佛山市中考数学几何探究题目选(五)

纯几何探究（五）

1. （无锡市）（1）已知△ABC 中，∠A =90，∠B =67.5，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）

A

A

A

B

备用图①

C

B

备用图②

C

B

备用图③

C

（2）已知△ABC 中，∠C 是其最小的内角，过顶点B 的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC 与∠C 之间的关系．

2. （宁波市）27．四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对

角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离

相等，则称这点为这个四边形的准等距点．如图l ，点P 为四边形ABCD 对角线AC 所在直线上的一点，PD=PB，PA≠PC，则点P 为四边形ABCD 的准等距点． (1)如图2，画出菱形ABCD 的一个准等距点． (2)如图3，作出四边形ABCD 的一个准等距点(尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法) ． (3)如图4，在四边形ABCD 中，P 是AC 上的点，PA≠PC，延长BP 交CD 于点E ，延长DP 交BC 于点F ，且∠CDF=∠CBE ，CE=CF．求证：点P 是四边形AB CD的准等距点．

(4)试研究四边形的准等距点个数的情况(说出相应四边形的特征及准等距点的个数，不必证明) ．

3. （宜昌课改）如图1，已知△ABC 的高AE =5，BC =

40

，∠ABC ＝45°，F 是AE 上的点，G 3

是点E 关于F 的对称点，过点G 作BC 的平行线与AB 交于H 、与AC 交于I ，连接IF 并延长交BC 于J ，连接HF 并延长交BC 于K ．

（1）请你探索并判断四边形HIKJ 是怎样的四边形？并对你得到的结论予以证明；

（2）当点F 在AE 上运动并使点H 、I 、K 、J 都在△ABC 的三条边上时，求线段AF 长的取值

范围．

（图2供思考用）

A

图1

B

E 图2

C

4、如图1，操作：把正方形CGEF 的对角线CE 放在正方形ABCD 的边BC 的延长线上（CG ＞BC ），取线段AE 的中点M 。

探究：线段MD 、MF 的关系，并加以证明。

说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明。

注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得7分；选取③完成证明得5分。 ① DM 的延长线交CE 于点N ，且AD ＝NE ；

② 将正方形CGEF 绕点C 逆时针旋转45°（如图2），

其他条件不变；③在②的条件下且CF ＝2AD 。

附加题：将正方形CGEF 绕点C 旋转任意角度后（如图3），其他条件不变。探究：线段MD 、MF 的关系，并加以证明。

E

G

G （2）

（3）

5、已知：直线a ∥b ，P 、Q 是直线a 上的两点，M 、N 是直线b 上两点。

（1）如图①，线段PM 、QN 夹在平行直线a 和b 之间，四边形PMNQ 为等腰梯形，其两腰PM ＝QN 。

请你参照图①，在图②中画出异于图①的一种图形，使

P Q a 夹在平行直线a 和b 之间的两条线段相等。

（2）我们继续探究，发现用两条平行直线a 、b 去截一些我们

学过的图形，会有两条“曲线段相等”（曲线上两点和它们之间的部分叫做“曲线段”。把经过全等变换后能重合的两条曲线段叫做“曲线段相等”）。

请你在图③中画出一种图形，使夹在平行直线a 和b 之间

M

①

N

b

的两条曲线段相等。

a a

b b ② ③

P m Q a

（3）如图④，若梯形PMNQ 是一块绿化地，梯形的上底PQ ＝

S 2 m ，下底MN ＝n ，且m ＜n 。现计划把价格不同的两种花草种植

b 在S 1、S 2、S 3、S 4四块地里，使得价格相同的花草不相邻。为了M N

节省费用，园艺师应选择哪两块地种植价格较便宜的花草？请说

④

明理由。 6、（2005年河北）操作示例:

对于边长为a 的两个正方形ABCD 和EFGH ，按图1所示的方式摆放，在沿虚线BD ，EG 剪开后，可以按图中所示的移动方式拼接为图1中的四边形BNED 。

从拼接的过程容易得到结论： ①四边形BNED 是正方形；

(1)

②S 正方形ABCD ＋S 正方形EFGH ＝S 正方形BNED 。 实践与探究

（1）对于边长分别为a ，b （a ＞b ）的两个正方

形ABCD 和EFGH ，按图2所示的方式摆放，连接DE ，

过点D 作DM ⊥DE ，交AB 于点M ，过点M 作MN

(2)

⊥DM ，过点E 作EN ⊥DE ，MN 与EN 相交于点N 。

①证明四边形MNED 是正方形，并用含a ，b 的代数式表示正方形MNED 的面积； ②在图11－2中，将正方形ABCD 和正方形EFGH 沿虚线剪开后，能够拼接为正方形MNED ，请简略说明你的拼接方法（类比图1，用数字表示对应的图形）。

（2）对于n （n 是大于2的自然数）个任意的正方形，能否通过若干次拼接，将其拼接成为一个正方形？请简要说明你的理由。

7、（潍坊市05）如图，已知平行四边形ABCD 及四边形外一直线l ，四个顶点A 、

B 、C 、D 到直线l 的距离分别为a 、b 、c 、d ．

（1）观察图形，猜想得出a 、b 、c 、d 满足怎样的关系式？证明你的结论．

8、（2005年泰州）图1是边长分别为4和3的两个等边三角形纸片ABC 和C ′D ′E ′叠放在一起（C 与C ′重合）.

（1）操作：固定△ABC ，将△C ′D ′E ′绕点C 顺时针旋转30°得到△CDE ，连结AD 、BE ，CE 的延长线交AB 于F （图2）；

探究：在图2中，线段BE 与AD 之间有怎样的大小关系？试证明你的结论. （4分）

（2）操作：将图2中的△CDE ，在线段CF 上沿着CF 方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△CDE 设为△PQR （图3）；

探究：设△PQR 移动的时间为x 秒，△PQR 与△ABC 重叠部分的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出函数自变量x 的取值范围.

（3）操作：图1中△C ′D ′E ′固定，将△ABC 移动，使顶点C 落在C ′E ′的中点，边BC 交D ′E ′于点M ，边AC 交D ′C ′于点N ，设∠AC C′=α（30°＜α＜90°＝（图4）；

探究：在图4中，线段C ′N ·E ′M 的值是否随α的变化而变化？如果没有变化，请你求出C ′N ·E ′M 的值，如果有变化，请你说明理由.

A

D ′

C

B

图1

E ′

（C ）

C/

C

9. （黑龙江）已知等边△ABC 和点P ，设点P 到△ABC 三边AB 、AC 、BC 的距离分别为h 1、

h 2、h 3，△ABC 的高为h 。

“若点P 在一边BC 上，如图（一），此时h 3=0，可得结论：h 1+h 2+h 3=h 。” 请直接应用上述信息解决下列问题： 当点P 在△ABC 内，如图（二），点P 在△ABC 外，如图（三）这两种情况时，上述的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，h 1、h 2、h 3与h 之间又有怎样的关系，请写出你的猜想，不需证明。

A A A

D

D

E

B

M P （一）

C

B

M F （二）

第39题图

C

B

（三）

F

P

E C

10、（2005年长沙）己知点E 、F 在∆ABC 的边 AB 所在的直线上，且A E =BF ，FH EG AC ，FH 、EG 分别交边BC 所在的直线于点H 、G ．

⑴如图l ，如果点E 、F 在边AB 上，那么EG +FH =AC ；

⑵如图2，如果点E 在边AB 上，点F 在AB 的延长线上，那么线段EG 、FH 、AC 的长度关系是_______________ ；

⑶如图3，如果点E 在AB 的反向延长线上，点F 在

AB 的延长线上，那么线段EG 、FH 、AC 的长度关系是_________ ； F B H C G

图1

H C G 图2

F

H G C

图3

F

C

E P

H

A

F G

B

11. （2005年北京海淀区）已知△ABC ，分别以AB 、BC 、 CA为边向形外作等边三角形ABD 、等边三角形BCE 、等边三角形ACF.

(1)如图1，当△ABC 是等边三角形时，请你写出满足图中条件，四个成立的结论； (2)如图2，当△ABC 中只有∠ACB=60°时，请你证明S △ABC 与S △ABD 的和等于S △BCE 与S △ACF 的和.

A F

图

1 图2

12．（2005年武汉）将两块含30°角且大小相同的直角三角板如图1摆放。

（1）将图1中△A 1B 1C 绕点C 顺时针旋转45°得图2，点P 1是A 1C 与AB 的交点，

求证：CP 1AP 1； 2

（2）将图2中△A 1B 1C 绕点C 顺时针旋转30°到△A 2B 2C （如图3），点P 2是A 2C 与AB 的交点。线段CP 1与PP 12之间存在一个确定的等量关系，请你写出这个关系式并说明理由；

（3）将图3中线段CP 1绕点C 顺时针旋转60°到CP 3（如图4），连结P 3P 2，求证：P 3P 2⊥AB.