七年级奥数讲义01
七年级奥数讲义01:和绝对值有关的问题
一、选择题(共3小题,每小题4分,满分12分)
1.已知a 、b 、c 在数轴上位置如图:则代数式|a|+|a+b|+|c-a|-|b-c|的值等于( )
A .-3a B .2c-a C .2a-2b D .
b
2.已知:x <0<z ,xy >0,且|y|>|z|>|x|,那么|x+z|+|y+z|-|x-y|的值( )
A .是正数 B .是负数 C .是零 D .不能确定符号
3.方程|x-2008|=2008-x的解的个数是( )
A .1个 B .2个 C .3个 D .无穷多个
二、填空题(共1小题,每小题5分,满分25分)
4.观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与-2,3与5,-2与-6,-4与3. 并回答下列各题:
(1)你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗?答: ;
(2)若数轴上的点A 表示的数为x ,点B 表示的数为-1,则A 与B 两点间的距离可以表示为 ;
(3)结合数轴求得|x-2|+|x+3|的最小值为 ,取得最小值时x 的取值范围为 ;
(4)满足|x+1|+|x+4|>3的x 的取值范围为 .
三、解答题(共2小题,满分13分)
5.已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍,且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧,两点之间的距离为8,求这两个数;若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢?
6.如果|ab-2|+(b -1) =0,试求: 2
1111+++ +的值. ab (a +1)(b +1) (a +2)(b +2) (a +2011)(b +2011)
七年级奥数讲义01:和绝对值有关的问题解析
一、选择题(共3小题,每小题4分,满分12分)
1.已知a 、b 、c 在数轴上位置如图:则代数式|a|+|a+b|+|c-a|-|b-c|的值等于( )
A .-3a B .2c-a C .2a-2b D .
b
考点:绝对值.专题:计算题.分析:由a ,b ,c 在数轴上的对应位置可知:b <a <0<c ,即可判断绝对值符号内数的符号,从而去掉绝对值符号,完成化简.
解答:解:|a|+|a+b|+|c-a|-|b-c|=-a-(a+b)+(c-a )+b-c=-3a
故选A .
点评:解绝对值的问题时,往往需要脱去绝对值符号,化成一般的有理数计算.脱去绝对值的符号时,必须先确定绝对值符号内各个数的正负性,再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号.这道例题运用了数形结合的数学思想.
2.已知:x <0<z ,xy >0,且|y|>|z|>|x|,那么|x+z|+|y+z|-|x-y|的值( )
A .是正数 B .是负数 C .是零 D .不能确定符号
考点:绝对值;数轴.专题:数形结合.分析:先根据已知条件确定x 、y 、z 的符号及其绝对值的大小,再画出数轴确定出各点在数轴上的位置,根据绝对值的性质即可去掉原式的绝对值,使原式得到化简.
解答:解:由题意可知,x 、y 、z 在数轴上的位置如图所示:
所以|x+z|+|y+z|-|x-y|=x+z-(y+z)-(x-y )=0 点评:本题考查的是代数式的化简及绝对值的性质,此题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x 、y 、z 三个数的大小关系,为我们顺利化简铺平了道路.在解答此类问题时要注意使用数形结合的思想方法.
3.方程|x-2008|=2008-x的解的个数是( )
A .1个 B .2个 C .3个 D .无穷多个
考点:含绝对值符号的一元一次方程.专题:计算题.分析:这道题我们用整体的思想解决.将x-2008看成一个整体,问题即转化为求方程|a|=-a的解,利用绝对值的代数意义我们不难得到,负数和零的绝对值等于它的相反数,所以零和任意负数都是方程的解,即本题的答案为
D .解答:解:由方程|x-2008|=2008-x可知,
2008-x ≥0
∴x ≤2008
∴x 解得个数有无穷多个.
故选D
点评:本题主要考查的是含有绝对值符号的一元一次方程的拓展计算,充分利用了绝对值的代数意义.难易适中.
二、填空题(共1小题,每小题5分,满分25分)
4.观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与-2,3与5,-2与-6,-4与3. 并回答下列各题:
(1)你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗?答: ;
(2)若数轴上的点A 表示的数为x ,点B 表示的数为-1,则A 与B 两点间的距离可以表示为 ;
(3)结合数轴求得|x-2|+|x+3|的最小值为 ,取得最小值时x 的取值范围为 ;
(4)满足|x+1|+|x+4|>3的x 的取值范围为 .
考点:绝对值;数轴.分析:(1)直接借助数轴可以得出;
(2)点B 表示的数为-1,所以我们可以在数轴上找到点B 所在的位置.那么点A 呢?因为x 可以表示任意有理数,所以点A 可以位于数轴上的任意位置.那么,如何求出A 与B 两点间的距离呢?
结合数轴,我们发现应分以下三种情况进行讨论.
当x <-1时,距离为-x-1,
当-1<x <0时,距离为x+1,
当x >0,距离为x+1.
综上,我们得到A 与B 两点间的距离可以表示为|x+1|;
(3)|x-2|即x 与2的差的绝对值,它可以表示数轴上x 与2之间的距离.|x+3|=|x-(-3)|即x 与-3的差的绝对值,它也可以表示数轴上x 与-3之间的距离. 借助数轴,我们可以得到正确答案;
(4)同理|x+1|表示数轴上x 与-1之间的距离,|x+4|表示数轴上x 与-4之间的距离.本题即求,当x 是什么数时x 与-1之间的距离加上x 与-4之间的距离会大于3.借助数轴,我们可以得到正确答案:x <-4或x >-1.
解答:解:(1)由观察可知:所得距离与这两个数的差的绝对值相等;
(2)结合数轴,我们发现应分以下三种情况进行讨论.
当x <-1时,距离为-x-1,
当-1<x <0时,距离为x+1,
当x >0,距离为x+1.综上,我们得到A 与B 两点间的距离可以表示为|x+1|;
(3)当x <-3时,|x-2|+|x+3|=2-x-(3+x)=-2x-1,此时最小值大于5;
当-3≤x ≤2时,|x-2|+|x+3|=2-x+x+3=5;当x >2时,|x-2|+|x+3|=x-2+x+3=2x+1,此时最小值大于5;
所以|x-2|+|x+3|的最小值为5,取得最小值时x 的取值范围为-3≤x ≤2;
(4)由分析借助数轴,我们可以得到正确答案:x <-4或x >-1.
点评:借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题,反之,有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题.这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便.事实上,|A-B|表示的几何意义就是在数轴上表示数A 与数B 的点之间的距离.这是一个很有用的结论,我们正是利用这一结论并结合数轴的知识解决了(3)、(4)这两道难题.
三、解答题(共2小题,满分13分)
5.已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍,且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧,两点之间的距离为8,求这两个数;若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢? 考点:数轴.专题:分类讨论.
分析:从题目中寻找关键的解题信息,“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反,即一正一负.那么究竟谁是正数谁是负数,我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题.
解答:解:设甲数为x ,乙数为y
由题意得:|x|=3|y|,
(1)数轴上表示这两数的点位于原点两侧:
若x 在原点左侧,y 在原点右侧,即x <0,y >0,则4y=8,所以y=2,x=-6,
若x 在原点右侧,y 在原点左侧,即x >0,y <0,则-4y=8,所以y=-2,x=6;
(2)数轴上表示这两数的点位于原点同侧:
若x 、y 在原点左侧,即x <0,y <0,则-2y=8,所以y=-4,x=-12,
若x 、y 在原点右侧,即x >0,y >0,则2y=8,所以y=4,x=12.
点评:本题主要考查了数轴上点的几何意义.
6.如果|ab-2|+(b-1)2=0,试求:
1111+++ +的值. ab (a +1)(b +1) (a +2)(b +2) (a +2011)(b +2011)
考点:非负数的性质:偶次方;非负数的性质:绝对值.专题:规律型.
分析:本题应先根据非负数的性质“两个非负数相加,和为0,这两个非负数的值都为0.”解出a 、b 的值,再把a 、b 的值代入代数式中,将分式化简求值.
解答:解:因为|ab-2|+(b -1) =0,且|ab-2|≥0,(b -1) ≥0,
所以ab-2=0,b-1=0,
所以b=1,a=2,
所以原式=
[**************]2+++ +=1-+-+-+ +-=1-=1⨯22⨯33⨯42012⨯[***********]013201322点评:注意:将原有的分数拆成两个相减的分数,再对方程进行化简是此类分数的常见的解法.
七年级奥数特训练习01:和绝对值有关的问题
1.关于x 的方程|x|=2x+a只有一个解而且这个解是负数,则a 的取值范围( )
A .a <0 B .a >0 C .a ≥0 D .a ≤0
2.若方程||x-2|-1|=a有三个整数解,则a 的取值为( )
A .a >1 B .a=1 C .a=0 D .0<a <1
3.(1)阅读下列材料并填空.
例:解方程|x+2|+|x+3|=5
解:①当x <-3时,x+2<0,x+3<0,
所以|x+2|=-x-2,|x+3|=-x-3
所以原方程可化为 =5
解得 x=
②当-3≤x <-2时,x+2<0,x+3≥0,
所以|x+2|=-x-2,|x+3|=x+3
所以原方程可化为-x-2+x+3=5
1=5
所以此时原方程无解
③当x ≥-2时,x+2≥0,x+3>0,
所以|x+2|= ,|x+3|=
所以原方程可化为 =5
解得 x=
(2)用上面的解题方法解方程:
|x+1|-|x-2|=x-6.
4.先阅读下列解题过程,然后解答问题(1)、(2)解方程:|3x|=1
解:①当3x ≥0时,原方程可化为一元一次方程为3x=1,它的解是x=
②当3x <0时,原方程可化为一元一次方程为-3x=1,它的解是x=-1 31. 3
(1)请你模仿上面例题的解法,解方程:2|x-3|+5=13
(2)探究:当b 为何值时,方程|x-2|=b+1 ①无解;②只有一个解;③有两个解.
5.问当x 取何值时,|x-1|+|x-2|+|x-3|+„+|x-2011|取得最小值,并求出最小值.
6.若a 、b 互为相反数,b 、c 互为倒数,并且m 的立方等于它本身.
(1)试求2a +2b +ac 值; m +2
1|,试求4(2a 一S )+2(2a-S )-(2a-S )2(2)若a >1,且m <0,S=|2a一3b|-2|b-m|-|b+
的值.
(3)若m ≠0,试讨论:x 为有理数时,|x+m|-|x-m|是否存在最大值,若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.
7.证明A=||x-y|+x+y-2z|+|x-y|+x+y+2z=4max{x,y ,z},其中max{x,y ,z}表示x ,y ,z 这三个数中的最大者.
七年级奥数特训练习01:和绝对值有关的问题解析
1.关于x 的方程|x|=2x+a只有一个解而且这个解是负数,则a 的取值范围( )
A .a <0 B .a >0 C .a ≥0 D .a ≤0
1.考点:含绝对值符号的一元一次方程;解一元一次方程;解一元一次不等式.专题:计算题.分析:由方程的解为负数,得到x <0时,原方程可以化为-x=2x+a,求出方程的解x=-a a ,可得出-<0,求出即可. 33
解答:解:∵|x|=2x+a的解为负数,
∴x <0时,原方程可以化为:-x=2x+a,
解得:x=-
∴-a , 3a <0, 3
即a >0.
故选B .
点评:本题考查了绝对值符号的一元一次方程和解一元一次不等式等知识点的应用,去掉绝对值符号是解此题的关键,注意x <0这个条件的应用,题目较好,但是一道比较容易出错的题目.
2.若方程||x-2|-1|=a有三个整数解,则a 的取值为( )
A .a >1 B .a=1 C .a=0 D .0<a <1
2.考点:含绝对值符号的一元一次方程;函数的图象.专题:推理填空题.分析:画出函数y=|x-2|和函数y=||x-2|-1|的图象,根据图象可知,只有当a=1时,方程有三个整数解,即可得出答案.
解答:解:如图所示:
紫色线表示函数y=|x-2|的图象,蓝色表示函数y=1的图象,
黑色是y=|x-2|-1|,
根据图象只有a=1时,方程||x-2|-1|=a才有三个整数解,
即a=1,
故选B .点评:本题考查了对含绝对值符号的一元一次方
程和函数的图象等知识点的应用,能根据图象得出答案是
解此题的关键,主要培养了学生的画图能力,同时也培养
了学生的观察图形的能力,难度较大,对学生提出较高的
要求.
3.(1)阅读下列材料并填空.
例:解方程|x+2|+|x+3|=5
解:①当x <-3时,x+2<0,x+3<0,
所以|x+2|=-x-2,|x+3|=-x-3
所以原方程可化为 =5
解得 x=
②当-3≤x <-2时,x+2<0,x+3≥0,
所以|x+2|=-x-2,|x+3|=x+3
所以原方程可化为-x-2+x+3=5
1=5
所以此时原方程无解
③当x ≥-2时,x+2≥0,x+3>0,
所以|x+2|= ,|x+3|=
所以原方程可化为 =5
解得 x=
(2)用上面的解题方法解方程:
|x+1|-|x-2|=x-6.
考点:含绝对值符号的一元一次方程.分析:(1)由条件给定的却只范围确定绝对值中的数的正负性就可以去掉绝对值符号,从而根据解一元一次方程的方法求解.
(2)要解答本题的关键是去掉绝对值符号,就可以采用分段函数的方法,令x+1=0或x-2=0,求出x 的值,再根据x 的取值范围就可以去掉绝对值符号,从而求出其结果.
3.解答:解:(1)①当x <-3时,x+2<0,x+3<0,
所以|x+2|=-x-2,|x+3|=-x-3
所以原方程可化为:-x-2-x-3=5
解得:x=-5
②当-3≤x <-2时,x+2<0,x+3≥0,
所以|x+2|=-x-2,|x+3|=x+3
所以原方程可化为-x-2+x+3=5
1=5
所以此时原方程无解
③当x ≥-2时,x+2≥0,x+3>0,
所以|x+2|=x+2,|x+3|=x+3
所以原方程可化为x+2+x+3=5
解得 x=0
故答案为:-x-2-x-3,-5,x+2,x+3,x+2+x+3,0
(2)令x+1=0,x-2=0时,
∴x=-1或x=2.
当x <-1时,
∴x+1<0,x-2<0,∴|x+1|=-x-1,|x-2|=-x+2,
∴-x-1-(-x+2)=x-6∴x=3(不符合题意,所以无解)
当-1≤x <2时,
∴|x+1|=x+1,|x-2|=-x+2,
∴x+1+x-2=x-6
∴x=-5(不符合题意,所以无解)
当x ≥2时,
∴|x+1|=x+1,|x-2|=x-2,
∴x+1-x+2=x-6
∴x=9.
综上所述,x 的解为:x=9.点评:本题考查了含绝对值符号的一元一次方程的解法,解题中分类思想的运用,去绝对值的方法.
4.先阅读下列解题过程,然后解答问题(1)、(2)解方程:|3x|=1
解:①当3x ≥0时,原方程可化为一元一次方程为3x=1,它的解是x=
②当3x <0时,原方程可化为一元一次方程为-3x=1,它的解是x=-1 31. 3
(1)请你模仿上面例题的解法,解方程:2|x-3|+5=13
(2)探究:当b 为何值时,方程|x-2|=b+1 ①无解;②只有一个解;③有两个解.
4.考点:含绝对值符号的一元一次方程.专题:计算题.分析:(1)当x-3≥0时,得出方程为2(x-3)+5=13,求出方程的解即可;当x-3<0时,得出方程为2(3-x )+5=13,求出方程的解即可;
(2)根据绝对值具有非负性得出|x-2|≥0,分别求出b+1<0,b+1=0,b+1>0的值,即可求出答案.
解答:(1)解:当x-3≥0时,
原方程可化为一元一次方程为2(x-3)+5=13,
方程的解是x=7;
②当x-3<0时,
原方程可化为一元一次方程为2(3-x )+5=13,
方程的解是x=-1.
(2)解:∵|x-2|≥0,
∴当b+1<0,即b <-1时,方程无解;
当b+1=0,即b=-1时,方程只有一个解;
当b+1>0,即b >-1时,方程有两个解.点评:本题考查了含绝对值符号的一元一次方程的应用,解此题的关键是去掉绝对值符号得到一元一次方程,根据a ≥0时,|a|=a;a <0时,|a|=-a,题目比较好,但有一定的难度.
5.问当x 取何值时,|x-1|+|x-2|+|x-3|+„+|x-2011|取得最小值,并求出最小值.
5.考点:绝对值.专题:计算题.分析:要使|x-1|+|x-2|+|x-3|+„+|x-2011|取得最小值,则必须使他们中每一个式子的值尽可能小,由于绝对值是非负数,所以最小是0,且只有一个,1只能有2个,依此类推,x 只能是1-2011的中间的数,再求值即可解答.解答:解:1-2011共有2011个数,最中间一个为1006,此时|x-1|+|x-2|+|x-3|+„+|x-2011|取得最小值, 最小值为|x-1|+|x-2|+|x-3|+„+|x-2011|
=|1006-1|+|1006-2|+|1006-3|+…+|1006-2011|
=1005+1004+1003+…+2+1+0+1+2+3+…+1005
=1011030.点评:本题主要考查绝对值的定义与求值问题,注意一个数的绝对值是非负数.
6.若a 、b 互为相反数,b 、c 互为倒数,并且m 的立方等于它本身.
(1)试求2a +2b +ac 值; m +2
1|,试求4(2a 一S )+2(2a-S )-(2a-S )2(2)若a >1,且m <0,S=|2a一3b|-2|b-m|-|b+
的值.
6.考点:绝对值;相反数;倒数.专题:探究型.分析:(1)先根据a 、b 互为相反数,b 、c 互为倒数,得出a+b=0,bc=1,再代入所求代数式进行计算;
(2)根据a >1及m 的立方等于它本身把S 进行化简,再代入所求代数式进行计算;
(3)根据若m ≠0,可知m=±1,①当m=1时,代入|x+m|-|x-m|,再根据绝对值的性质去掉绝对值符号,求出代数式的值,
②同理,当m=-1时代入所求代数式,再根据绝对值的性质去掉绝对值符号,求出代数式的值,即可.
解答:解:(1)∵a+b=0,bc=1,
∴ac=-1(3分) ∴2a +2b +ac =0-1=-1(4分) m +2
1<0(5分) 2(2)∵a >1, ∴b <-1,2a-3b >0,b+
∵m 的立方等于它本身,且m <0
∴m=-1,b-m=b+1<0(6分)
∴s=2a-3b+2b+2+b+155 =2a+∴2a-s=-(7分) 222
4(2a-S )+2(2a-S )-(2a-S )
=5(2a-S ) =-25;(8分) 2
(3)若m ≠0,此时m=±1(19分)
①若m=1,则|x+m|-|x-m|=|x+1|-|x-1|
当x ≤-1时
|x+1|-|x-1|=-x-1+x-1=-2
当-1<x ≤1时
|x+1|-|x-1|=x+1+x-1=2x
当x >1时
|x+1|-|x-1|=x+1-x+1=2
∴当x 为有理数时,存在最大值为2;(10分)
②若m=-1
同理可得:当x 为有理数时,存在最大值为2.(11分)
综上所述,当m=±1,x 为有理数时,|x+m|-|x-m|存在最大值为2.(12分)
点评:本题考查的是绝对值的性质,相反数及倒数的定义,代数式求值,熟知以上知识是解答此题的关键
7.证明A=||x-y|+x+y-2z|+|x-y|+x+y+2z=4max{x,y ,z},其中max{x,y ,z}表示x ,y ,z 这三个数中的最大者.
7.考点:绝对值.专题:分类讨论.分析:欲证的等式中含有三个绝对值符号,且其中一个在另一个内,要把绝对值去掉似乎较为困难,但等式的另一边对我们有所提示,如果x 为x ,y ,z 中的最大者,即证A=4x,依次再考虑y ,z 是它们中的最大值便可证得. 解答:证明:(1)当x ≥y ,x ≥z 时,
A=|x-y+x+y-2z|+x-y+x+y+2z
=2x-2z+2x+2z=4x;
(2)当y ≥z ,y ≥x 时,
A=|y-x+x+y-2z|+y-x+x+y+2z
=2y-2z+2y+2z=4y;
(3)当z ≥x ,z ≥y 时,因为
|x-y|+x+y=max{x,y}≤2z ,
所以A=2z-|x-y|-x-y+|x-y|+x+y+2z=4z.
从而A=4max{x,y ,z}.
点评:本题考查的是绝对值的性质,即一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.在解答此题时要注意分类讨论.