对称电场用高斯定理求解的理论根据
第9卷 第1期2000年3月
文章编号:100823499(2000) 0120003202
淮 海 工 学 院 学 报
Journal of Huaihai Institute of T echnology V ol. 9 N o. 1
Mar. 2000
对称电场用高斯定理求解的理论根据
吴云华
(淮海工学院基础科学系, 江苏连云港 222005)
Ξ
摘 要:通过分析论证, 说明由电场分布的对称性, 出满足对称要求的形式解。
关键词:1:A 众所周知, 静电场有两条基本规律, 即高斯定理和静电场的环路定理:
即可得到
×E =01
对球对称、轴对称可以得到同样的结果
。这是因为旋度考察的是矢量场每一坐标分量在该坐标垂直方向上的变化率。对称电场仅有一坐标分量, 在坐标的垂直方向上不发生改变。如果对具有对称性电场的“形式解”, 直接求环量, 也可以得到同样的结果。例如求(1) 式所表示的球对称电场的环量(图1) 。
E ・d l =E (r ) e ・d l =∮∮E (r ) d r =d [F (r ) ]=01∮∮
L
L
r
L
L
→
→
→
→
→
λ
→→
S
E ・d S =
, ε0
E ・d l =01
∮
L →
→→
对应的微分方程为:
・E =ρ, ×E =01
矢量场的唯一性定理指出:求解矢量场必须知道矢量场在空间每一点的散度和旋度, 及在边界上的法向分量。只用一个方程不容易求得正确的解。那么为什么具有某种对称的电场, 仅应用高斯定理就求得了唯一正确的解呢? 本文对此作以下探讨。
对称电场, 包括球对称、轴对称和平面对称三种。由电场分布的对称性尽管无法确定电场在空间的确切分布, 但却可以给出满足对称要求的“形式解”。例如球对称电场可以表示为:
→→
其中用到了
→
→
e r ・d l =d r , F
(r ) 是E (r ) 的原函数。
(1)
E =E (r ) ・e r 1
→
轴对称和平面对称电场的“形式解”可以分别表示为:
→
) ・e E =E (ρρ,
→
→
(2) (3)
图1 球对称电场的环流
Fig. 1 The circulation of globular symmetric
electric field
→
E =E (x ) ・e x 1
它们具有共同的特点:只有一个坐标分量, 并且仅是这一座标的函数。很容易验证它们所表示的电场都是无旋场。例如将(3) 式代入直角坐标系的旋度公式。
×E =
→
→→
e +e +--y z x z x y
→
e , -x z
Ξ收稿日期:1999209207
由以上讨论, 我们可以看到, 由电场分布的对称
性所确定的“形式解”, 是满足静电场环路定理的“形式解”的。因此, 适当选择高斯面, 代入高斯定理后
4淮海工学院学报2000年3月
所求得的解一定是同时满足静电场两条规律的解。如果其又满足具体问题的边界条件, 则一定是唯一正确的解。
对于具有轴对称的稳恒磁场, 可以进行类似的分析。其形式解可表示为
) ・e B =B (ρθ,
→
→
综上所述, 具有某种对称性的电场(或磁场) 之
所以可以只用一个方程求解, 是因为对称性本身为我们提供了满足另一方程及边界条件的“形式解”。否则, 只用一个方程, 是不容易求得唯一正确的解的。:
[1]. ,
[2电磁学[M].北京:高等教育出版社,
198714561,372377.
[3] (美) 斯特莱顿J A. 电磁理论[M].北京:北京航空学院
其磁力线为同轴的圆, 因而一定满足稳恒磁场
的高斯定理
→→
S
B ・d S →) ・B =+ρ+=0,
z
因而, 将此形式解代入安培环路定理以后所求得的解(如果又满足具体问题的边界条件) , 则一定是唯一正确的解。
出版社,[1**********],277274.
作者简介:吴云华(1945-) , 女, 河南开封人, 淮海工学院基础科学系讲师, 主要从事于大学物理的教学及激光对生物效应方面的研究工作。
The Theoretical B asis for Sowing the Symmetric
E lectric Field
with G auss ’s La w
W U Y un 2hua
(Dept. of Basic Science Subjects , Huaihai Institute of T echnology , Lianyungang 222005, China )
Abstract :The “formal s olution ”of symmetric electric fields is obtained on the basis of scientific analysis ,illustration and explanation. Though the distributes of the electric field can not be discribed precisely , a “formal s olution ”is offered to satis fy the symmetry.
K ey Words :symmetric electric field ; G auss ’s law ; formal s olution
(本文责任编校:褚金红)