函数与方程的思想方法
函数与方程的思想方法
第一层次:解方程或不等式,主要是指解代数(一次、二次等)方程或不等式,
指数、对数方程或不等式,三角方程或不等式,复数方程等;
第二层次:对带参数的方程或不等式的讨论,常涉及二次方程的判别式、韦达
定理、区间根、区间上恒成立的不等式等问题;
第三层次:转化为方程的讨论,如曲线的位置关系(包括点与曲线及直线与曲
线的位置关系)、函数的性质、集合的关系等;
第四层次:构造方程或不等式求解问题。
其中第三、四层次(特别是第四层次)已经进入到方程、不等式观点应用的境
界,即把方程、不等式作为基本数学工具去解决各个学科中的问题。
纵观中学数学,可谓是以函数为中心,以函数为纲,“纲举目张”,抓住了函数
这个“纲”就带动起了中学数学的“目”。即使对函数极限、导数的研究,也完
全是以函数为对象、为中心的。熟练掌握基本初等函数的图像和性质,是应用函
数与方程思想解题的基础。善于根据题意构造、抽象出函数关系式是用函数思想
解题的关键。
经典例题:
一. 函数思想
所谓函数思想,不仅仅是使用函数的方法来研究和解决函数的问题,它的精髓是
运用函数分析问题、、解决问题的观点、方法,是通过构造函数关系,使用函数
方法来解决问题的思想。
1. 构造函数,运用函数的性质
例1. (1)已知关于x 的方程x 2-2cos x +a 2=0有唯一解,求a 的值;
(2)解不等式x (1+x 2+2) +(x +1)(1+(x +1) 2+2) >0。
分析:(1)构造函数f (x ) =x 2-2cos x +a 2,则问题转化为求f (x ) 的零点唯一时
的a 。
(2)由观察可构造函数f (x ) =x (1+x 2+2) 再利用函数的性质,解决问题。
解析:(1)令f (x ) =x 2-2cos x +a 2,x ∈R f (-x ) =f (x ), ∴f (x ) 是偶函数。
∴f (x ) 的图像关于y 轴对称,而题设方程f (x ) =0由唯一解,从而此解必为x =0
(否则必有另一解),∴f (0) =0-2+a 2=0, 解得a =±2。
(2)设f (x ) =x (1+x 2+2), x ∈R ,易证f (x ) 在区间[0, +∞)内为增函数。
f (-x ) =-x (1+x 2+2) =-f (x ). ∴f (x ) 是奇函数,从f 而(x ) 在区间(-∞,+∞)上为增函数,∴原不等式可化为f (x ) +f (x +1) >0, 即f (x +1) >-f (x ) =f (-x ), 即x +1>-x , ∴x >-1
2
2.选定主元,揭示函数关系
2x 2+ax +12(
围是
分析:从一个含有多变元的数学问题里,选定合适的主变元,从而揭示其中主要的函数关系。
2222解析; () x +ax +12x +a ,即333
a (x -1) +(x -1) 2>0。①
当x =1时,不定式①不成立。
当x ≠1时,设f (a ) =a (x -1) +(x -1) 2。
当x >1时,f (a ) 时[-1, 1]上的增函数,欲使f (a ) >0恒成立,则只需f (-1) >0, 即(x -1) 2+(x -1) >0, x -1>0, ∴x >2. 又当, x 0恒成立,则只需f (1) >0 即(x -1) 2+(x -1) >0, x
点评:本解的巧妙之处是“反客为主”,求x 反而以a 为主变元对x 进行讨论,这才是真正切中要害。若以x 为主元对a 进行讨论,则问题的解决就繁就难多了。
3.选取变元,确定函数关系
例3.函数y =x +-x 的值域是 。
分析:一般思路是:平方,移项,孤立根式,再平方,可以化无理式为有理式。面对这样一个低于四次的含双变量的方程,其难度真不敢想象。然而,可考虑转换选取新变元。
⎧x ≥0⎡π⎤解析:由⎨⇒0≤x ≤1,∴设x =sin 2θ, θ∈⎢0, ⎥,则1-x =cos 2θ, ⎣2⎦⎩1-x ≥0
ππ3π⎡π⎤π那么y =sin θ+cos θ=2sin(θ+). θ∈⎢0, ⎥, ∴≤θ+≤, 42444⎣⎦
当θ=0或π
24
点评:虽然经选取变元后的函数简洁明快,可以使人拍案叫绝,但须特别注意到:时, y min =1; 当θ=π时,y max =2. 于是函数的值域是1, 2 []
π⎡π⎤转化后的函数y =sin(x +) 在⎢0⎥上没有单调性,故最大值不能在其右端点取4⎣2⎦
得。
4. 利用二项式定理构造函数
k 1k -1k 0k 例4:求证:C m C n +C m C n + +C m C n =C m +n 。
分析:构造函数f (x ) =(1+x ) m (1+x ) n =(1+x ) m +n ,比较两个展开式中x k 的系数。
k k m +n x 解析:令f (x =(1+x ) m +n ,C m 展开式中的系数,又 是(1+x )+n
0122n m 01n n f (x ) =(1+x ) m (1+x ) n =(C m +C m x +C m x + +C m x )(C n +C n x + +C n x ), 其
0k 1k -1k 00k 1k -1k 0k 中x k 的系数为C m ,故C m =C m C n +C m C n + +C m C n C n +C m C n + +C m C n +n 。
点评:利用函数f (x ) =(ax +b ) n (n ∈N *) ,用赋值法或“二项”展开来比较系数可以解决许多二项式定理有关的问题。
5. 用函数的思想方法解数列题
11117++ +>log 2(a -1) +对一切大于1的自然数例5. 已知不定式n +1n +22n 1212
n 都成立,求实数a 的取值范围。 111+ +分析:+无法求和,常规数列的方法就不起作用了,故必须用函n n +22n
数的思想,用研究函数单调性的方法研究这个数列,求出最小值。 111+ +(n ∈N 且n ≥2), 当n ≥2时,有 解析:令f (n ) =+n n +22n
f (n +1) -f (n ) = =1111+-=>0, 2n +12n +2n +12(n +1)(2n +1)
7, 12所以f (n +1) >f (n ), ∴f (n ) 为增函数,且f (n ) min =f (2) =
由题意得717>log 2(a -1) +, ∴log 2(a -1) 点评:利用数列的函数性质(本例为单调性)求出f (n ) 的最小值。用函数方法解决问题,正是函数思想的核心。
6. 建立函数关系解应用题
例6. 用总长为14.8m 的钢条制成一个长方体容器的框架,要求底面的一边比另一边长0.5m ,那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积。
分析:这里有四个变量:底面的长、宽、长方体的体积和高。设长、高可用x 表示,容积y 是x 的函数。运用长方体的体积公式,建立目标函数表达式,再求函数的最大值。
解析:设容器底面宽为x(m),则长为x+0.5(m),高为14. 8-4x -4(x +0. 5) =3. 2-2x (m ). 4
由3. 2-2x >0和x >0得0
y =x (x +0. 5)(3. 2-2x )(0
y '=-6x 2+4. 4x +1. 6,令y '=0, 有-6x 2+4. 4x +1. 6=0, 即15x 2-11x -4=0, 解得x 1=1, x 2=-4(0,1. 6)内只有在(不合题意,舍去) 。从而,在定义域15
x =1处使y '=0。因此,当x =1时,y 取得最大值,y max =-2+2. 2+1. 6=1. 8这时,高为3. 2-2⨯1=1. 2(m ) 。
答:当容器的高为1.2m 时,容积最大,最大容积是1.8(m3) 。
点评:此题容易忽视的时自变量x 的取值范围,缺少它,很难判断求出的最大值是否符合题意。另外,适当设出自变量,建立函数关系是解此类题的关键。本题在求函数最大值时,是用求导的方法求出极值点,再根据实际情况判断是最大值还是最小值。
二. 方程的思想
方程与函数密切相关,在解题中,方程的思想占有重要的地位,也是近年来高考所重点考查的数学思想方法之一。
1. 解方程或分析方程的解
例7. 已知实数a , b , c 成等差数列,a +1, b +1, c +4成等比数列,且a +b +c =15. 求a , b , c 。
分析:利用数列的有关公式,列出方程组求解。
⎧a +b +c =15 1⎪解析:由题意得⎨a +c =2c 2由1、2两式,解得b =5,将c =10-a
⎪(a +1)(c +4) =(b +1) 2 3⎩
带入3式,整理得a 2-13a +22=0. 解得a =2, 或a =11.
故a =2, b =5, c =8, 或a =11, b =5, c =-1。经验算,上述两组数符合题意。 点评:本题的列方程组和求解的过程,体现的就是方程的思想。
2通过换元构成新的方程
例8. 关于x 的方程9x +(4+a ) 3x +4=0恒有解,求a 的取值范围。
分析:通过换元将方程变为二次方程恒有正根,同时利用根与系数的关系。 解析:(法一)设3x =t , 则t >0. 原方程有解即方程t 2+(4+a ) t +4=0有正根, ⎧∆≥0⎧(4+a ) 2-16≥0, ⎧a ≥0或a ≤-8, ⎪∴⎨∴⎨x 1+x 2=-(4+a ) >0即⎨, a 0, ⎩⎩12
解得a ≤-8.
(方法二)设f (t ) =t 2+(4+a ) t +4,
①当∆=0时,即(4+a ) 2-16=0, ∴a =0或a =-8.
a =0时, f (t ) =(t +2) 2=0, 得t =-2
∴a =-8 a =-8时, f (t ) =(t -2) 2=0, 得t =2>0, 符合题意。
②
∆>0, 即a 0时 f (0) =4, 故只需对称轴-4+a >0, 即a
综上可得,a ≤-8。
点评:对于多元方程(含参数)通常有两类办法:一是换元,将问题转化为二次方程,利用根与系数的关系或判别式,或者利用三角函数的有界性加以解决;二是分离变量构造函数,把方程有解转化为求函数的值域,再根据函数的图像和性质来解决。
3. 构造方程求解
例9. 设函数f (x ) =ax 2+bx +c (a >0) ,且存在m , n ∈R , 使得
[f (m ) -m ]2+[f (n ) -n ]2=0成立。
⑴若a =1, 当n -m >1且t
⑵若直线x =m 与x =n 分别与f (x ) 的图像交与M,N 两点,且M,N 两点的连线被直线3(a 2+1) x +(a 2+1) y +1=0平分,求出b 的最大值。
分析:对于⑴小题,由题设条件易得am 2+bm +c =m 和an 2+bn +c =n ,由方程根的意义可构造一个根为m , n 的一元二次方程,再借助韦达定理发现m 与对称轴的关系。最后运用二次函数的单调性可判断出f (t ) 与m 的大小;第⑵小题可先建立b 与a 的函数关系式,再运用均值不等式可求得b 的最大值。
解析:⑴由题意f (m ) =m , f (n ) =n ,
22⎧⎧⎪am +bm +c =m ⎪am +(b -1) m +c =0∴⎨2⇔⎨2 ⎪⎪⎩an +bn +c =n ⎩an +(b -1) n +c =0
∴m , n 是方程ax 2+(b -1) x +c =0的两根, 当a =1时, m +n =1-b , 而n -m >1
b b ∴-b >2m , ∴m
b t f (m ) =m . 2
⑵ M (m , m ), N (n , n ),
∴MN 的中点P 为(m +n m +n 1-b 1-b 1-b , ) 。, ∴MN 的中点P 为(, ) ,由m +n =代22a 2a 2a 入直线方程,得b =a 2a 2+2+1=1
2a +2
a +1(a >0) ≤15+1= 2⨯24
当且仅当a =1时, b max =5。 4
点评:若没有方程的思想意识,则不能从f (m ) =m , f (n ) =n , 中观察出m,n 1-b , 这样有用的a
关系式,使解答陷入困境。因此,由根的意义或韦达定理构造一元二次方程是最常见的思路,不可忽视。 是某一个一元二次方程的两根,从而也就无法得出m +n =
三. 函数与方程相互转化的思想
解题时,不能局限于函数思想或方程思想,而应该根据两者之间的相互关系,使其能相互转化,以达到快速解题之目的。
例10. 已知抛物线y =(m -1) x 2+(m -2) x -1(m ∈R )
⑴当m 为何值时,抛物线与x 轴有两个交点?
⑵若关于x 的方程(m -1) x 2+(m -2) x -1=0的两个不等实根的倒数平方和不大于2,求m 的取值范围;
⑶如果抛物线与x 轴相交于A,B 两点,与y 轴交于C 点,且∆ABC 的面积等于2,试确定m 的值。
分析:⑴令函数y =0,则转化为求方程有两个不等的实根时m 的值; ⑵利用根与系数的关系转化成解不等式;
⑶建立面积的函数关系式,再求函数值为2时方程的解。
解析:⑴令y =0, 则(m -1) x 2+(m -2) x -1=0, 据题意,须m ≠1, 且∆>0, 即(m -2) 2+4(m -1) >0, ⇒m 2>0, ∴m ≠1且m ≠0。 ⑵在m ≠0, 1的条件下,x 1+x 2=m -2111, x 1x 2, 得+=m -2, 1-m 1-m x 1x 2
∴
1x 12+1x 22=(m -2) 2+2(m -1) ≤2, 得m 2-2m ≤0, ∴0≤m ≤2.
所以m 的取值范围是{m |0