长安一中高新一中交大附中师大附中西安中学数学理

长安一中 高新一中 交大附中 师大附中 西安中学

2013届第三次模拟考试

数学（理）试题

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）

一、选择题(本大题共10题,每小题5分,共50分) 1.若集合A{x|

xx1

0},B{x|x2x},则AB

2

A.{x|0x1} B.{x|0x1} C.{x|0x1} D.{x|0x1}

2.若复数z满足:z1(z1)i,则复数z的共轭复数z .

A.i B.i C.1i D.1i

3.若三棱锥的三视图如右图所示,则该三棱锥的体积为 .

A.80 B.40 C.D.

4.若ABC的三个内角满足sinA:sinB:sinC5:11:13,则ABC . A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形

C.一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 5.函数f(x)lg|sinx|是 .

A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为2的奇函数 C.最小正周期为的偶函数

D.最小正周期为2的偶函数

6.按右面的程序框图运行后,输出的S应为

803

403

A.26 B.35 C.40 D.57

7.若数列{an}满足a115,且3an13an2,则使akak10的k值

为

A.22 B.21 C.24 D.23

8.“a1”是“直线l1:ax2y10与l2:x(a1)y40平行”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 9.设F1,F2分别为双曲线

xa

22



yb

22

1(a0,b0)的左,右焦点.若在双

曲线右支上存在一点P,满足PF2F1F2,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为 .

4

3

5

3

5

4

414

A. B. C. D.

10.一个赛跑机器人有如下特性：

(1)步长可以人为地设置成0.1米,0.2米,0.3米,…,1.8米或1.9米；

(2)发令后,机器人第一步立刻迈出设置的步长,且每一步的行走过程都在瞬时完成； (3)当设置的步长为a米时,机器人每相邻两个迈步动作恰需间隔a秒．

则这个机器人跑50米(允许超出50米)所需的最少时间是【 】. A.48.6秒 B.47.6秒 C.48秒 D.47秒

第Ⅱ卷 （共100分）

二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分) 11.在(42

x

x

)的展开式中,常数项为 .

6



12.若向量a(cos,sin),b1),则|2ab|的最大值为 .

13.若实数x,y满足1xy4,且2xy3,则p2x3y的取值范围是

________.

14.若曲线yx



12

在点(m,m



12

)处的切线与两坐标轴围成三角形的面积为18,则

m________.

15.请考生从以下三个小题中任选一个作答,若多选,则按所选的第一题计分.

A.(不等式选讲)若实数a,b,c满足a2b2c24,则3a4b5c的最大值为

_________.

B.(几何证明选讲)以RtABC的直角边AB为直径的圆O交AC边于点E,点D在BC

上,且DE与圆O相切.若A56,则BDE_________. C.(坐标系与参数方程)在极坐标系中,曲线4cos(

两个交点之间的距离为_________.

三、解答题(本大题共6小题,共75分)

16.(本题12分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个

式子的值都等于同一个常数a.

①sin213cos217sin13cos17； ②sin215cos215sin15cos15； ③sin218cos212sin18cos12； ④sin(18)cos48sin(18)cos48； ⑤sin(25)cos55sin(25)cos55. (1)从上述五个式子中选择一个,求出常数a；

(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论.

17.(本题12分)如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,ADAA11,AB2,点E在棱AB上.

(1)求异面直线D1E与A1D所成的角；

2

2

2

2

3

)与直线sin(

6

)1的

(2)若二面角D1ECD的大小为45,求点B到面D1EC的距离.

18.(本题12分) 某校设计了一个实验考查方案:考生从6道备选题中一次性随机抽取3道题,

按照题目要求独立完成全部实验操作.规定:至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成,2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概

率都是

13

,且每题正确完成与否互不影响.

(1)求甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列,并计算其数学期望； (2)请分析比较甲、乙两考生的实验操作能力.

19.(本题12分)在数列{an}中,a1

23

,且对任意的nN*都有an1

2anan1

.

(1)求证:{

1an

1}是等比数列；

(2)若对任意的nN*都有an1pan,求实数p的取值范围.

20.(本题13分) 已知椭圆C:

xa

22



yb

22

1(ab0)的离心率为

63

,过右焦点F且斜率为

1的直线交椭圆C于A,B两点,N为弦AB的中点,O为坐标原点.

(1)求直线ON的斜率kON；

(2)求证:对于椭圆C上的任意一点M,都存在[0,2),使得OMcosOAsinOB成立.

21.(本题14分)设函数f(x)x2aln(x1)有两个极值点x1,x2,且x1x2. (1)求实数a的取值范围； (2)讨论函数f(x)的单调性；

(3)若对任意的x(x1,),都有f(x)m成立,求实数m的取值范围.

参考答案

一、选择题(本大题共10题,每小题5分,共50分)

二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)

11. 15 12. 4 13. (3,8) 14. 64 15. A.102 B.68 C.23 三、解答题(本大题共6小题,共75分)

16.(本题12分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数a. ①sin213cos217sin13cos17； ②sin215cos215sin15cos15； ③sin218cos212sin18cos12； ④sin2(18)cos248sin(18)cos48； ⑤sin(25)cos55sin(25)cos55. (1)试从上述五个式子中选择一个,求出常数a；

(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论. 解:(1)选择②式计算:asin15cos15sin15

cos151

2

2

2

2

22

12

sin30

34

34

.…4分

(2)猜想的三角恒等式为:sincos(30)sincos(30) 证明:sincos(30)sincos(30)

2

2

.………6分

sin(cos30cossin30sin)sin(cos30cossin30sin)

3434

22

sin 

34

2

2

cos2

2

234

sin

1

co4

2

s2

sincos sin

2

1

2

sincos.………………………………12分

17.(本题12分)如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,ADAA11,AB2,点E在棱AB上. (1)求异面

D1E与A1D所成的角；

直线

(2)若二面角D1ECD的大小为45,求点B面D1EC的距离.

解法一:(1)连结AD1.由AA1D1D是正方形知AD1A1D. ∵AB平面AA1D1D,

∴AD1是D1E在平面AA1D1D内的射影.

根据三垂线定理得AD1D1E,

则异面直线D1E与A1D所成的角为90.…………5分 (2)作DFCE,垂足为F,连结D1F,则CED1F.

C 所以DF1D为二面角D1E

到平

D平面角,DFD145.于

是的

DFDD11,D1F

.

易得RtBCERtCDF,所以CECD2,又BC1,

所以BE 设点B

到平面D1EC的距离为h,则由于VBCEDVDBCE,即

1

1111

CED1FhBEBCDD1, 3232

因此有CED1FhBEBCDD1,

即

,

∴h

4

.…………12分

解法二:如图,分别以DA,DC,DD1为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系. 

(1)由A1(1,0,1),得DA1(1,0,1),



设E(1,a,0),又D1(0,0,1),则D1E(1,a,1).



∵DA1D1E1010∴DA1D1E,则异面直线D1E与A1D所成的角为

90.……………………5分

(2)m(0,0,1)为面DEC的法向量,设n(x,y,z)为面CED1的法向量,则

n

(x,y,z)|cosm,n|

|mn||m||n|



cos45

2,

∴z2x2y2. ①



由C(0,2,0),得D1C(0,2,1),则nD1C,即nD1C0,∴2yz0

②由①、②,

可取n2),又CB(1,0,0),

|CBn||n|

4



所以点B到平面D1EC

的距离d



.……………12分

18.(本题12分) 某校设计了一个实验考查方案:考生从6道备选题中一次性随机抽取3道题,按照题目要求独立完成全部实验操作.规定:至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成,2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是且每题正确完成与否互不影响.

(1)求甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列,并计算其数学望；

(2)请分析比较甲、乙两考生的实验操作能力.

解:(1)设甲、乙正确完成实验操作的题数分别为,,则取分别为1,2,3；取值分别为0,1,2,3.

C4C2C6

31

2

13

,

期

值

P(1)

15

,P(2)

C4C2C6

3

21



35

,P(3)

C4C2C6

3

30



15

.

∴考生甲正确完成题数的概率分布列为

E1

152

35

3

15

3

2.…………………………3分

∵P(0)C3(1

, 27

6128

同理:P(1),P(2),P(3).

272727

3)

21

∴考生乙正确完成题数的概率分布列为: E0

127

1

15627

2

1227

2

827

335

2.………………7分

2

(2)∵D(21)2

D(20)

2

(22)

2

(23)

2

15



25

2

,

827

23

127

(21)

627

(22)

1227

(23)

.（或Dnpq

23

）.

∴DD. ∵P(2)

3515

0.8,P(2)

1227

827

0.74,

∴P(2)P(2).……………10分

从做对题数的数学期望考察,两人水平相当；从做对题数的方差考察,甲较稳定；从至少完成2道题的概率考察,甲获得通过的可能性大.因此可以判断甲的实验操作能力较强.……………………12分

说明:只根据数学期望与方差得出结论,也给分. 19.(本题12分)在数列{an}中,a1

23

,且对任意的nN*都有an1

2anan1

. (1)求

证:{

1an

1}是等比数列； (2)若对任意的nN都有an1pan,求实数p的取值范围.

*

证:(1)由an1

2anan1

,得

1an1

1

an12an

1

1an2an



1

2an

(

1

1).

又由a1

23

,得

1a1

1

12

0.

因此,{

1an

1}是以

1a112

1

12

为首项,以

12

为公比的等比数列.………5分

解:(2)由(1)可得

1an

1

()2

1

n1



12

n

,即an

2

n

n

21

,an1

22

n1

n1

1

,

于是所求的问题:“对任意的nN都有an1pan成立”可以等价于问题:“对任意

的nN都有p

*

an1an



22

n1

n1

1



212

n

n



22

n1n1

21

1

12

n1

1

成立”.

若记

1

f(n)n1

21

16

f(n)f(1)111.

215

,则

f(n)

显然是单调递减的,故

所以,实数p的取值范围为p

xa

22

65

.………………………12分

63

20.(本题13分) 已知椭圆C:

yb

22

1(ab0)的离心率为,过右焦点F且斜率为

1的直线交椭圆C于A,B两点,N为弦AB的中点.

(1)求直线ON(O为坐标原点)的斜率kON； (2)求证:对于椭圆C上的任意一点M,都存在[0,2),使得OMcosOAsinOB成立.

ca

63

解:(1)设椭圆的焦距为2c,因为,所以有

aba

2

22



23

,故有a23b2.

从而椭圆C的方程可化为:x23y23b2 ①易知右焦点F的坐标为(

2

2

2b,0),据题意有AB所在的直线方程为:yx2b.

②由①,②有:4x62bx3b0. ③设A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB的中点N(x0,y0),由③及韦达定理有:

x1x2

2y0x0



x0



32b4

,y0x0

2b

24

b.

所以kON

13

,即为所求. ………5分

(2)显然OA与OB可作为平面向量的一组基底,由平面向量基本定理,对于这一平面内的向量

OM,有且只有一对实数,,使得等式OMOAOB成立.设M(x,y),由(1)中各点

的坐标有:

(x,y)(x1,y1)(x2,y2),故xx1x2,yy1y2. ……7分

又因为点M在椭圆C上,所以有(x1x2)3(y1y2)3b整理可得:

222

222

. ④ (x3y)(x3y)2(xx3yy)3b11221212

2222

由③有:x1x2

32b2

,x1x2

3b4

2

.所以

2

x1x23y1y2x1x23(x12b)(x22b)4x1x232b(x1x2)6b

3b9b6b0

⑤又点A,B在椭圆C上,故有(x13y1)3b2,(x23y2)3b2 .

⑥将⑤,⑥代入④可得:221. ………11分

所以,对于椭圆上的每一个点M,总存在一对实数,使等式OMOAOB成立,且

2

2

2

2

2

2

222

1.

所以存在[0,2),使得cos,sin.也就是:对于椭圆C上任意一点M ,总存在

[0,2),使得等式OMcosOAsinOB成立. ………13分 21.(本题14分)设函数f(x)x2aln(x1)有两个极值点x1,x2,且x1x2. (1)求实数a的取值范围； (2)讨论函数f(x)的单调性；

(3)若对任意的x(x1,),都有f(x)m成立,求实数m的取值范围.

2

解:(1)由f(x)xaln(x1)可得f'(x)2x

2

ax1



2x2xa

x1

12

2

(x1).

令g(x)2x2xa(x1),则其对称轴为x

,故由题意可知x1,x2是方程

48a0

g(1)a0

g(x)0的两个均大于1的不相等的实数根,其充要条件为,解得

0a

12

.……………………5分

2

(2)由(1)可知f'(x)2x2xa2(xx1)(xx2),其中1x1x2,故

x1x1

①当x(1,x1)时,f'(x)0,即f(x)在区间(1,x1)上单调递增； ②当x(x1,x2)时,f'(x)0,即f(x)在区间(x1,x2)上单调递减；

③当x(x2,)时,f'(x)0,即f(x)在区间(x2,)上单调递增.………9分 (3)由(2)可知f(x)在区间(x1,)上的最小值为f(x2).

又由于g(0)a0,因此

2

12

2

x20.又由g(x2)2x22x2a0可得

a(2x22x2),从而f(x2)x2aln(x21)x2(2x22x2)ln(x21).

222

设h(x)x2(2x22x)ln(x1),其中

12

x0,

则h'(x)2x2(2x1)ln(x1)2x2(2x1)ln(x1). 由增.

所以,f(x2)h(x2)h(

12)

12ln2

412ln2

4

12

x0知:2x10,ln(x1)0,故h'(x)0,故h(x)在(

12

,0)上单调递

.

.……………………………14分

12ln2

4

所以,实数m的取值范围为m (事实上,当a条件.)

12

时,x2

12

,此时f(x2)

.即,“m

12ln2

4

”是其充要