在平面直角坐标系中
1、如图1,在平面直角坐标系中,
已知点A(0点B在x正半轴上,且∠ABO30.动,点P在线段AB上从点A向点B
t秒.在x轴上取两点M,N作等边△PMN. (1)求直线AB的解析式;
(2)求等边△PMN的边长(用t的代数式表示),并求出当等边△PMN的顶点M运动到与原点O重合时t的值; (3)如果取OB的中点D,以OD为边在Rt△AOB内部作如图2所示的矩形ODCE,点C在线段AB上.设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S,请求出当0≤t≤2秒时S与t的函数关系式,并求出S的最大值.
(10分)(1) y=-
33
(图1)
x+43 (2分)
(图2)
(2) PM=8-t t=2 (3分) (3)①当0≤t≤1时,见图2. 设PN交EC于点H,
重叠部分为直角梯形EONG, 作GHOB于H.
GNH60,GH HN2,
(图2)
PM8t, BM162t,
OB12, ON(8t)(162t12)4t, OHONHN4t22tEG,
1
S(2t4t)
2
S随t的增大而增大, 当t
1时,S最大.(2分)
②当1t2时,见图3.
设PM交EC于点I,交EO于点F,PN交EC于点G,重叠部分为五边形OFIGN.
作GHOB于H
,FO,
EF), EI2t2,
(图3)
SS梯形ONGES△FEI32
12
(2t.
2
2
0,当t
时,S
有最大值,S最大
.(2分)
③当t2时,MPMN6,即N与D重合, 设PM交EC于点I,PD交EC于点G,重叠部 分为等腰梯形IMNG,见图4.
S
46
2
4
2
2
(图4)
综上所述:当0≤t≤
1时,S; 当1t
2时,S 当t
2时,S
2
2
2
S的最大值是.(1分)
2、在平面直角坐标系中,圆心O的坐标为(-3,4),以半径r在坐标平面内作圆,
(1)当r 时,圆O与坐标轴有1个交点; (2)当r 时,圆O与坐标轴有2个交点; (3)当r 时,圆O与坐标轴有3个交点; (4)当r 时,圆O与坐标轴有4个交点; 3、反比例函数y=
kx
的图象上有一点P(m,n),其坐标是关于t的一元二次方程t2-3t+k=0
的两个根,且P到原点的距离为,求该反比例函数的解析式。 4、如图,AC⊥BE于点C,EF⊥AB于点F,AF=FB,连接CF。求证:FC2=FE·FD
A
F
B
5、如图,已知矩形ABCD的边长AB=2,BC=3,点P是AD边上的一动点(P异于A、D),Q
是BC边上的任意一点. 连AQ、DQ,过P作PE∥DQ交AQ于E,作PF∥AQ交DQ于F。 (1)求证:△APE∽△ADQ;
(2)设AP的长为x,试求△PEF的面积S△PEF关于x的函数关系式,并求当P在何处时,S△PEF取得最大值?最大值为多少?
(3)当Q在何处时,△ADQ的周长最小?(须给出确定Q在何处的过程或方法,不必给出证明)
A
P
E
F
B
Q
C
6、已知二次函数y = ax2bxc,如果a>b>c ,且a + b + c = 0,则它的大致图象应是( )
7、考虑下面六个命题(1)任意三点确定一个圆; (2)平分弦的直径垂直于弦,且平分这
条弦所对的弧; (3)900的圆周角所对的弦是直径;(4)同弧或等弧所对的圆周角相等;
(5)相等的圆周角所对的弧相等。其中正确的命题有( )
A.2 个 B.3 个 C.4个 D.5 个
8、我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”,如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点,那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.如图,点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点,已知点D的坐标为(0,-3),AB为半圆的直径,半圆圆心M的坐标为(1,0),半圆半径为2.开动脑筋想一想,经过点D的“蛋圆”切线的解析式为 ( )
A. y=-2x-3 B. y=-x-3 C. y=-3x-3 D.y=
32
x-3
10、如图(1),在平面直角坐标系中,点A的坐标为(1,-2),点B的坐标为(3,-1),
2
二次函数yx的图象为l1. (1)平移抛物线l1,使平移后的抛物线过点A,但不过点B,写出平移后的抛物线的一个解析式(任写一个即可).
(2)平移抛物线l1,使平移后的抛物线过A、B两点,记抛物线为l2,如图(2),求抛物
线l2的函数解析式及顶点C的坐标.
(3)设P为y轴上一点,且SABCSABP,求点P的坐标.
(4)请在图(2)上用尺规作图的方式探究抛物线l2上是否存在点Q,使QAB为等腰三
角形. 若存在,请判断点Q共有几个可能的位置(保留作图痕迹);若不存在,请说明理由.
y
l1
24.(1)
2
y
o
x
o
x
l2
图(1)
2
图(2)
(满足条件即可) „„1分
21bc193bc
x
112
yx2x3或yx4x5等
(2)设l2的解析式为yx2bxc,联立方程组
解得:b9,c11,则l2的解析式为y
2
2
x
2
,
92
, „„3
分
点C的坐标为(9,
4
716
) „„4
分
(3)如答图23-1,过点A、B、C三点分别作x轴的垂线,垂足分别为D、E、F,则AD2,
CF
716
,BE1,DE
2
,DF
54
,FE
34
.
得:SABCS梯形ABEDS梯形BCFES梯形ACFD
分
1516
. „„5
52
延长BA交y轴于点G,直线AB的解析式为y设点P的坐标为(0,h) ①当点P位于点G的下方时,PG又SABC
SABP
1516
12
x
52
,则点G的坐标为(0,
5
2
),
52
连结AP、BP,则SPh,BA
16
SGPB
GPA
S
,
,得h
5516
,点P的坐标为(0,55). „„ 6
52
分
②当点P位于点G的上方时,PG
h
,同理h25,点P的坐标为(0,
16
2516
).
综上所述所求点P的坐标为(0,55)或(0,
16
2516
) „„ 7
分
(4) 作图痕迹如答图23-2所示.
由图可知,满足条件的点有Q1、Q2、Q3、Q4,共4个可能的位置. „„ 10分
F E
答图23-1
11、如图,在平面直角坐标系中,直线y=kx+1分别交轴于点A、B,过点B作BC⊥AB交x轴于点CCD⊥BC交y轴于点D,过点D作DE⊥CD过点E作EF⊥DE交y轴于点F.已知点A的中点,那么线段EF的长是( ▲ )
A.6 B. 26 C. 42 D.4
12、如图,正方形ABCD的坐标为(4,4),当三角板直角顶点P坐标为(3,3)时,设一直角边与x轴交于点E,另一直角边与y轴交于点F.在三角板绕点P旋转的过程中,使得△POE成为等腰三角形.请写出满足条件的点F的坐标 ▲ .
(第16题图)
13、如图,直线yx3与x轴,y轴分别相交于点B,点C,经过B,C两点的抛物线yax2bxc与x轴的另一交点为A,顶点为P,连结AC.且对称轴是直线x2. (1)求该抛物线的函数表达式; (2)求tan∠ACB;
(3)请问在x轴上是否存在点Q,使得以点P,B,Q为顶点的三角形与△ABC相似,若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
14、如图,△ABC, △DCE,△CEF都是正三角形,且B,C,E,F
x
在同一直线上,A,D,G也在同一直线上, 设△ABC, △DCE,△CEF的面积分别为S1,S2,S3.当
S14,S25时,S3
_____________
15、如图, 四边形ABDC中,∠ABD=∠BCD=Rt∠,AB=AC,AE⊥BC于点F,交BD于点E.且BD=15,CD=9.点P从点A出发沿射线AE方向运动,过点P作PQ⊥AB于Q,连接FQ,设AP=x,(x>0).
(1) 求证:BC·BE=AC·CD
(2) 设四边形ACDP的面积为y, 求y关于x的函数解析式.
(3) 是否存在点P,使△PQF为等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的x的值;若不存在,请说明理由. 24.解:(1)
∵∠ABD=∠BCD=Rt∠,AF⊥BC ∴AE∥CD ∴∠AEB=∠D ∴△ABE~△BCD
∴AB:BC=BE:CD 又∵AB=AC
∴BC·BE=AC·CD„„„„„„„(3分)
(2)∵BD=15,CD=9
B
EQ
P
A
C
D
∴CB12 ∵AB=AC,AF⊥BC ∴BF=FC=6 又∵AE∥CD ∴BE=ED=
12BD
152CD
A
127.5
9
10
QP
C
∴ABAC∴AF∵AE∥CD
BCBE
8„„„„„„„(2分)
B
E
D
∴四边形ACDP是平行四边形或梯形 ∴y
12
(CDAP)CF
(x9)63x27 (x0)„„„„„„„(2分)
12
(3)当P在线段AF上时,∠QPF为钝角,
使△PQF为等腰三角形,只有PQ=PF。 ∵∠AQP=∠AFB ∠QAP=∠FAB ∴△QAP~△FAB ∴QP
BFAB
Ap
35x
又∵PF=8-X ∴
35
x8x ∴x5„„„„„„„(2分)
A
当P在射线FE上时,使△PQF为等腰三角形,有: ① PQ=PF
此时PQ∴
3
35
x FPx8
5
∴x20„„„„„„„(2分)
xx8
C
E
② PQ=FQ
作高线QG,则PG
12PF
12
(x8)
B
G
Q
P
D
由△PQG~△ABF得, 1(x8)6
3 10
x
∴x
2007
„„„„„„„(2分)
③ PF=FQ
则∠FQP=∠FPQ 又∵∠AQP=90° ∴∠FAQ=∠FQA ∴AF=FQ=PF
∴x88
∴x16„„„„„„„(1分)
综合以上:当x5,16,20,
2007
时,△PQF为等腰三角形
(做对一个得2分,二个4分,三个6分,四