2.4 卷积积分
02-28
x (t ) =lim
Δ→0
当Δ→0时，Δ记作d τ, n Δ成为新的连续变量τ，g Δ(t −n Δ)
成为δ(t −τ), 求和变成对连续变量τ的积分,
n =−∞
∑
∞
x (n Δ) g Δ(t −n Δ) Δ
即x (t ) =x (τ) δ(t −τ) d τ
−∞解释：
1. 说明任意波形的信号x (t ) 可以看成是由无穷多个连续出现的冲激信号分量[x (τ) d τ]δ(t −τ) 叠加起来构成的。
2. 任意波形的信号x (t ) 也可以看成是由无穷多个连续出现的矩形脉冲信号分量x (τ)[δ(t −τ) d τ]叠加起来构成的。
3. τ是积分变量，t 是积分参变量（在积分过程中可视为常数），
因此，该积分公式也可以直接从单位冲激函数的取样特性得到。
∫
∞
三．卷积的图解法
f 1(t ) *f 2(t ) =∫f 1(τ) f 2(t −τ) d τ
−∞∞
卷积过程可分解为四步：
（1）换元：t 换为τ→得f 1(τ) ，f 2(τ)
（2）反转平移：由f 2(τ) 反转→f 2(–τ) 右移t →f 2(t-τ) （3）乘积：f 1(τ) f2(t-τ)
（4）积分：τ从–∞到∞对乘积项积分。注意：t 为参变量。
(3)卷积是系统分析中的重要方法，通过冲激响应h (t ) 建立了响应r (t ) 与激励f (t ) 之间的关系。
r (t ) =∫∞
−∞f (τ) h (t −τ) d τ=h (t ) ∗f (t )
(4)卷积是数学方法，也可运用于其它学科
(5)积分限由f 1(t ), f 2(t ) 存在的区间决定，即由f 1(τ) f 2(t −τ) ≠0的范围决定。