Lebesgue控制收敛定理在数学分析中的应用
Lebesgue 控制收敛定理在数学分析中的应用
卢江龙 指导教师:王汝军
(河西学院数学与应用数学专业085班13号,甘肃张掖734000)
摘要:本文利用Lebesgue 控制收敛定理和概率统计的有关知识以及由Lebesgue 控制收敛定理得到的新的逐项积分定理,解决了数学分析中的一些难以解决的问题。众所周知,Riemann 积分(下面称为(R )积分,并记为(R )
⎰
b
a
f (x ) dx )中函数项级数的逐项积分定理
需要很强的级数一致收敛的条件,且级数的每一项都要连续(见注解[5]引文,定理13.12)。使用起来非常不便,且应用面较窄,本文借助于Lebesgue 积分(下面称为(L )积分,记为
(L ) ⎰f (x ) dx )得到了新的在(R )积分中能接受的,应用面更广泛的逐项积分定理,从而
a
b
解决了数学分析中的一些问题。
关键词 : Lebesgue 控制收敛定理;Riemann 积分;极限;大数定律:Lebesgue 积分
Lebesgue dominated convergence theorem in mathematical analysis
LuJianglong Supervisor: Wang Rujun
(Hexi University, of Mathematics and Applied Mathematics 085 class on the 13th, Gansu Zhangye 734000)
Abstract: using the Lebesgue convergence theorem and the knowledge about the probability and statistics and the convergence theorem of Lebesgue integral theorem, a new item to solve some of the mathematical analysis to solve the problem. As is known to all, Riemann integral (below (R) called for the integration, and remember) function series of core-staff integral theorem is unanimous convergent series, and the conditions of each to continuous (see comments [5] 13.12), theorem. Use up very inconvenient, and application of narrow Lebesgue integral, the paper by the called (L) points, a new record for) in (R) can accept, more extensive application of the item, which solved the integral theorem and some problems of mathematical analysis.
Keywords: Lebesgue dominated convergence theorem; Riemann integral; limit; Law of Large Numbers: Lebesgue integral
1.引言
众所周知,Riemann 积分(下面称为(R )积分,并记为(R ) ⎰f (x ) dx )中函数项
a b
级数的逐项积分定理需要很强的级数一致收敛的条件,且级数的每一项都要连续(见注解[5]引文,定理13.12)。使用起来非常不便,且应用面较窄,本文借
助于Lebesgue 积分(下面称为(L )积分,记为(L ) ⎰f (x ) dx )得到了新的在(R )
a
b
积分中能接受的,应用面更广泛的逐项积分定理,从而解决了数学分析中的一些问题。下面先看Lebesgue 控制收敛定理。 2.定理
定理1[2](Lebesgue 控制收敛定理)设 (1){f n }是可测集E 上的可测函数列;
(2){f n (x ) }≤F (x ) a.e. 于E ,n =1,2, ,且F (x ) 在E 上可积分(称{f n }为F (x ) 所控制,而F (x ) 叫控制函数); (3)f n (x ) ⇒f (x )
则f (x ) 在E 上可积分且lim ⎰f n (x ) dx =⎰f (x ) dx
n
E
E
证明从略。
借助定理1可以得到新的在(R )积分中能接受的,应用面更广泛的逐项积分定理,并极大的削弱了定理的条件,下面先给出一个引理。
引理1[1]如果非负无界函数f (x ) 在[a , b ]上的(R )广义积分收敛,则f (x ) 在[a , b ]上必(L )可积且积分值相等,即(R ) ⎰f (x ) dx =(L ) ⎰f (x ) dx
a
a
b
b
定理2若
∑u (x ) =u (x ) , x ∈[a , b ],且每一个u (x ) 及u (x ) 都在[a , b ]上(R )可积,又存在
n
∞
n
n =1
非负函数列{g n (x ) },使得
u n (x ) ≤g n (x ), n =1,2, ,x ∈[a , b ]且∑g n (x ) =g (x ), x ∈[a , b ]又g (x ) 在[a , b ]上的
n =1
∞
(R )或广义积分收敛,则(R ) ⎰u (x ) dx =(R ) ⎰
a
n
n
b
b ∞
a
∑u n (x ) dx =∑(R ) ⎰u n (x ) dx (1)
n =1
n =1
a
∞
b
证:记s n (x ) =∑u i (x ) ,则s n (x ) ≤∑g i (x ) ≤g (x ) ,且lim s n (x ) =u (x ) ,又由引理
i =1
i =1
n →∞
及文[3]中的定理4.2知s n (x ) ,n =1,2, ,g (x ) ,u (x ) 在[a , b ]上(L )可积。再由定理1(Lebesgue 控制收敛定理)知
b
b
(R ) ⎰u (x ) dx =(L ) ⎰u (x ) dx
a
a
=lim(L ) ⎰s n (x ) dx
n →∞
a
b
=lim ∑(L ) ⎰u i (x ) dx
n →∞
i =1
a
n
b
=∑(L ) ⎰u i (x ) dx
i =1∞
a
∞
b
=∑(R ) ⎰u n (x ) dx
n =1
a
b
定理3若[a , b ]上非负函数列{u n (x ) }满足∑u n (x ) =u (x ) ,x ∈[a , b ],且每一个
n =1
∞
u n (x ) 及u (x ) 都在u (x ) 上(R )可积或(R )广义积分收敛,则(1)式也成立。 证:只要在定理2的证明中取g n (x ) =u n (x ) ,n =1,2, ,g (x ) =u (x ) 即可得证。 引理2设{ξn , n ≥1}是独立同分布随机变量序列,服从[0,1]上的均匀分布,而f 是
R 上的实值连续且周期为1的周期函数,则对任意的x ∈R ,有
11n P
f (x +ξ) −−→f (u ) du ∑i ⎰0n i =1
证:由条件:随机变量序列{ξn , n ≥1}独立同分布于U [0,1],知
E (f (x +ξi )) =⎰f (x +y ) dy =⎰f (x +y ) d (x +y ) =⎰f (u ) du ,(i =1,2, , n )
11n P
由辛钦大叔定律得∑f (x +ξi ) −−→⎰f (u ) du
0n i =1
111
说明:由证明过程可知,当x =0,f 是[0,1]上的连续函数,结论亦成立。 定理4设f 与g 都是[0,1]上的实值连续函数,又对某个常数c >0,有不等式
0≤f (x ) <cg (x ) 成立,则有
lim ⎰ ⎰
n →∞0
1
i =1
0n
1
∑f (x )
i
n
∑g (x )
i
i =1
1 dx n
⎰=⎰
1
010
f (x ) dx g (x ) dx
证:
考虑独立同分布随机变量序列{ξn , n ≥1},且ξn ~[0,1],
1n 1n
ηn =∑f (ξi ) ,ζn =∑g (ξi ) ,n =1,2,
n i =1n i =1
因f 与g 都是[0,1]上的实值连续函数,由引理2,有
P P
ηn −−→⎰f (x ) dx ,ζn −−→⎰g (x ) dx
1
1
从而序列{ηn n , n ≥1}依概率收敛(证明参阅[4]),且
ηn n
⎰−−→
⎰
P
1
010
f (x ) dx g (x ) dx
又因0≤f (x ) <cg (x ) ,即0≤
f (x )
<c ,0≤ηn n <c , g (x )
由Lebesgue 控制收敛定理,得
⎡1f (x ) dx ⎤⎰⎥=E (ηn n ) →E ⎢01
⎢g (x ) dx ⎥⎢⎥⎣⎰0⎦
⎰
⎰
1
010
f (x ) dx g (x ) dx
(n →∞) 。
故 lim ⎰ ⎰
n →∞0
1
i =10n
1
∑f (x )
i
n
∑g (x )
i
i =1
dx 1 dx n =lim E (ηn ζn
n →∞
) =⎰
1
010
f (x ) dx g (x ) dx
3.相关应用
1x p
例1求(R ) ⎰㏑dx (p >-1).
01-x x
1
p
1x 1x p
解:当p ≤0时,(R ) ⎰㏑dx =(R ) ⎰(-㏑x )dx 为(R )广义积分(瑕
01-x 0x 1-x
1
点x =0)
x p
x 取0<p 1<1,且-1<-p 1<p . 则lim (-㏑x )dx =0,由文[5]Th10.23x →0+1-x
p 1
11∞n +p -1x p x p
) 10, (的推论2知(R ) ⎰㏑dx 收敛。又㏑=∑x (-㏑x ),x ∈
01-x x n =1x 1-x
1
,(x
=0,1处的函数值可补充定义让其相等,不影响积分),且u n (x ) =x n +p -1(-㏑x )
非负,并在[0,1]上(R )可积(n ≥2),或(R )广义积分收敛(n =1),故由定理3可得
1x p
(R ) ⎰㏑dx
01-x x
1
=∑(R )⎰x n +p -1(-㏑x )dx
n =1∞
∞
1
=∑(R )⎰
n =1∞
1
(-㏑x )d (x n +p ) 0n +P
1
=∑
n =1∞
n +p -11x x n +p 1
dx ] [-㏑x |0+(R )⎰0n +P n +P
=∑=∑
∞
1n +p 1
|x 0 2
n =1(n +p )
1
2
(n +p ) n =1
此广义积分在数学分析基础上是很难求解的,它不满足数学分析中逐项积分定理的条件。因为∑x n +p -1(-㏑x )在(0,1)上不是一致收敛的。
n =1∞
π
2
n →∞0
π
例2证明lim ⎰ ⎰2() n
02证:做变换y =
π
π
π
sin x 1+ +sin x n 8
dx 1 dx n =
x 1+ x n π
2
π
x ,x ∈(0,
π
2
],则x =
π
2
y ,y ∈(0,
π
2
]。
于是⎰2 ⎰2() n
002
n
π
sin x 1+ +sin x n
dx 1 dx n
x 1+ x n
=⎰ ⎰
11
∑sin 2y
i =1
π
i
∑2y
i =1
n
π
1 dy n
i
考虑独立同分布随机变量序列{ξn , n ≥1},且ξn ~u (0,1], 令
1n π1n πηn =∑sin ξi ,ζn =∑ξi
n i =12n i =12
因为f (y ) =sin
π
2
y ,g (y ) =
P
1
π
2
y 是(0,1]上的连续函数,由引理1,得
ηn −−→⎰sin
π
2
yd y =-
2
π
cos ︱=
π
20
2
π
ζn −−→⎰
P
1
π
2
yd y =
π
4
从而序列{ηn n , n ≥1}依概率收敛,且
ηn n −−→
P
⎰
1
sin
1
π
yd y
yd y
2ππ
又当y ∈(0,1]时,0<sin y <y ,则0<ηn n <1由Lebesgue 控制收敛
22
定理,
⎡1π⎤sin yd y ⎥⎢⎰0
得E (ηn n ) →E ⎢⎥ 1⎢⎰yd y ⎥⎣02⎦
⎰
=
⎰
π
1
sin
1
π
yd y
⎰
π
2
n →∞0
2
=
2π
4
yd y
π
=
8 2π
故lim ⎰ ⎰2() n
02
π
sin x 1+ +sin x n
dx 1 dx n
x 1+ x n
1n π
y i ∑1n i =12
=lim ⎰ ⎰
n →∞0
1
∑2y
i =1
n
π
1 dy n
i
=lim E (ηn n )
n →∞
=
⎰
1
sin
1
π
yd y
⎰
=
2
yd y
8
π2
4小结:从上面可以看到由Lebesgue 控制收敛定理及其它一些数学知识,可以
使数学分析中的一些难以解决的问题得以解决,可见Lebesgue 控制收敛定理在数学分析中还是有用的!
致谢:在这篇论文的完成过程中得到了王汝军教师的细心指导!在此特别提出感谢!
参考文献
[1] [2] [3] [4] [5]
任哲. 关于(R )积分的极限定理的注记. 工科数学,1995,11(1):71-72 程其襄等. 实变函数与泛函分析基础[M ]. 高等教育出版社,2003,12. 郑维行等. 实变函数与泛函分析概要[M ]. 北京:人民教育出版社,1980 严士健等. 概率论与数理统计[M ]. 北京:北京师范大学,1998. 华东师大. 数学分析(第二版)[M ]. 北京:高等教育出版社,1991