一元二次方程特殊情况下的特殊解法
摘要:在应用题中,很多学生虽然会列方程,但是在解时比较费时间,有些时候解了半天也解不出来。对这种情况,我在平时的教学中发现了一种针对一元二次方程的特殊情况的特殊解法,因此就有了本文。
关键词:一元二次方程
我们都知道一元二次方程的解法有四种:直接开平方法、因式分解法、配方法和求根公式法。其中,直接开平法和因式分解法解一元二次方程的速度较快,正确率较高,但这两种方法只能对于特殊的一些方程才能采用。而配方法和求根公式法对所有的方程都能采用,但配方法对于二次项系数不为1,以及一次项系数较大,且不能被二次项系数整除的时候,就显出它的麻烦来了。所以,更多难解的方程需要靠求根公式来解,特别是在实际问题中,例如解应用题,有些数字并不容易凑好,所以在这种问题中的解方程更多的是靠公式法。而我在最近初三的教学中发现公式法也有特殊的利用法,可以使计算过程简单一些,下面我就针对实际问题来谈谈如何巧妙利用公式法。
实例1:某工厂第一季度生产机床400台,如果每季度比上一季度增长的百分数相同,结果第二季度与第三季度共生产了1056台机床,求这个百分数。
分析:这是一道增长率问题,等量关系是:第二季度产量+第三季度产量=1056。
解:设这个百分数为x,根据题意,得:
400(1+x)+400(1+x)2=1056
400[(1+x)+400(1+x)2]=1056
25(3x+x2+2)=66
25x2+75x-16=0
x2+3x-■=0
x=■=■
=■=■=■
即x1=■=■=■,x2=■=■=-■(舍去)
答:这个百分数为20%。
在上面这道题的解题过程中,我仍然利用的是求根公式,区别就在于将一次项系数尽可能减小,因为利用公式法时,我们都知道要计算出b2-4ac,在这里,b2-4ac=752+4×25×16=5741,不仅要花点时间,而且就算计算出来了,那么5741的算术平方根是多少呢?还需要去筛选一下,面对现在中考计算量较大的情况,哪有这么多的时间呢?而我这种方法不需要打草稿,完全可以口算出来,花的时间也较短。除了在增长率的问题中可以应用外,在其他问题中也可以适当应用,比如这一道。
实例2:有一间长20m,宽为15m的长方形会议室,在会议室的中间铺一块地毯,要求地毯面积是会议室面积的一半,四周未铺地毯的留空宽度相同,求留空的宽度。
■
分析:等量关系是:地毯面积= 会议室的面积。
解:设留空的宽度为xm,根据题意,得:
2(10-x)(15-2x)=10×15
(10-x)(15-2x)=5×15
(20-2x)(15-2x)=■×20×15
2x2-35x+75=0
■x2-7x+15=0
x=■=■
=■=■
即x1=■=■=15(舍去),x2=■=■
答:留空的宽度为2.5m。
此题和上一题差不多,在利用公式法计算b2-4ac时,出现b2-4ac=352-4×2×75这种较大的数字,计算的结果是1825,不仅要花点时间,且在求它的算术平方根时,还要费点功夫,所以我就直接减小b值,全部通过口算解决问题。当然,在减小b值时也可以除以7,或者直接除以35都可以的,关键在于如何能快速计算出b2-4ac的值,这还需要多练习练习,自己发现有何技巧。
按照我的方法,下面我们一起来做这两题,试一试:
1.某人购买了1000元债券,定期一年,到期兑换后他用去了440元,然后把剩下的钱又全部购买了这种债券,定期仍为一年,到期后他兑现得款624元。求这种债券的年利率。
解:设这种债券的年利率为x,根据题意,得:
[1000(1+x)-440](1+x)=624
(560+1000x)(1+x)=624
40(14+25x)(1+x)=624
5(14+25x)(1+x)=78
5(25x2+39x+14)=78
125x2+195x-8=0
25x2+39x-■=0
■x2+13x-■=0
x=■
=■=■
=■=■
即x1=■=■=■=4%,x2=■=■=-■(舍去)
答:这种债券的年利率为4%。
2.某科技公司研制成功一种产品,决定向银行贷款200万元资金用于生产这种产品,贷款的合同上约定两年到期时,一次性还本付息,利息为本金的8﹪。该产品投放市场后,由于产销对路,使公司在两年到期时除还清贷款的本息外,还盈余72万余。若该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数相同,试求这个百分数。
解:设这个百分数为x,根据题意,得:
200(1+x)2-200(1+8%)=72
200(1+2x+x2-1.08)=72
200(x2+2x-0.08)=72
100(x2+2x-0.08)=36
100x2+200x-8-36=0
100x2+200x-44=0
50x2+100x-22=0
25x2+50x-11=0
5x2+10x-■=0
x=■
=■=■
即x1=■=■=20%,x2=■=■(舍去)
答:这个百分数为20%。
不知道你们做对了吗?这些是我在最近教学时的一些体会和收获,在自己班上教给学生这些方法时,学生也觉得对自己的解方程有很大的帮助,希望我的这些方法对你们也有一定的帮助。当然其中也有一些不足之处,还请大家多提意见。
总之,针对2009年本省中考的最后一题需要大量计算能力和技巧,希望大家在平时多练习,多发现,从而熟能生巧。计算,是做对题目的关键!
(责编 张宇)