三次函数的对称中心问题
三次函数的对称中心问题
广州市第四中学高二3班 梁隽铭
指导教师 刘运科
对于三次函数y =ax 3+bx 2+cx +d (a ≠0)，作出图象，经观察，发现其图象有四种形状：
可以发现，其图象具有中心对称性. 如何考虑求出y =ax 3+bx 2+cx +d (a ≠0)的图象
的对称中心坐标呢？下面是我的探究过程.
先考虑较简单的两个特殊情况：
一、求y =ax 3+cx (a ≠0)的图象对称中心坐标.
此特殊情况较简单. 因y =ax 3+cx (a ≠0)是奇函数，故其对称中心坐标为O (0，0).
二、求y =ax 3+cx +d (ad ≠0)的图象对称中心坐标.
此特殊情况也较简单. 将y =ax 3+cx 的图象通过适当平移就可得到
y =ax 3+cx +d (ad ≠0)的图象. 当d >0时，将y =ax 3+cx 的图象向上平移d 个单位长
度，就可得到y =ax 3+cx +d (ad ≠0)的图象；当d
上面两个特殊情况，主要是利用了奇函数的性质、平移的性质. 有了上面两种情况
的铺垫，似乎求y =ax 3+bx 2+cx +d (ab ≠0)的图象的对称中心坐标较容易了，其实不然. 因y =ax 3+bx 2+cx +d (ab ≠0)是非奇非偶函数，无法从奇偶性方面找到突破口. 下面先来
考虑当ab ≠0时，最简单的一个具体实例：
三、求y =x 3+x 2的图象对称中心坐标.
首先，利用GC ，探究y =x 3+x 2的图象对称中心坐标. 步骤：
①．画出f 1(x )=x 3+x 2的图象，并适当调整x 、y 的取值范围，如图1；
②．观察图象，函数有两个极值点，对称中心应该是两个极值点的中点. 按MENU 键，选择菜单的FCN 键，再选择Extremum ，OK ，可以得到一个极值点(0，0)；移动光标到另外一个极值点附近，重复刚才的操作，得到另外一个极值点 -，f
3
⎛2
⎝3⎛-2⎫⎫
⎪⎪，如图2、3； ⎝3⎭⎭
2
1⎫⎛1⎫2⎛⎛12⎫③．求出两个极值点的中点 -⎪，画出f 2(x )= x -⎪+ x -⎪-的图象3327327⎝⎭⎝⎭⎝⎭
如图4，可求f 2(x ) 的两个极值点，发现是关于原点成中心对称的，如图5、6；
④．故可知，f 2(x ) 是奇函数，对称中心为O (0，0)；故f 1(x )=x 3+x 2的对称中心为
⎛12⎫
P -
⎪. ⎝327⎭
图1
图2
图3
图4
图5
图6
那么，如果不使用图形计算器，该如何考虑呢？受到第二种特殊情况的启发，考虑到
y =x 3+x 2的图象可能是由某个奇函数y =ax 3+cx (a ≠0)通过适当平移得到，故有如下
的解法：
【解】设将y =ax 3+cx (a ≠0)的图象通过适当平移可以得到y =x 3+x 2的图象，
3
则可设y =x 3+x 2=a (x -m )+c (x -m )+n ，
显然，a =1，故
y =x 3+x 2=(x -m )+c (x -m )+n =x 3-3mx 2+(3m 2+c )x +(n -m 3-cm )，
3
比较系数，可知：
⎧-3m =1⎪2
⎨3m +c =0
⎪n -m 3-cm =0⎩
解得m =-，c =-，n =
3
3
2
13132. 27
1⎫1⎛1⎫2⎛
故y =x +x = x +⎪- x +⎪+，
3⎭3⎝3⎭27⎝
将y =x 3-
211
x 的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，
2733
即可得到y =x 3+x 2的图象. 因y =x 3-
1
0)， x 的图象对称中心坐标为O (0，
3
⎛12⎫⎝327⎭
故y =x 3+x 2的图象对称中心坐标为P -⎪.
将此法推广到一般情况，就可以解决求y =ax 3+bx 2+cx +d (ab ≠0)的对称中心
坐标问题：
四、求y =ax 3+bx 2+cx +d (ab ≠0)的对称中心坐标. 【解】设y =ax 3+bx 2+cx +d =a (x -m )+k (x -m )+n ，
3
3
a (x -m )+k (x -m )+n =ax 3-3amx 2+(3am 2+k )x +(n -m 3-km )，
比较系数，有
⎧-3am =b ⎪2
⎨3am +k =c ⎪n -m 3-km =d ⎩
b b 2b 3b 3bc
解得m =-，k =c -，n =-+2-+d ， 3
3a 3a 27a 9a 3a
⎛b ⎫b 3b 3bc
故y =ax +bx +cx +d (ab ≠0)的对称中心坐标为 -，-+-+d ⎪. 32
3a 27a 9a 3a ⎝⎭
3
2
五、综上，
y =ax 3+bx 2+cx +d (a ≠0)的对称中心坐标为
⎛b ⎫b 3b 3bc
-+2-+d ⎪. 在上面的解题过程中，我们先考虑特殊情况，再考虑一般情况. -，3
9a 3a ⎝3a 27a ⎭
对于b =0的情况，利用了奇函数性质、平移性质来求解；对于b ≠0的情况，利用待定系数
法求解. 下面我们利用导函数的相关知识来解决此问题.
六、利用导数知识，求y =f (x ) =ax 3+bx 2+cx +d (a ≠0)的对称中心坐标.
【解】f /(x )=3ax 2+2bx +c ，其判别式∆=4b 2-6ac ，导函数图象对称轴方程为
x =-
b . 3a
⑴．当∆>0时，导函数有两个零点x 1、x 2，y =f (x ) 有一个极大值、一个极小值，两个极值点的中点即为对称中心，故对称中心横坐标为x =
x 1+x 2b
，纵坐标为=-
23a
b 3b 3bc ⎛b ⎫
f -⎪=-+2-+d . 3
27a 9a 3a ⎝3a ⎭
⑵．当∆≤0时，若a >0，则f /(x )≥0恒成立，y =f (x ) 在R 上单调递增，当x =-时，f /(x )取到最小值，函数增长率最小，对应y =f (x ) 图象上的对称中心点；
若a
b
3a
b
时，f /(x )取3a
b
故对称中心横坐标为x =-，纵坐标为
3a
b 3b 3bc ⎛b ⎫
f -⎪=-+2-+d . 3
3a 27a 9a 3a ⎝⎭
七、一点心得
图形计算器可以将抽象问题直观化，给我们提供思考的方向，加深我们对问题的理解；但机器毕竟是机器，不可能替代人的思维. 我们要合理使用好图形计算器，要用好它，而不是依赖它，被机器所奴役.