变系数二阶线性微分方程的求解
第22卷第3期2009年6月
高等函授学报(自然科学版)
JournaI
of
VoI.22No.3
2009
HigherCorrespondenceEducation(NaturalSciences)
・高职高专教学・
变系数二阶线性微分方程的求解
范小勤1,李金洋2
(1.广州番禺职业技术学院基础课部.广州511483,2.广东药学院医药信息工程学院。广州510006)
摘要:本文给出了可化为常系数或可降阶的变系数二阶微分方程的紊件及在此条件下求
变系数微分方程的解。
关键词:变系数,常系数;微分方程,求解中图分类号:0175.1
文献标识码:A
文章编号:1006—7353(2009)03—0041—02
l引言
变系数二阶线性微分方程在纯数学、应用数学、力学、物理学及工程技术中有着重要的地位。关于它的通解结构有十分完美的结论,‘但求解却无一般方法。本文根据参考文献[1]一[4],从解
£雾+号窘+y=器L。
证明
令£(z)=J撕矛孤,ddzy=
面酉舅,刃d2y=(丽两),.万dy+eg(工)雾,
常系数或可降阶的二阶线性方程的方法研究,
+p(x)y+q(x)y=厂(士)(1),(其中p(工),q(z),,(z)为连续函数)满足一定条件下的求解情况。2几个结论
定理1
代入(1),得:e雾+号鲁+y=关骞,这已经是
可积常系数二阶线性微分方程。
定理3
若存在“z)使等式/(z)+p(z)rQ)
+户(z)+q(z)=0则方程(1)的通解为:y=
二阶变系数线性微分方程(1)
(p(z)≠O)能化为常系数线性微分方程的充要条件是:P2(z)--4q(x)+2p7(z)=舻一41(k,Z为常数)。
证明
J柚士(f小一洲k[f八z)小曲出如+c2]如+cl},
其中s(z)=一口(z)一r(z).
ff.f1月
令y:=.£fKz)由
(3)
令Y=e-}Jt,(x)--hJ由z
(2)
则方程(1)化为:
7+[-2r(x)+p(x)Jz7+r7(z)+夕(z)r(z)
方程(1)经变换(2)得:/+娩7一÷[矿(工)一
4q(x)+2p7(z)--k2]z=厂(z)e{J[“。’一‘]哆,这已经是一个常系数二阶线性微分方程。
+r2(z)+q(x)Jz一,(z)d一神出
所以7+[2r(z)+p(z)]z7・=f(x)e-J,‘D由,
此为可降阶的二阶微分方程,解之得:
£垒车上警掣=c(常数),其中
定理2
设方程(1)满足条件
[69(z)]号
f
………’
y:J枞舭㈣弘[f八力d眦如+f2k+c1)
J
J
在定理3中令r(z)=,.(常数),即得以下结论:
推论1
若存在常数r使得,.2+矽(z)+
q(z)=0,则方程(1)的通解为:
E=J
1
q(z)≥0
q(z)<0
l—l
则方程(1)可化为
收稿日期:2008—12—25.
作者简介:范小勤(1966一).男.湖北黄冈人.硕士.副教授.研究方向:大学数学教学;系统优化;遗传算法等.
李金洋(1964一).女,湖北武汉人.硕士.剐教授,研究方向:数据库应用;多媒体CAI;虚拟现实.
万方数据
第z2卷第3期2009年6月
高等函授学报(自然科学版)
JournalofHigherCorrespondenceEducation(NaturaISciences)
V01.22No.3
2009
y:Pn{fe-Z=-f如,出“f,(z)Pn+』,c鼬dz+
cz-]d.r+fI}
在定理3中令r(z)=一上得:
推论2
g(z)=印(工)+1一z2,则方程(1)
的通解为y:d曲{fJ[2竹u,Ⅻ[f厂(z)小舯如+
c2]出+cI}
在定理3中令,.(z)={即得如下结论。
推论3若户(z)=--xq(x),则方程(1)的通
解为:
y=z{J.当J~叮巧&)J脚由如+c2]出+c1)
推论4
若户(z),g(z)是关于z的连续函
数,且p(工)=一q(z)(钟。一1)+1,则方程
/+p(x)y7+q(x)y一0
(4)
的解为Y=一T鳊出.
(其中1一p(z)≠0)证明
在(3)中,令z=1代人(4),得:
rp(z)+夕(工),.(z)+产(z)-I-口(工)=0(5)
再令如)=普南,
则
,.(工)=户(z)r(z)-t-口(z),
所以rI(z)+,.(z)-I-产(工)=0,此为伯努利方程,通解为得
r(z)=(ce。一1)一1
(6)
故当掣南=(留。一1).1或如)=
一q(x)(cet—1)+1时,Y=一骼睁为(4)的解。
3
实例
例l解方程,一≯2’+墨=2≯
解
矿(z)--4q(z)+2户7(z)=74—78十74
=o,取k=0,1=o,则7:2z,z:姜+clx+q,
所以Y=(等+clz+f2)z
例2求方程yn一(--,-1+6x)y7-F8x2Y=0的通解。
解因为—_焘r一。拉,
16工一2(上+6x).8≯
V~o工,
42
万方数据
由定理2,原方程百】化为:
2dt
。,
。’
所以=c。算‘+护,=I厨出所以Y:c。廖+C2护,t:I厨出
一娩≯
所以通解为Y=CI,+c2∥
例3求(z一1)/一划’+y=(z一1)2矿的
通解。
解
方程变形为/一i刍y7+i与y。(z
一1)矿
由定理3,选取r(z)=1,就能使等式。一;刍
+1+士=0恒成立,且s(z)=一(一—与)一
Z一1
Z—l
1=_Lx--1故原方程的通解为
y=乒{J.J[;1-1弘[『。--1)e'e-J'当dx+f2]出+C1)=f。矿一白搿1+(:萼一z)矿
例4
已知少+≯2
7+y----三工co跗对应的齐
次方程有一解为r(z)=s,nx,求非齐次方程的通解。
解
由定理3,得z7+2cotx・2=COtX,得z
=百1+毒},通解为:Z
sin。Z
Y一里警一鱼COSX+.c_5_z
一—r—jxni
+‘z
sinx参考文献
[1]丁同仁。李承治.常微分方程教程EM3.北京:高等教
育出版社.2001:41—43.
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出版社.2003:203—342.
[3J王波.利用待定法求解变系数微分方程[J].焦作大
学学报.2004(7):99—100.
E43周玲.张玲玲.关于变系数线性微分方程的求解方法
[J].安徽教育学院学报.2007(5)。11.13.
变系数二阶线性微分方程的求解
作者:作者单位:刊名:英文刊名:年,卷(期):被引用次数:
范小勤, 李金洋
范小勤(广州番禺职业技术学院,基础课部,广州,511483), 李金洋(广东药学院,医药信息工程学院,广州,510006)
高等函授学报(自然科学版)
JOURNAL OF HIGHER CORRESPONDENCE EDUCATION(NATURAL SCIENCE EDITION)2009,""(3)0次
参考文献(4条)
1. 丁同仁. 李承治 常微分方程教程 20012. 庄万 常微分方程习题解 2003
3. 王波 利用待定法求解变系数微分方程[期刊论文]-焦作大学学报 2004(07)
4. 周玲. 张玲玲 关于变系数线性微分方程的求解方法[期刊论文]-安徽教育学院学报 2007(05)
相似文献(10条)
1.期刊论文 宋和平. 李军红. 崔宁. SONG He-ping. LI Jun-hong. CUI Ning 变系数微分方程的常系数化条件 -河北科技师范学院学报2006,20(2)
不同于解具有e∫φ(z)dz形式的待定函数法,由引理1给出了n阶变系数微分方程具体的因变量代换形式,从而给出n阶变系数微分方程常系数化的充要条件并加以详细证明,由此得到二阶、三阶变系数线性微分方程常系数化的充要条件,同时指出三阶变系数微分方程在具体应用中令a1=0的简便性.对二阶变系数非线性微分方程的常系数化给出两个使其可积的条件,并举例论证.
2.学位论文 孙智勇 变系数二阶线性常微分方程求解的基本研究及Maple在其中的应用 2006
二阶线性常微分方程d2y/dx2+P(x)dy/dx+Q(x)y=0在科学技术中有着广泛的应用。特别是在物理学中,二阶线性常微分方程及其本征值问题是求解数学物理方程的重要基础,很多物理问题都归结为二阶线性常微分方程的求解问题。然而变系数二阶线性常微分方程的求解十分困难,至今还没有一个普遍有效的办法,通常采用的级数解法只能得到某点邻域内的局域解,而且是无穷级数解或近似解,不便于作理论上分析。因此,变系数二阶线性常微分方程的求解问题吸引了大量数学和物理工作者的兴趣。
在二阶线性常微分方程理论中,常系数方程总是可解的,特殊函数方程的性质已经有了深入的研究,因此可以将它们看成“可解方程”,然而在处理实际问题时,我们往往遇到的是陌生的变系数方程,求解比较困难。
本文通过对微分方程和特殊函数理论的研究,提出新的方法将一类变系数二阶线性常微分方程转化为已知的特殊的可解方程,建立起这类方程之间的转换关系。同时,从本质上阐述将变系数方程常系数化的方法,进而提出变系数二阶线性常微分方程求解的基本思想和步骤。最后,通过数学软件Maple将复杂的求解步骤编写为Maple程序,利用Maple强大的符号运算能力简化方程转换过程中繁杂的计算,使变系数二阶线性常微分方程的求解简单化程序化,同时有利于我们对微分方程的进一步学习、研究和应用。
3.期刊论文 崔宁. 李军红. Cui Ning. LI Junhong 变系数微分方程的常系数化方法研究 -河北建筑工程学院学报2007,25(2)
不同于解具有e∫φ(x)dx形式的待定函数法,给出了n阶变系数微分方程在不同情形下具体的因变量和自变量代换形式,指出了变系数微分方程在具体应用中令a1=0的简便性,并得出二阶变系数非线性微分方程的常系数化方法.
4.期刊论文 秦军. QIN Jun 几类变系数微分方程化为常系数方程的变量代换法 -皖西学院学报2009,25(5)
通过变量代换法将几类变系数微分方程化为常系数方程,并给出化为常系数方程所应满足的条件.
5.学位论文 李娟 基于计算机符号计算的若干变系数非线性模型可积性质的研究 2008
随着计算机符号计算的迅猛发展,在非线性科学中,基于符号计算的变系数模型的解析研究已逐渐成为孤子理论的重要研究方向之一,特别是关于变系数模型可积性质的研究备受关注。计算机符号计算具有易于操作和实现的特点,能够以算法化的形式处理繁复冗长的表达式,可为变系数非线性发展方程的研究工作提供功能强大的辅助工具。
本文主要借助计算机符号计算将某些适用于常系数非线性发展方程的方法进行推广,并应用于若干变系数模型,解析地研究它们的可积性质,如变系数Korteweg-de Vries(KdV)模型、变系数高阶非线性Schr(o)dinger(NLS)模型、修正KdV-Sine-Gordon(mKdV-SG)模型、变系数Gardner模型、柱
Kadomtsev-Petviashvili(KP)模型和谱可变修正KP(mKP)模型等等。这些变系数模型在物理学和工程技术领域的不同分支中都有着广泛的应用,如光纤通信、等离子体、超导体、流体力学和非线性晶格等,特别是可用于描述带有非均匀边界条件或非均匀介质的物理背景中的各种非线性波动现象的动力学机制。
在本文中,作者主要针对变系数可积模型的研究提出便于计算机符号计算实现的算法,并将其应用于若干变系数模型可积性质的研究之中。此外,借助数学计算软件着重探讨所得解析结果的物理机制和潜在的物理应用。本文的内容主要包括如下几个方面:
(一)基于符号计算的变系数Ablowitz-Kaup-Newell-Segur(AKNS)方法:本文对常系数AKNS方法进行适当推广,并结合符号计算提出适用于构建变系数可积系统Lax对的算法,这样,可在很大程度上扩展该方法的适用范围。同时以在等离子体物理、非线性晶格、玻色爱因斯坦凝聚和海洋动力机制等领域中有着广泛应用的变系数模型为例,阐述了变系数AKNS算法的有效性和适用性。利用该变系数算法,可以更直接更有效地研究变系数非线性模型的某些性质,不仅可以获得常系数模型的线性系统,而且还可以构建变系数可积模型的Lax对。
(二)基于计算机符号计算的变系数非线性模型自-B(a)cklund变换和多孤子型解的研究:一方面,利用自-B(a)cklund变换与逆散射方法之间的等价关系,提出由变系数可积模型的Lax对推导自-B(a)cklund变换的系统算法,实现对变系数模型可积性质的直接有效的分析探讨,并获得相应的自-B(a)cklund变换和单孤子型解;另一方面,在一定的约束条件下,借助符号计算分别推出从变系数KdV模型和变系数Gardner模型到与它们相对应的常系数可积模型的坐标变换,进而基于此研究了变系数非线性发展方程的孤子解及某些可积性质,如自-B(a)cklund变换、非线性叠加公式和Lax对等。文中还以一类源于动脉机制和玻色爱因斯坦凝聚等物理领域的广义的变系数KdV模型为例,借助符号计算推出该模型的非线性叠加公式和无穷守恒律,并得到双孤波型解。借助Mathematica软件对解析解的潜在物理应用进行直观地分析讨论。
(三)符号计算与变系数非线性模型的Darboux变换:与经典B(a)cklund变换相比,Darboux变换的一个显著优势就是既含有势函数变换又存在波函数变换,可反复利用同一个算法迭代推出非线性发展方程的一系列解析解。文中主要结合符号计算、Darboux变换、变系数非线性模型的某些特点,提出构
造变系数可积模型Darboux变换的算法,并得到相应模型Ⅳ次迭代的势函数变换公式及多孤子型解。特别地,将双奇异流形方法推广应用到具有双Painlevé分支的变系数谱可变mKP模型,借助符号计算得到该可积模型的自-B(a)cklund变换、Lax对、Darboux变换和Grammian形式的解析解。
(四)基于符号计算的柱KP模型的Darboux变换和多孤子型解的研究:主要利用非线性化方法和符号计算研究柱KP模型所描述的尘埃等离子体和玻色爱因斯坦凝聚中的抛物线型尘埃声波孤子结构。首先,从柱KP模型的Lax对及其共轭Lax对着手,构造两者之间合适的对称约束并提出两种可积分解,即单个Lax对的非线性化和两个对称Lax对的非线性化;其次,从考察柱KP模型与(1+1)维可积方程之间关系的角度直接构造可积分解。这三种可积分解分别将柱KP模型分解为同一梯队中的两组(1+1)维变系数可积系统,从而可降低模型的维数,达到利用低维方程研究高维复杂方程的目的。借助符号计算获得分解后的(1+1)维可积系统的几种Darboux变换,进而得到柱KP模型一系列的孤子型解。
借助Mathematica软件分析讨论了单抛物线型孤子、稀疏型和压缩型孤子的共振结构及离子声波孤子碰撞结构在尘埃等离子体和玻色爱因斯坦凝聚中的物理机制和潜在的物理应用。
(五)利用计算机符号计算重点研究在非线性光纤光学中有着重要应用的变系数高阶NLS模型的可积性质:通过Painlevé分析方法得到该模型存在脉冲孤子解的两种系数约束条件,在其中一种条件下,该模型的一些可积性质已被广泛研究。本文着重探讨变系数高阶NLS模型在另外一种约束条件下具有的可积性质,包括3×3矩阵Lax对、Darboux变换和多孤子型解。通过对解析解中物理参数(如自陡峭效应和光纤增益/损耗效应)的合理取值,并借助单孤子型解和双孤子型解的几组图形,直观详细地讨论了飞秒光孤子脉冲在非均匀光纤系统中的某些特性及其潜在应用。
综上所述,本论文针对变系数模型含有任意变系数函数的特点,基于符号计算提出了若干研究变系数模型可积性质的算法,并利用Mathematica计算软件对所得解析结果的潜在物理应用进行了深入分析。作者希望文中提出的用于研究变系数模型可积性质的方法,如变系数AKNS方法、推导自-Backlund变换的方法、构造Darboux变换的方法及得到变系数模型多孤子型解的方法,能够为其它类型的变系数非线性模型的研究工作提供一定的帮助。同时也希望本文获得的解析结果及关于孤子型解的分析讨论,有可能在未来的空间和实验室环境中被观察到,并有助于解释光纤通信、超导体、非线性晶格、流体力学、尘埃等离子体和玻色爱因斯坦凝聚等领域中非线性现象的物理机制。
6.期刊论文 章联生. 王勤龙 几类变系数线性常微分方程的求解 -北京石油化工学院学报2003,11(4)
在科学研究、工程技术中,人们常会遇到二阶或高阶变系数线性微分方程,一般形式的这类方程,无法用初等积分法求解,也没有通用的一般性方法.但这类方程中的一些特殊类型仍可求解.为了满足理论研究和工程实践的需要,一直以来,人们用不同的方法在不断的探讨这一问题,极大地扩展了变系数线性微分方程的可积类型.借助双变换-未知函数的线性变换和自变量的变换,将几类变系数线性微分方程化为常系数的线性微分方程,从而求得它们的通解,所得结论推广了著名的Euler方程及前人的一些的工作.
7.学位论文 吕士钦 半变系数模型的估计 2007
Hastie和Tibshirani(1993)所提出的变系数模型(Varying Coefficient Models),在实践中,人们希望知道变系数模型中函数系数是否真正变化,从而引出检验某些函数系数是否为常数的问题,即检验原假设H:α(U)=β,对某些i是否成立。在对某些i原假设H成立的条件下,变系数模型被称为半变系数模型(Semi-Varying Coefficient Models),半变系数模型是一类比较广泛的模型,例如,当α(·)≡0(i=1,…,p)时,即为线性模型;当β=0(j=1,…,q)时,即为变系数模型;如果将常系数β看作函数,半变系数模型又可以认为是变系数模型的一种特殊情况;当p=1,X≡1时,就成为部分线性模型(Partially Linear Models)。
本文首先考虑线性约束下半变系数模型的估计问题。假设约束条件为相容线性方程组 Aβ=b其中A为m×g矩阵,且秩为m,b为m×1向量。在Fan和Huang(2005)想法的基础上,通过改进PLS(Profile Least Squares)估计,给出常系数向量和函数系数向量的约束PLS估计,并证明了估计的渐近正态性。
其次,考虑响应变量随机删失时半变系数模型的估计问题。设{Y,1≤i≤n}因随机右删失而不能被完全观察到,仅能观察到
{(T,δ),1≤i≤n),其中 T=min{Y,V),δ=I(Y≤V),i=1,2,…,n,截断变量.[V,1≤i≤n)独立同分布(Independent Identically Dis-tributed)且与{Y,1≤i≤n}独立。
在响应变量随机右删失的情况下,通过数据变换,并改进Zhang,Lee和Song(2002)所提出的估计方法,采用局部线性方法和平均方法给出了常系数的估计,采用局部线性方法和Backfitting技巧给出了函数系数的两步估计,进而证明了该估计的渐近正态性。最后,考虑广义半变系数模型(Generalized Semi-Varying CoefficientModels)的估计问题。设条件均值和条件方差为μ(x,z,u):E(Y|X=x,Z=x,U=u),
Var(Y|X=X,Z=z,U=u)=σV{μ(x,z,u)}>0,其中V为一给定函数,σ为未知的规模参数,U,Y∈R,X∈R,Z∈R.拟似然函数
Q(μ,y)通过下式定义先通过局部拟似然方法可获得广义半变系数模型函数系数的初估计,并以其代回模型,采用拟似然方法获得常系数的估计,再采用局部拟似然方法和Backfitting技巧给出了函数系数的估计。此外证明了该估计的渐近正态性。
8.期刊论文 章联生. ZHANG Lian-sheng 高阶变系数线性微分方程的一些新的可积类型 -数学的实践与认识2009,39(15)
借助双变换一未知函数的变换和自变量的变换,将几类高阶变系数线性微分方程化为相应的常系数线性微分方程,从而顺利求得它们的通解,得到了变系数线性微分方程新的可积类型,所得结果极大地推广了著名的Euler方程及前人的一些的工作,并给出了相应的实例加以佐证.
9.学位论文 夏敦行 二阶变系数线性微分方程的解法 2009
二阶线性齐次微分方程在微分理论中占有重要位置,在科学研究、工程技术中有着广泛的应用,其中有很多应用类型的问题都归结为二阶线性常微分方程的求解问题,而常系数微分方程根据线性常微分方程的一般理论是可解的.然而变系数二阶线性常微分方程的求解却十分困难,至今还没有一个普遍有效的方法,通常采用的级数解法只能得到某点领域内的局域解或者近似解,不便于科学研究的分析。因此探讨它们的解法具有重要的理论和应用价值。
在微分方程理论中,一些特殊的微分方程的性质及解法也已经有了深入的研究,它们总是可解的.但是变系数微分方程的解法比较麻烦的。
如果通过某些适当的变换将给定的二阶变系数微分方程化为常系数微分方程,则该二阶变系数微分方程就可以求解.问题在于怎么样才能知道该二阶变系数微分方程能化为可解的二阶常系数线性微分方程,以及通过什么样的变换才能化为常系数线性微分方程.
本文通过对微分方程理论的研究,用不同的方法探讨这类问题,扩展了变系数线性微分方程的可积类型,借助变量变换等方法将给定的变系数线性微分方程化为常系数方程求解,提出二阶变系数线性常微分方程的求解基本方法和步骤。
二阶变系数微分方程有齐次与非齐次之分,本文分别对这两种类型的求解方法做了研究与探讨,为以后的方程求解工作奠定了基础.关键词:变系数二阶微分方程;变量变换;常数变易;通解;线性变换;
10.期刊论文 孟红丽. 李文清. MENG Hong-li. LI Wen-qing 一类二阶变系数齐次线性微分方程的通解 -西南民族大学学报(自然科学版)2009,35(4)
通过变量代换, 将一类二阶变系数齐次线性微分方程化为常系数线性微分方程, 并求出在不同条件下的通解公式.
本文链接:http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_gdhsxb-zrkxb200903017.aspx授权使用:中共汕尾市委党校(zgsw),授权号:3df73617-718c-45e3-b60b-9dcf011dfe4d
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