线段和最短问题教学设计
《线段和最短问题》教学设计
成都七中育才学校水井坊校区 林奎 教材分析
本课是源自于课本上一个经典例题——“将军饮马”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究,利用轴对称将线段和最小问题转化为 “两点之间,线段最短”(或“三角形两边之和大于第三边”)问题.主要是运用数形结合思想,涵盖轴对称和勾股定理、函数等知识综合运用;线段和最短问题也是成都中考的热点:2009年B填23题、2014年B卷28题、2015年A卷19题都考察了线段和最短问题。
教学目标:
1、了解“线段和最短问题”几种基本模型;
2、掌握解决“线段和最短问题”的模型特征以及解题的思想方法 3、能够运用“转化”的数学思想方法解决相关问题
教学重点和难点:
重点:线段和最短”问题的探索,“转化”和数学思想的渗透 难点:探索“线段和最短问题”的模型特征以及解题的思想方法
学情分析:
从学生知识点掌握情况看,初三学生已经学习过轴对称、勾股定理、函数、 四边形等内容,并且对基本的“线段和最短问题”有了一定的认识,但是初三学生的问题往往是“知其然,却不知其所以然”;其次从学习方法上,学生在平时的学习过程中不重视学习方法,不注意归纳总结,更不善于思考,只懂得机械的重复做题,导致的学习效果就是学习压力大,学习效率低下。
教学过程:
一、例题引入:
(成都2015)如图,一次函数y=-x+4的图象与反
比例y=
k
(k为常数,且k≠0)的图象交于A(1,a),B两点. x
(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标;
(2)在x轴上找一点P,使PA+PB的值最小,求满足条件的点P的坐标及∆PAB的面积.
二、拓展变式
变式一:
如图,在平面直角坐标系中,Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上.顶点B的
1
坐标为(3
,点C的坐标为(,0),点P为斜边OB上的一个动点,三
2
角形PAC周长最小值是多少?
变式二:
如图,在平面直角坐标系中,Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上.顶点B的
坐标
为(3
,设M、N分别是x和y轴上的动点,连接BM、BN、MN,则三
角形
BMN周长最小为多少?
变式三:
如图,在平面直角坐标系中,Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上.顶点B的
坐标
为(3
,D(3 ,3),M、N分别是x和y轴上的动点,则四边形BDNM
的周
长最小值为多少?
变式四:
如图,在平面直角坐标系中,Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上.顶点B的坐标为(3
,点P为斜边OB上的一个动点,C是线段OA上的动点,三角形PAC周长最小值是多少?
解题策略:通过引导学生对变式与例题的对比,发现二者相同点也是求线段和最
小问
题,猜想能否再次“利用对称、化折线为直线”的思想来解决变式,此时学生会
发现
第一次冲突:应该做哪一个点的对称点?由于A是定点,所以我们可以做A关
于OP
的对称点A’,连接A’C,根据例题此时的交点即为所求点,此时学生将发现第二
次冲
突:因为C是动点,那么交点也是动点,通过这次冲突,学生马上明白变式与例
题本
质不同在哪儿,变式通过“化折为直”后转化为“垂线段最短”来求解! 设计意图:让学生再次体会“转化”的数学思想方法!
三、课堂练习
1、如图,∠AOB=30°,点M、N分别是射线OA、OB上的动点,OP平分∠AOB,且OP=6,当△PMN的周长取最小值时为.
2、如图,在锐角△ABC中,AB=6,∠BAC=60°,∠BAC的平分线交BC于点D,点M,N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值为______
设计意图:检验本堂课所学线段和模型
3、如图,∠AOB=30°,点M、N分别在边OA、OB上,且OM=1,ON=3,点P、
Q分别在OB、OA上,则MP+PQ+QN的最小值是_________
设计意图:检验学生对于“对称,化折为直”这一“转化”思想
k
)k为常数,4.(成都2014年28题)如图,已知抛物线y=(x+2)(x-4(且k>0)
8与x轴从左至右依次交于A,B两点,与y轴交于点C,经过点B的直线
y=-
x+b与抛物线的另一交点为D. 3
(1)若点D的横坐标为-5,求抛物线的函数表达式; (2)在(1)的条件下,设F为线段BD上一点(不含端点),连接AF,一动点M从点A出发,沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止.当点F的坐标是多少时,点M在整个运动过程中用时最少?