线性约束规划在项目管理最优化决策中的运用

线性约束规划在项目管理最优化决策中的应用

摘要

线性约束规划理论和方法是优化理论和方法中的一种，主要用于解决各类线性系统运行状态下的优化问题，它广泛地应用现有的科学技术和数学方法以解决实际中的问题，帮助决策人员选择最优方针进行决策。本文通过具体的案例阐述了线性规划在项目管理中的应用，为现代化项目管理工作提供了科学的依据。

关键词：线性约束规划；项目管理；最优化

Abstract

Linear constrained programming theory and method is one of the theory optimization and method, mainly used for solving all kinds of linear system running condition of optimization problem, which is widely applied the existing technology and mathematical method to solve practical problems and help decision makers selecting optimal policy decisions. This article through a specific example expounds linear programming in project management, which provides scientific basis for the application of modern project management.

Key words: Linear constrained programming project management

best optimization

线性约束规划是运筹学中研究较早，发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法，线性约束规划主要解决两方面的问题：一是在现有资源条件下，当生产任务具有一定的灵活性时，如何合理安排，既能保证生产任务的完成，又能最大限度地实现某一预期目的；二是为完成一定的任务，怎样进行组织，才能使资源消耗最少。

一．线性约束规划的定义及数学模型

(一)线性约束规划的定义

所谓线性约束规划就是根据线性规划模型的基本结构，在满足一组约束条件下，求一组变量的值。使得其成为目标函数的最优解。

线性约束规划问题的三个要素：

1，决策变量：是指实际系统中有待确定的未知因素，这些因素对系统目标的实现和各项经济指标的完成具有决定性影响[1]。

2、约束条件：约束条件是指实现系统目标的限制因素，它涉及到系统的内外部条件的各个方面，如内部条件的原材料的储备量，生产设备能力，产品质量要求，外部坏境的市场需求和上级的计划指标等等[2]。

3．目标函数：是对系统目标的数学描述。线性规划目标函数的重要特征之一是线性函数，即目标值与变量之间的关系是线性关系，目标函数的特性之二是单目标，实现单目标的最优值。一是求效益性指标，如产值、利润等的极大值，或者是损耗性指标，如原材料消耗、成本、费用的极小值。

(二)线性约束规划的模型

线性约束规划研究的是线性目标函数在线性约束条件下取得最大值或最小值的问题。一般地，线性约束规划问题的数学模型分一般形和标准形[3]。

l、线性约束规划的一般形式：

Max(Min)Z=C1X1+C2X2+„+CnXn

s．t．a11x1+a12x2+„+a1nan≤(=，≥)bl

a21xl+a22x2+„+a2nxn≤(=，≥)b2

„„

am1xl+am2十„+amnxn≤(=，≥)bm

x1，x2，„，xn≥0

其中aij，bj，cj(i=1，2，„，m; j=l，2，„，n)均为己知实常数，xl，x2，„，xn称为决策变量，Z称为目标函数。

2、线性约束规划的标准形式：

目标函数Max Z= C1X1+C2X2+„+CnXn

约束条件：a11x1+a12x2+„+a1nan =bl

a21xl+a22x2+„+a2nxn=b2

„„

am1xl+am2十„+amnxn=bm

x1，x2，„，xn≥0

(三)线性约束规划求解方法

线性约束规划模型的基本解法有图解法和单纯形法两种：

图解法只适合于具有2个或3个变量的线性规划问题，实用价值不大，但它阐明了线性规划解题的基本思路。

单纯形法是一种解多变量线性规划问题的实用解法，其解题思路与图解法思路相同，是通过求出初始基础可行解后，从这个可行解出发，通过换基迭代，不断改进，最终求得最优解。用单纯形法求解线性规划问题，需要将原线性规划问题化为标准形式[4]。

无论是图解法还是单纯形法在现实问胚中的实用价值都不是很高，当变量较少时采用这两种方法比较实用，但当变量较多时采用这两种方法就会使计算量大大增加，而且准确度也不高。在实际操作中，大都选择软件来求解线性规划问题。目前有许多软件可用来求解线性规划模型，如LINDO(Linear，Interactive and Discrete Optimizer)．EXCEL中的规划求解工具等。

二．线性约束规划在项目管理最优化决策中的应用

(一)项目管理概述

项目管理这一概念是第二次世界大战的产物。20世纪50年代至80年代期间，项目管理主要应用于军事和建筑领域[5]。这一时期，项目管理被看作是致力于预算、规划和达到特定目标的小范围内的活动。项目经理仅是一个执行者，他的工作单纯是完成既定的任务．项目管理的主要内容包括4个方面：

(1)范围管理(Scope Management)——根据项目的目的，界定项目所必须完成的工作范围并对它进行管理，包括立项、项目范围的计划和定义、范围确认、范围变更控制[6]。

(2)时间管理(Time Management )——给出项目活动的定义、安排和时间估计，制定进度计划并行控制。

(3)费用管理(Cost Management)——确保项目在预算范围之内的管理过程，包括资源和费用的规划、费用预算和控制。

(4)人力资源管理(Human Resource Management)——确保项目团队成员发挥最佳效能的管理过程，包括组织规划、人员招聘和项目团队的组建。

80年代以后，项目管理的应用逐渐扩展到其他领域，以至于各行各业，如电信业、软件开发业、制药业、金融业等等。在这种环境下，项目经理不再单纯是任务执行者，而要胜任更为广泛的工作并具有一定的管理技巧。他们不仅要实施方案，还要管理合同、熟悉财务并和客户一起工作。项目管理的内容也有了较大的扩展，增加了以下几点：

(5)质量管理(Quality Management)——确保项目满足客户需要的质量，主要包括质量计划、质量保证和质量控制[7]。

(6)沟通管理(Comunication Management)——确保项目相关信息能及时、准确地得到处理，包括沟通计划的制定、信息传递、过程实施报告和评估报告。

(7)风险管理(Risk Management)——确保项目能够成功实现，需进行风险的识别、度量、响应和控制。

(8)采购管理(Procurement Management)——确保项目所需的外界资源得到满足，包括采购计划、询价、资源选择、合同的管理和终结。

(2)时间管理(Time Management )——给出项目活动的定义、安排和时间估计，制定进度计划并行控制。

(3)费用管理(Cost Management)——确保项目在预算范围之内的管理过程，包括资源和费用的规划、费用预算和控制。

(4)人力资源管理(Human Resource Management)——确保项目团队成员发挥最佳效能的管理过程，包括组织规划、人员招聘和项目团队的组建。

80年代以后，项目管理的应用逐渐扩展到其他领域，以至于各行各业，如电信业、软件开发业、制药业、金融业等等。在这种环境下，项目经理不再单纯是任务执行者，而要胜任更为广泛的工作并具有一定的管理技巧。他们不仅要实施方案，还要管理合同、熟悉财务并和客户一起工作。项目管理的内容也有了较大的扩展，增加了以下几点：

(5)质量管理(Quality Management)——确保项目满足客户需要的质量，主要包括质量计划、质量保证和质量控制[7]。

(6)沟通管理(Comunication Management)——确保项目相关信息能及时、准确地得到处理，包括沟通计划的制定、信息传递、过程实施报告和评估报告。

(7)风险管理(Risk Management)——确保项目能够成功实现，需进行风险的识别、度量、响应和控制。

(8)采购管理(Procurement Management)——确保项目所需的外界资源得到满足，包括采购计划、询价、资源选择、合同的管理和终结。

(9)综合管理(Integration Management)——确保项目各要素的协调工作，包括项目计划的制定和执行、项目整体变化控制。

现代项目管理所包含的9个内容，构成了美国项目管理协会PMI所指的项目管理知识体系PMBOK(Project Management Body of Knowledge)。目前，PMBOK已被世界项目管理界公认为一个全球性标准，我国目前的项目管理研究都是基于其上的本地化探讨研究。但是项目管理是一门实践性很强的工作，且各行各业都有着其本身的项目管理的不同特点、不同流程，这决定了项目管理研究应用当前在中国还只是培训接受和尝试应用的过程。项目管理真正成熟的应用主要集中在外资大型项目或者是国家大型项目的管理上或者在智力密集型软件行业中。

(二)项目管理决策采用线性约束规划的原因

任何一个项目管理系统，为了进行自己的管理活动，都拥有一定的资源，如人力、物资、设备、资金、工时等。项目管理工作的根本任务就是在于科学地组织各项管理活动，以使这些资源得到最充分的利用，从而取得最大的经济效益。项目管理活动所涉及的范围很广，如经营规划的制定，生产任务的安排，原材料的利用，配料比的选取，人员的分配，物资的调运等。在所有的这些活动中，都存在一个如何做到精打细算，合理使用资源，以提高经济效益的问题，即所说的管理优化问题。

基于实际项目管理工作中出现的问题一项目的多样性和复杂性，项目管理工作量大，人员配备的知识层次、经验水平层次不齐，各级

主管不能自如有效监控所有项目执行情况，屡有“救火队”现象困扰等等，急需用线性约束规划方法对项目进行管理，本研究基于项目管理的知识体系和现有的项目管理流程，仔细研究现有的项目管理模型并加以优化，并结合现实的问题和监控要求，着力建立起一个线性规划模型，增加项目管理的透明，利于高阶项目主管的常态跟踪和适时必要的提醒，减少项目管理的风险。

本研究着力采用线性约束规划对项目进行管理，设法使项目管理工作流程化，简洁化和具备提醒功能和快速报告功能。项目管理基于输入信息的基础上，使项目管理执行过程成为监控和修正的过程。

(三)如何实现线性约束规划在项目管理最优化决策中的应用

运用线性规划解决项目管理的问题就是用数学语言表达(即数学模型)，通过建网，建库．查询，数据采集．文件转换等[8]，把整个系统的各有关部分的特性进行量化，建立数学模型，然后把建好的数学模型编制成计算机语言程序[9]，输入数据，进行计算，分析对比最后做出最优化的决策。运用线性规划将定性问题转化为定量问题，使项目的管理具有足够的科学依据[10]。

三．实证分析

本文将线性规划法运用到项目管理中的人员配备问题中进行实证分析。

(一)项目简介

S公司是一个生产加工企业，在生产过程中其生产线需要24小时连续运转。在生产线上工作的工人们每工作4个小时就需要进餐和

休息2小时，然后再上班工作4小时，合计工作8小时后下班，休息14小时后再上班。注：为了保持生产的连续性，每个时段都至少要有一个班组的人员要留下来跟踪关键工艺流程2个小时。其中，生产 线上各个时段需要完成的工作时间数量如表一所示：

该公司的目标是在工作顺利进行的情况下能够配备最少的员工，以达到人员工作效率的最大化。

(二)建立线性规划模型

首先确定决策变量，根据上述所说的条件将各班次需要配备的工人数做为决策变量，xl,x2,x3,x4,x5,x6,x7，由于每个时段都至少要有一个班组的人员留下来跟踪关键工艺流程2个小时，于是可以建立如下的线性规划模型：

目标函数：minZ=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7

约束条件：4x1+2x2+4x6+2x7=596

2x2+2x3+2x7 =304

4x1+2x2+2x3+2x7=492

2x2+2x3+4x4 =366

2x3+2x4=202

2x4+4x5+2x6 =412

4x5+2x6+2x7= 404

x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7≥0

(三)线性模型求解

在前面已经提到了一些线性规划的求解方法，本案例中主要采用EXCEL规划求解。“规划求解”是Excel工作表软件的一个加载工具

[11]，用于解决复杂的方程求值及各类线性或非线性有约束优化问题，省去

了人工编制程序和手工计算的麻烦。

l、根据建好的模型将初始数据输到EXCEL表格中，如表一所示：

2、运用EXCEL规划求解工具设定规划求解参数，如图二所示：

3．运用EXCEL规划求解工具求解得出最终解，如表三所示：

由图三的最终结果可以清晰的看出该企业第一班次需要员工47人，第二班次：55人，第三班次：74人，第四班次：27人，第五班次：58人，第六班次：63人，第七班次：23人。因最终人数应为整数，所以该企业在生产线正常运转的情况下应该最少配备347名工人。 四．结论

线性规划理论虽然并不深奥[12]，它只是整个优化理论和运筹学理论中的一小部分，但是它却是一种基础性、应用性非常强、应用效果非常显著的理论。该理论是在满足企业内、外部的条件下，实现项目管理目标和极值(极小值和极大值)问题，就是要以尽少的资源输入来实现更多的社会需要的产品的产出[13]。因此，线性规划理论是项目管

理中十分有利的工具，它在辅助企业经营决策、计划优化等方面具有重要的作用。本文通过对线性规划模型的介绍通并且过具体案例来说明线性规划在项目管理中的应用，采用了Excel的“规划求解”的功能来对线性规划问题进行求解，为企业决策提供了科学方法，具有较大的使用价值。

参考文献

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