,该数列共有5项。 3
六、课堂小结
七、作业 P19习题6.3 B 组 1、2、3题
板书设计
课后反思