导数的概念
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
教学目标:
1. 知识与技能目标
(1)通过实例分析,理解平均变化快慢程度(平均变化率)、瞬时变化快慢程度(瞬时变化率)的概念;了解这两个概念之间的关系;
(2)通过导数概念的形成过程,了解导数概念的实际背景,体会导数的思想及内涵;
(3)通过观察和动手实践培养学生的分析、比较和归纳能力,并感悟到极限思想的神奇之处。
2. 过程与方法目标
(1)通过问题的探究,体会逼近、类比、以已知求未知、从特殊到一般的数学思想方法;
(2)通过问题的探究,培养学生的探究意识与探究方法。
3. 情感、态度与价值目标
(1)通过导数概念的学习,体验和认同“有限和无限对立统一”的辩证观点;
(2)通过了解导数产生的历史及它在实际生活、生产和科研中的广泛应用及巨大作用,认识学习导数的必要性,从而激发学生学习导数的兴趣。
教学重点:
导数概念的形成过程及导数的定义内涵,八个基本求导公式.
教学难点:
对函数导数的概念的理解.
教学方法:设疑----点拨----引导----探究---- 结论
课 型:单一型
课 时:2学时
教学过程:
一、引例
以运动会运动项目开题,吸引学生。
1.奇怪的平均速度
学生课堂活动:全体学生计算平均速度,之后,找学生回答计算结果。 课堂效果:引起学生的好奇,让学生带着问题走进课堂,激发学生的求知欲。 教师课堂活动:抛出三个思考题。
学生课堂活动:找一学生回答,其他学生补充。
教师课堂活动:教师总结,引入新课。
2.变速直线运动的瞬时速度
教师课堂活动:教师讲解、启发。
学生课堂活动:在教师启发下,全体学生笔练,一学生上讲台板演。 教师课堂活动:教师评价、讲解学生板演过程。
课堂效果:培养学生的探究意识和探究方法,培养学生的动手能力。 设有一质点作变速直线运动,其运动方程为s s (t ) ,求该质点在x 0时刻的瞬时速. 教师课堂活动:把问题推向一般,引导学生分组讨论。
学生课堂活动:学生分组讨论,推举代表展示讨论结果。
教师课堂活动:总结、评价学生讨论结果,引导学生得出导数极限式。
课堂效果:搭建平台,自主交流,培养了学生分工合作意识和由特殊到一般的数学思维方法。 结论:v (t 0) =lim
2.切线斜率问题
设平面曲线Γ的方程为y =f (x ) ,求此曲线上点M 0处的切线的斜率k .
教师课堂活动:教师讲解要点,点明本节课题。
结论:k =tan α=lim s (t +∆t ) -s (t 0) ∆s =lim 0 ∆t →0∆t ∆t →0∆t f (x 0+∆x ) -f (x 0) ∆y =lim ∆x →0∆x ∆x →0∆x
二、导数的概念
课堂效果:水到渠成,揭示本质。
教师课堂活动:抛开具体问题的实际意义,仅仅抓住在数量关系上的本质和特性,抽象出导数的定义。
课堂效果:由签入深,由易到难,由特殊到一般,完成思维的飞跃。
学生课堂活动:全体学生根据教师的叙述,整理出导数定义。
教师课堂活动:板书导数定义。
1.函数在某一点处的导数
定义1 f (x 0) =lim
' ' f (x 0+∆x ) -f (x 0) ∆y =lim ∆x →0∆x ∆x →0∆x dy df (x ) |x =x 0, |x =x 0. dx dx 记作 y |x =x 0,
注意 (1)函数f (x ) 在点x 0处可导,也称函数f (x 0) 在点x 0处具有导数或导数存在.
(2)如果极限不存在,就说函数在点x 0处不可导.
(3)导数的定义式的具有不同的表示形式,常见的有
f ' (x 0) =lim f (x 0+h ) -f (x 0) ∆y =lim h →0∆x h →0h
f ' (x 0) =lim f (x ) -f (x 0) ∆y =lim ∆x →0∆x x →x 0x -x 0
(4)瞬时速度v (t 0) =f '(x 0) ;切线的斜率k =f '(x 0) .
例1 设f (x ) =x ,求2dy (教师讲解) dx x =1
2.函数在一点处的左、右导数
定义2 f -(x 0) =lim -∆x →0' f (x 0+∆x ) -f (x 0) ∆x
f +(x 0) =lim +∆x →0' f (x 0+∆x ) -f (x 0) ∆x
3.函数在某一点处导数存在的充要条件
定理1 f '(x 0) 存在⇔f -' (x 0) 和f +' (x 0) 都存在
例2 判断函数y =|x |在x =0处的可导性.
4.导函数的定义
定义3 y ' =lim f (x +∆x ) -f (x )
∆x
' ∆x →0 ' 记作 y ,f (x ), dy df (x ) 或 dx dx
注意 (1)在上式极限过程中x 是常量.
(2)f (x 0) =f ' (x ) |x =x 0
5.求导数举例
学生课堂活动:总结利用定义法求导的一般步骤。
定义法求导数的一般步骤:(1)求增量 (2)算比值 (3)取极限
例3 求下列函数的导数:
(1)f (x ) =C (C 为常数) (2)f (x ) =x n (n ∈N +)
(3)f (x ) =a (a >0, a ≠1) (4)f (x ) =log a x (a >0, a ≠1)
(5)f (x ) =sin x ((2)-(5)直接给出结果)
注意 总结出八个基本求导公式
三、导数的几何意义
切线方程 y -f (x 0) =f ' (x 0)(x -x 0)
法线方程 y -f (x 0) =-x ' 1(x -x 0) ' f (x 0)
注意 (1)若f ' (x 0) =0,则切线方程为y =f (x 0) ,法线方程为 x =x 0;
(2)若f ' (x 0) =∞,则切线方程为x =x 0, 法线方程为 y =f (x 0) .
例5 求曲线y =e 在点(0,1)处的切线方程及法线方程.
例6 求双曲线y =x 11在点(, 2) 处的切线方程及法线方程.(课堂练习) 2x
四、函数的可导性与连续性的关系
定理2 如果函数y =f (x ) 在点x 0处可导,则函数y =f (x ) 在点x 0处连续.
注意 可导必连续,但连续不一定可导,而不连续一定不可导.
例7 证明:函数y =|x |在x =0处连续但不可导.
⎧e x x
⎩a +bx x ≥0
连续且可导?(课堂练习)
课堂小结:本节课需要重点掌握的内容是:理解函数导数的定义;理解函数导数的几何意义;知道可导性与连续性的关系;熟记从例3中总结出的八个基本求导公式.
课后练习:课后习题 (P 64习题2-1)
教学后记:本节导数的定义难度大,因此采用以下授课方法效果较好:
1. 一个定义跟随一个例题的方法,使定义更加直观。
2. 抓住导数在数量上的本质与特性,深入知识的内部,对导数的定义透彻讲解。
3.注重对学生的启发诱导。