圆柱和圆锥的截面是什么图形
圆柱和圆锥的截面是什么图形
我们知道,圆柱和圆锥中垂直于轴的横截面是一个圆面,那么截面不垂直于轴时又会是什么图形呢?关于这个问题,历史上许多人都做过卓有成效的研究,为了便于大家学习,现在我们做一个小小的总结。
先说圆柱中的截面。
图1是圆柱的轴截面,AB是不垂直于轴的截面,分别与圆柱的内切球切于点C、D,E、F是球与圆柱的切点,根据球切线的性质,AC=AE,AD=AF,AC=BD,所以AB=EF。
图2是圆柱的直观图,P是截面边线上的任意一点,过P作圆柱的母线,分别切两球于点M、N,因为PC=PM,PD=PN,所以PC+PD=PM+PN=MN=EF=AB,即点P的到定点C、D的距离之和为定值AB,且AB>CD,根据椭圆的定义,截面就是一个椭圆面,椭圆面的焦点是C、D,长轴是AB。
再说圆锥中的截面,情况要复杂一些。
在图3、图4中,截面AB与圆锥如图相交,并且AB=EF。在切面边线上任取一点P,过P作圆锥母线,分别切两圆于M、N两点,与圆柱情况一样,PC+PD=PM+PN=MN=EF=AB,点P的到定点C、D的距离之和为定值CD,截面也是一个椭圆面,椭圆面的焦点是C、
D,长轴是AB。
再看图5、图6,截面AB与母线GH平行,内切球分别与圆锥、截面切于点C、E、F,过E、F平行于底面的平面与截面AB延展相交于直线D,由图可知,BD=KF。在截面AB的边线上任取一点P,过P作圆锥母线,切内切球于M,则有PM=PC。过P作平行于底面的截面O,交母线于N。过P作直线D的垂线段,垂线段与OD平行且相等,又PM=NF=OD,所以点P到点C的距离等于到直线D的距离,根据抛物线的定义,此时的截面应是抛物线面,焦点是C,准线是直线D。
最后看图7、图8,截面AB与轴平行,内切球分别与圆锥、截面切于点C、D、E、F,根据球切线的性质,AC=AE,AD=AF,AC-AD=AF-AE,即AB=EF。
在截面AB的边线上任取一点P,过P作圆锥母线,切内切球于M、N,则有PC=PM,PD=PN。PC-PD=PM-PN=MN=EF=AB,AB
以上就是对圆柱和圆锥中的椭圆、双曲线及抛物线的一些简单总结,有兴趣的朋友还可以再讨论一下椭圆和双曲线的第二定义,还是非常有意思的。