突变理论及其应用_丁庆华

突变理论及其应用

丁庆华

（哈尔滨工程大学，黑龙江哈尔滨150001）

摘

要：阐述了突变理论的概念、演变过程、基本原理以及初等突变理论的基本突变类型，介绍了尖点突变模型及相关性质。对前人在突变理论

应用研究成果进行总结，分析其中不足之处，并展望应用前景。

关键词：突变理论；尖点突变模型；微分方程；质变量变和质变，是存在于自然界一切变化和发展过程中的普遍规律，是辩证法的基本规律之一。对这一到处可见的现象，过去却缺乏一种适当的数学工具来描述。三百年来，建立数学模型一个最

像力学、常用方法是牛顿和莱布尼创立的微积分。

电磁学、相对论等重要定理都是用微分方程表述的。但是，微分方程存在着内在的限制：它只能描

可微的现象。但是世界上经常发生突绘连续变化、

然的变化和发散现象，如量变积累到一定程度，就会发生质变的飞跃，都属于不可微函数。这迫使人们进一步研究描述突变现象的数学理论，突变理论由此产生。

1突变理论的产生

突变理论的数学渊源是常微分方程三要素：

动态稳定性和临界集。1930年出现的结构稳定性、

Morse引理成为突变理论的重要数学基础，1955年，美国数学家Whitney在《曲面到平面的映射》中阐释了光滑映射的奇异性现象，1972年，法国科学家托姆（R.Thom）在前人的基础上发表了《结构

，明确地阐明突变理论，宣稳定性和形态形成学》

告突变理论的诞生。

突变理论提供了一种研究跃迁、不连续性和突然质变的普通适应的方法，引起国际学术界的广泛关注。数学家齐曼（E.C.Zeeman）、阿诺尔德（V.

）等人丰富并完善了突变理论，使突变理论I.Arnold

从理论到实际应用方面的研究有了全面的进展，有关突变理论的文献也与日俱增。

2突变理论

2.1突变理论基本原理。所谓突变是指在系统演化过程中，某些变量的连续逐渐变化最终导致系统状态的突然变化，即从一种稳定的状态跃到另外一种稳定的状态。

突变理论的数学方法有着不同于牛顿古典数学分析方法：

（1）它建立在集合、拓扑、群论与流形等现代数学基础之上，内含随机与现代系统论的基质。（2）它着重研究连续作用导致系统不连续突变的现象，直接处理不连续突变而不涉及特殊的内在机制，特别适用那些内部结构尚未清楚的系统。（3）不必事先知道被描述系统状态变量遵循的微分方程，可以预测系统许多定性特征。

2.2突变理论基本概念。使用和研究突变理论，必须了解势、奇点、吸引子这几个概念。

（1）势。在热力学系统中，势是自由能，由系统演化的方向决定；在力学系统中，势是相对保守的位置能；在社会领域，势是系统采取某种趋向的

势由系统各个组成部分的相对关系、相互作能力。

用及系统与环境的相对关系决定，因此系统势可以通过系统的状态变量和外部控制参量描述系统

一般地说，被研究对象的状态与控制空间的行为。

在数学上是高维状态的超曲面Rn+m，其中n为控制

m为状态变量。（2）奇点。在突变论中，把某一变量，

平滑函数的位势导数为零的点叫做定态点。定态

有3点在不同的条件下有不同的分类，当n=1时，

种类型：极大点、极小点和拐点。特别是在某些定态点附近，连续变化能够引起不连续的结果，此时将退化的定态点称为奇点。（3）吸引子。吸引子是系统趋向的一个极限状态。该极限状态可以是封闭迹线，也可以是更为复杂的图形。这些极限点的连通集被称为系统的一个吸引子。如果系统有多个互不相交的吸引子，那么它们将处于相互竞争的状态，有可能破坏分解为多个吸引子，从而走向分叉。

2.3基本突变形态。突变理论是通过研究对象的势函数来研究突变现象的。系统势函数通过系

x2，…，xm}和外部控制参量U=统状态变量X={x1，

u2，…，un}来描述系统的行为，即V=f（U，X）。这{u1，

样，在各种可能变化的外部控制参量和内部行为变量的集合条件下，构造状态空间和控制空间。通

（x）和V"（x），得到系统平衡状态的过联立求解V'

临界点，突变理论正是通过研究临界点之间的相互转换来研究系统的突变特征。

Thom证明，在不超过四个控制因素时，只有七种初等突变形态（表1）。这个数学证明是相当难的，但掌握证明的结论却比较容易。初等突变本身是可以理解的，并且可以不管其证明而直接应用

事实上，大部分问题中最常使到一些科学问题中。

用的，也仅是七种初等突变形态中的二三种。

表1七种初等突变形态及其势函数

Hugonioc点突变，是最常用的突变模型，其势函数

42

V（x）=x+ux+vx为：

相空间由1个状态变量及2个控制变量构成的三维空间。

平衡曲面由V'（x）=4x3+2ux+v=0决定，称为突

2

把它与V"（x）=12x+2u=0联立消去x，即变流形M，

32

可得到分叉集B：B=8u+27v=0

尖点突变的突变流形M和分叉集B形

分叉态见图1，

集B就是突变流形M在u-v平面上的投影。由图可见，突变流形的上、中、下叶分别表示了系统可能的

3个平衡位置：图1尖点突变的一般形态

上下两叶是稳定的，中叶是不稳定的。在从上叶到下叶或从下叶到上叶的转换中，如果跨越了折叠线系统状态发生突跳。

其他突变模型也具有和尖点突变模型类似的特性，只是在空间维度表示上不同，不一一列举。

3突变理论的应用经过几十年的发展，特别是最近十年来，突变理论及其应用的研究得到了蓬勃发展，并迅速成为研究领域的重要热点，下面举例说明。

在非线性动力学系统上，Mehra提出分叉分

），已经成功应用于飞机析与突变理论法（BACTM

控制上，解决机翼摇晃预测与抑制问题；在光学上，Berry运用突变理论求解焦散面找到了自然界中可能出现的全部焦散面；在交通运输事故中，突变模型明显优于其他模型，应用突变理论能很好回答车流量、路面车辆占有率与车辆运行速度三

2.4突变模型的基本特征。研究突变模型，需者之间的关系，为高速公路的运行管理提供了科要了解它的几个基本特征。学依据；在岩土力学中，针对矿层底板突水，矿道

（1）多模态。系统在同一控制参数作用下，出失稳，减少建立尖点突变预测模型，给处理险情、现两个或多个不同可能的状态，即系统的位势对开采事故，提供了理论依据；在控制系统中，孙尧

（2）不教授提出了突变控制理论，当系统发生某种类型于控制参数的某些范围可能有多个极小值。

就应用该突变势函数，调整某些参数，抑制可达性。意味系统有不稳定的平衡位置，这些位置突变，

（3）突跳。这是最常观察到突变或控制突变发展方向。甚至在一些一直缺乏是不可微的，稍瞬即逝。

的也是最容易让人联想到突变理论的特征，控制合适数学工具的医学、生物学、社会科学领域，突参量有微小的变化就会引起状态变量巨大的变变理论也能提供很有启发性的应用。

然而，作为一种相当年轻的理论模型和方法，化，从而导致系统从一个局部极小点突变到另一

局部极小的点。（4）发散。对于连续平滑的变化，控突变理论在应用中还有许多问题亟待解决，主要

（1）根据突变理论提出的大多数制参数微小的扰动仅引起状态变量的微小增量。是以下几个方面：

但在退化点邻域内，参量的微小变化将导致状态模型都是定性模型，尽管能对现象本身有合理解变量很大的变化，这种不稳定性称为发散。（5）滞释，但还缺乏很好的验证。（2）难以确定临界区域

物理过程并非严格可逆，平衡曲面两状态间的边界。（3）选择好控制变量和系统的状态变量是能后。

转换和逆转换时控制参数变化路径不同。否成功运用该模型的关键，对此显得相当多的时

（下转23页）2.5尖点突变模型。尖点突变又称Riena-候难以确定。

生金及熟金的鉴定

崔英奎

（齐齐哈尔市产品质量监督检验所，黑龙江齐齐哈尔161000）

摘要：针对金的分类及特点进行说明，并对生金和熟金的鉴定进行分析论述。

关键词：金；分类；生金；熟金；鉴定

1金的种类

金按我国传统习惯和目前制定的标准可分两大种六小类，即生金（砂金、岩金），熟金（清色金、K金、足金、千足金）。

1.1生金

凡由矿山或江河里开采出来、未经熔化提炼加工的都可称为生金，又可分为砂金与岩金两小类。

1.1.1砂金：产于冲积层地质带。露出地表或藏于江河、砂砾之下的金。这种金体积有大有小，形如瓜子。成色一般在85%~88%之间。俗称“瓜子金”。还有体积较大、重量几公斤至几十公斤、形如狗头状的金，俗称“狗头金”。

1.1.2岩金：即原生金矿，矿床类型可分多金属硫化矿含金石英脉；黄铁矿含金石英脉；含黄铁矿的细晶岩与花岗岩金砂床等。

1.2熟金

生金经熔炼后成为的金，用熟金可制成金条、金绽、金箔、金币、金器及各种金饰品。按其

K金、足金、千足金。纯度的不同可分清色金、

1.2.1清色金：在金中只含白银，不论其纯

特点：质地柔软，随含度高低，都可称为清色金。

银量的多少呈现不同颜色，一般金纯度在95%左右的颜色，显赤黄色；在80%的颜色，显正黄

显青黄色；在50%的颜色，色；在70%的颜色，

显黄白略带灰色。俗称“七青、八黄、九五赤”。而金纯度在99%~99.9%的金颜色，显赤橙黄色。

1.2.2K金：指由黄金、铜、银、锌等金属混合

每K金的金含量约4.16%。按国际而成的合金。

上流行的K金标准配方。常见的产品有22K、18K、14K、10K及9K。其颜色可分红、橙、黄、绿、蓝、白等六大类。如白色18K就是K金的一种。表面颜色上看酷似铂金或钯金，实际上只因配方不同颜色呈白色，实际黄金含量只占75%。没有铂金和钯金的成分。如18KP、18KGP表示镀金产品，18KF表示包金产品，而目前国

KF字内市场上各种首饰品上如发现标有GP、

样的大多均为仿金品，没有分毫金含量。提醒广大消费者切记，谨防上当受骗。

1.2.3足金：指金千分含量不小于990百分含量不小于99的金首饰。足金首饰标识为“足

、“990金”“G990”、、“Au990”。金”

1.2.4千足金：指金千分含量不小于999百分含量不少于99.9的金首饰。千足金标识为“千足金”“999金”、“G999”、“Au999”、。

2生金的鉴定2.1砂金的鉴定

2.1.1簸金。将砂金倒到小簸箕内，轻轻簸动砂金，杂质落于纸上，经反复操作，直至簸净为止。较大的砂金一定要剪开查看是否有杂质夹在中间。

2.1.2清除其它金属物。如清除铁砂：首先用一张薄纸包在磁铁上，然后在砂金中反复转动，直至铁渣被吸净，此外还需要清除铜渣：在砂金中混入洞渣的现象比较普遍。检验前首先在砂金中点上适量硝酸，如果出现绿色烟雾或“砂金”变绿，即可证明在砂金中混入了一定量的铜。此时必须全部熔化砂金，再对砂金成色进行检验。除此之外，用银或铜镀金仿造砂金的现象也比较普遍，这种伪造的砂金体积较大，拿在手中轻飘，色泽乌暗，无光泽，根据黄金不溶于硝酸而银和铜溶于硝酸的特性，将银、铜溶掉，然后再进行砂金纯度的检验。

2.2岩金的鉴定

自然界中的岩金藏于石英共同夹在岩石缝中，开采后，应将矿砂进行过筛，精选后进行冶炼，制成试片，再进行纯度的鉴定。

3熟金的鉴定

3.1伪造与仿造黄金的鉴定

由于黄金制品价值较昂贵并有一定的保值作用，消费者争相购买并收藏，历来伪造者仿造者较多，常见伪制品和仿制品有以下几种:

常见条、宝、锭等铸造金。3.1.1熔化不匀，

有两种情况：一是在熔化时用火不足，高、低成色未完全熔合均匀，即铸锭成形，各角和周边成色不一，仔细观察表皮色泽略有不同；二是将高色金熔化后，再把预先铸好的低色金块放在高色金液内使其凝固，即将低色金包入高色金内，表皮不易察觉，周边也没有不匀的现象，只有剖开才能发现。

3.1.2烧浓金:用盐二成，红土八成混合后盛

宝、锭、镯在罐内，然后将70%左右成色的条、

等金制品置于其中加火烧（不使其熔化）约2小时，即可将金的外皮成色提高到95%左右。而基本成色仍然是70%。肉眼观察烧皮金的表皮发乌不光润，体质轻飘，用黄金成色分析仪检验结果异常。在日常鉴定工作中，应根据检验条件和实际经验认真分析不能掉以轻心。

3.1.3灌水银。将高成色的金条、金宝、金锭从侧面钻孔注入水银，然后将口用金补住，用锤击平，其特征仔细观察有痕迹，重量销轻，通过比重法即可验出产品的真伪。

3.1.4接焊和镶头：接焊，是将数段高色金和低色金或银、间隔地接焊在一起，然后外皮镀

比重轻。金。手感粗糙，

3.1.5稀金制品。稀金是一种以铜作原料，掺入稀土等元素制成的合金，外观呈近似14-耐磨性及硬度强于黄金，22K金的色泽和颜色。

并不褪色不氧化。

3.1.6亚金（牙金），是一种以锌和铜为主要原料，按各种金属比例冶炼而成的合金。常用于镶牙和制作其它各种饰品，是一种混淆真金的材料。

3.1.7钛金，是一种金属元素。化学符号Ti，有较强的耐腐蚀性，铜、铁、铝等饰品镀钛与真金十分酷似。

虽然稀金、亚金、钛金肉眼观察与黄金十分接近。但是使用硝酸点在这些金属表层再加上食盐，该金属便会经过化学反应被轻易的腐蚀掉。用X光光谱检验法也可进行精确的检验。

3.2包金、贴金、镀金的鉴定3.2.1包金，以饰品为多，器皿较少，指在产品外包上金叶的工艺。常见的有头簪、戒指、耳环、手镯等。应在饰品上取样，然后再进行检验。

3.2.2贴金，指在产品外粘贴极薄的金叶的工艺，多见大型工艺品、人物塑像等。应在饰品上取样，然后再进行检验。

3.2.3镀金。火镀，将镀件涤上汞金合物，经火烤，除去汞金便留于镀件上，这种工艺又称水银镀。上金量大，根据需要可多涂多镀，电镀，即用电解法将金镀在饰品上，这种工艺镀层均匀。外观平滑光亮。此外包金、贴金用肉眼观察很容易发现其生产工艺的特征，镀金由于镀层薄，用X射线荧光光谱法检验即可验出金的纯度。

3.3焊药量及化学法的鉴定3.3.1焊药量的鉴定：金饰品的接口均有金焊药，如金链、镶嵌戒指、手镯等，黄金焊药一般“红焊”、“黄焊”、根据不同情况使用，红焊成分

分是黄金、白银、红铜；黄焊成分是黄金、白银、黄铜。金含量在60%和30%的多见。

3.3.2黄金的化学法鉴定：仲裁检验委托人对无损检验方法提出异议，要求化学法检验，检验部门应依据国家标准对饰品进行化学方法检验，具体环节应注意以下两个方面：

（1）钻屑取样，这种方法适用于金属与杂质

用钻孔的方法，可以钻分布比较均匀的成品金。

取成品金任何部位表面及深部的试样，布点取样方法可分方格布点法，对角线布点法、同心圆布点法等多种科学方法。

（2）溶液状态取样，此法适用于打制时成色不均匀的金，将试样放入坩埚溶化，刚出埚时取样一份，倒出一半时取样一份，最后倒净时取样一份，三次取样混入一起再进行化验，就可获得比较精确的化验结果。

责任编辑：成玉玲

就目前状态说，突变理论在

各领域的成功应用已被公认。可以预料，随着突变理论方法的完善和普及，它的应用领域也在不断地扩大和深入，应用前景是十分广阔和无限美好的。

参考文献

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[1]凌复华.突变理论及其应用[M].上海：上海交通大

1987.学出版社，

[2][英]桑博德，凌复华译.突变理论入门[M].上海：上海科学技术文献出版社，1989.[3]周燕华.突变理论[M].北京：高等教育出版社，1990.

责任编辑：成玉玲