弧长及扇形面积
弧长及扇形面积
高店中学 焦忠义
教学目标:
1.知识与技能:经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程;了解弧长计算公式及扇形面积计算公式,并会应用公式解决问题
2.过程与方法:经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程,培养学生的探索能力;了解弧长及扇形面积公式后,能用公式解决问题,训练学生的数学运用能力.
3.情感态度与价值观:经历探索弧长及扇形面积计算公式.让学生体验教学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性;通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题,让学生体验数学与人类生活的密切联系,激发学生学习数学的兴趣,提高他们的学习积极性,同时提高大家的运用能力.
教学重点:经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程;了解弧长及扇形面积计算公式;会用公式解决问题.
教学难点:探索弧长及扇形面积计算公式;用公式解决实际问题.
教学设计:
一、创设问题情境,引入新课
在小学我们已经学习过有关圆的周长和面积公式,弧是圆周的一部分,扇形是圆的—部分,那么弧长与扇形面积应怎样计算?它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢?本节课我们将进行探索.
二、新课讲解
1复习
(1).圆的周长如何计算?
(2).圆的面积如何计算? A
(3).圆的圆心角是多少度?
(若圆的半径为r,,则周长l2r,面积
) Sr2,圆的圆心角是360°.
2.探索弧长的计算公式
如右图,某传送带的一个转动轮的半径为lOcm.
(1)转动轮转一周,传送带上的物品A被传送多少厘米?
(2)转动轮转1°,传送带上的物品A被传送多少厘米?
(3)转动轮转n°,传送带上的物品A被传送多少厘米?
分析:转动轮转一周,传送带上的物品应被传送一个圆的周长;因为圆的周长对应360°的圆心角,所以转动轮转l°,传送带上的物品A被传送圆周长的1;转动轮转n°,360
传送带上的物品A被传送转l°时传送距离的n倍.
解:(1)转动轮转一周,传送带上的物品A被传送2×lO=20cm;
20cm; (2)转动轮转1°,传送带上的物品A被传送36018
(3)转动轮转n。,传送带上的物品A被传送n20ncm. 36018
根据上面的计算,你能猜想出在半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长的计算公式吗?请大家互相交流.
根据刚才的讨论可知,360°的圆心角对应圆周长2R,那么1°的圆心角对应的弧长2RR为,n°的圆心角对应的弧长应为1°的圆心角对应的弧长的n倍,即360180
nR
180nR. 180
在半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长的计算公式为:l
下面我们看弧长公式的运用.
3.例题讲解
例1:制作弯形管道时,需要先按中心线计算“展
直长度”再下料。试计算下图中管道的展直长度,
即AB的长(结果精确到O.1mm) .
分析:要求管道的展直长度,即求AB的长,根据弧长公式lnR. 180AB11040mnR可求得AB的长,其中n为圆心角,R为半径, 180
n110R4076.8mm 180180 解:R=40 mm,n=110. ∴AB的长=
因此,管道的展直长度约为76.8mm.
三、探索研究
1.想一想
在一块空旷的草地上有一根柱子,柱子上拴着一条长3m的绳子,绳子的另一端拴着一只狗.
(1)这只狗的最大活动区域有多大?
(2)如果这只狗只能绕柱子转过n°角,那么它的最大活动区域有多大?
(1)如图(1),这只狗的最大活动区域是圆的面积,即9.
(2)如图(2),狗的活动区域是扇形。扇形是圆的一部分, 360°的圆心角对应的圆面积,l°的圆心角对应圆面积的11,即×9=,n°的圆心角对应的圆面积为 36036040
n×n=.4040
R2n 如果圆的半径为R,则圆的面积为R,l°的圆心角对应的扇形面积为,°的圆3602
nR2nR2
心角对应的扇形面积为n.因此扇形面积的计算公式为S扇形 360360360其中R为扇形的半径,n为圆心角.
2.弧长与扇形面积的关系
我们探讨了弧长和扇形面积的公式。在半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长的计2nRnR算公式为l,n°的圆心角的扇形面积公式为S扇形,在这两个公式中,弧180360R2
长和扇形面积都和圆心角n.半径R有关系,因此l和S之间也有一定的关系,你能猜得出吗?请大家互相交流.
2nRnR ∵l,S扇形 180360
n1nR2RR 3602180
1 ∴S扇形lR 2 ∴
3.扇形面积的应用
例2:扇形AOB的半径为l2cm,∠AOB=120°,求AB的长(结果精确到O.1cm)和扇形A0B的面积(结果精确到O.1cm2) .
分析:要求弧长和扇形面积,根据公式需要知道半径R和圆心角n即可,本题中这些条件已经告诉了,因此这个问题就解决了
1201225.1cm. 解:AB的长=180
S扇形=120122150.7cm2. 360
因此,AB的长约为25.1cm,扇形AOB的面积约为150.7cm2.
4.随堂练习:
四、课时小结
本节课学习了如下内容:
1.探索弧长的计算公式lnR,并运用公式进行计算; 180
2.探索扇形的面积公式S扇形nR2,并运用公式进行计算; 360
3.探索弧长及扇形的面积之间的关系,并能已知一方求另一方。
五、课后作业
1.复习本课的内容;
2.课本P142习题 1、2、3
六、活动与探究
如图,两个同心圆被两条半径截得的AB的长为6cm,CD的长为10cm,又AC=12cm,求阴影部分ABDC的面积.
分析:要求阴影部分的面积,需求扇形COD的面积与扇形AOB的面积之差.根据扇形面积S扇形1lR,l已知,则需要求两个半径0C与OA,因为OC=OA+AC,AC已知,所以只要2
能求出OA即可.
解:设OA=R,0C=R十12,∠O=n°,根据已知条件有: n6R180 n10(R12)180
(1)3R得 (2)5R12
∴3(R+12)=5R
∴R=18
∴OC=18+12=30
∴S=S扇形CODS扇形AOB(1) C(2)OBD11103061896cm2 22
所以阴影部分的面积为96cm2.