LC回路中电磁振荡的规律及周期和频率
LC 回路中电磁振荡的规律及周期和频率
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由自感线圈L 和电容器C 组成的电路，称为LC 回路，又称振荡电路．在LC 回路中，通过电容器的充电和放电及振荡线圈阻碍电流变化的作用，线圈中形成了周期性变化的振荡电流，电容器极板间形成了周期性变化的电荷，与电荷、电流对应的电场及磁场也做周期性变化．这种现象叫做电磁振荡．
一、LC 回路的电磁振荡规律
1. 电荷q 、电流i 随时间t 的变化规律及两者之间的关系
图1甲是电容器极板上电荷q 随时间t 做周期性变化的情况．图1乙是线圈中的电流i 随时间t 做周期性变化的情况，若电荷q 是按余弦(或正弦) 规律变化的．电流i 则按正弦（或余弦）规律变化．二者之间是互余的的关系（如图1所示）．— 因回路中的电荷一定，故当电容器极板上“聚集”电荷最多时，线圈中“流过”的电荷为零――电流为零，即
q =q max 时，i =0；当电容器
甲
极板上“聚集”电荷减少（放电）时，线圈中“流过”的电荷增多――电流增大，即q ↓
⇒i ↑；反之，当电容器极板
上“聚集”电荷最少时，线圈中“流过”的电荷最多――电流最大．即q =0时, i =i m ax ；而当电容器极板上“聚集”的
乙
图1
电荷增多（充电）时，线圈中“流过”的电荷减少――电流减小，即q ↑⇒i ↓． 2. 电场能与磁场能的变化关系
电磁振荡的过程实质上是电容器中的电场能和自感线圈中的磁场能相互转化的过程，若LC 回路中没有能量损失，在能量相互转化时，保持守恒．磁场能最弱时电场能最强，反之亦然．而且，电容器上的电荷q 、电压u 、两极板间的场强及电场能的变化步调一致，同增同减，同时达到最大或同时为零．而线圈中的电流i 、磁感应强度B 及磁场能的变化步调一致，同增同减，同时达到最大或同时为零．
例1.LC 回路电容器两端的电压u 随时间t 变化的关系如图2所示，则（ ） A. 在时刻t 1，电路中的 电流最大
B. 在时刻t 2 ，电路中的磁场能最大 C. 从时刻t 2至 t 3，电路中的电场能不断增大
D. 从时刻t 3 至t 4，电容器的带电量不断增多
解析：由LC 回路电磁振荡规律及图示可知，t 1时刻电容器两端电压u 最高⇒电容器极板上所带电量q 最大⇒电路
图2
中振荡电流i 最小；在t 2时刻电容器极板上两端电压u 为零⇒电容器极板上所带电量q 为零⇒电路中振荡电流i 最强⇒
电路中的磁场能最大；在t 2至 t 3过程中，电容器两极板间电压u 在增大⇒电容器极板上所
带电量q 在增多⇒电场能不断增大；在 t 3 至t 4的过程中，电容器两极板间电压u 在减小⇒电容器极板上所带电量q 在减小．正确选项为B 、C
评注：这类问题应根据电荷与电流之间的变化关系判断．当q =q max 时，i =0; 且 q ↓
⇒i ↑；电容器上的电压u 、两极板间的场强及电场能与电荷q 变化步调一致．反之．当
且 q ↑⇒i ↓，而线圈中磁感应强度B 及磁场能与电流i 的变化步调一致． q =0时i =i m ax ；
例2．某时刻LC
A. 振荡电流i 在减小
B. 振荡电流i 在增大 C
C. 电场能正在向磁场能变化 D. 磁场能正在向电场能变化
解析：由图3中上极板带正电荷下极板带负电荷
荷及电流的方向可判断出正电荷在向正极板聚集，
图3
i
说明电容器极板上电荷在增加，电容器正在充电．电容器充电的过程中电流减小，磁场能向电场能转化．正确选项为A 、D ．
评注：要判断电流是在增大还是在减小，可先判断出电容器是在充电还是在放电，而判断电容器是在充电还是在放电，不能单纯地由电流的方向决定，还应结合电容器两极板上电荷的分布情况．
若图中电流的方向不变，而上极板带负电荷下极板带正电荷，则电容器是在放电（正、负电荷相互中和）
例3.LC 振荡电路中，某时刻磁场方向如图4所示，则下列说法中错误的是（ ） A. B. C. D.
若磁场正在减弱，则电容器上极板带正电 若电容器正在放电，则电容器上极板带负电
若电容器上极板带正电，则线圈中电流正在增大
若电容器正在放电，则自感电动势正在阻碍电流增大
解析：由电流的磁场方向根据安培定则可判断出振荡电流在 回路中为顺时针方向，由于电容器极板的带电情况未知，必须 设出电容器带电的两种情况并结合电流的变化情况综合进行讨论．
若该时刻电容器上极板带正电，则电容器在充电，电流减小，
图4
磁场减弱；若该时刻电容器上极板带负电，则电容器在放电；若电容器正在放电，则电荷减小，电流增大，由愣次定律知自感电动势阻碍电流增大．错误选项为C ．
评注：该题考查了安培定则、电磁振荡的规律及愣次定律，且电容器极板的带电情况未标明，故该题具有一定难度．
例4. 如图5所示电路中，L 是电阻不计的线圈，C 为电容器，R 为电阻，开关S 先是闭合的，现将开关S 断开，并从这一时刻开始计时，设电容器A 极板带正电时电荷为正，则电容器A 极板上的电荷q 随时间t 变化的图像是图6中的哪一个（ ）
S 图5 B
R
A
B
图6 C
D
解析：开关S 闭合时，线圈中有自左向右的电流通过，由于线圈的电阻为零，线圈及电容器两端的电压为零．LC 回路的起始条件是线圈中电流最大，磁场能最大，电容器两极板的电荷为零，电场能为零．
断开开关S 时，线圈中产生与电流方向相同的自感电动势，阻碍线圈中电流的减小，使LC 回路中电流方向沿瞬时针方向流动，从而对电容器充电，B 板带正电，A 板带负电，电荷逐渐增加，经
T 4
电量达最大，这时LC 回路中电流为零，由此可推知，电容器A 极板
上的电荷q 随时间t 变化的图像是B 图．答案为B
评注：该题中LC 回路产生电磁振荡的初始条件是线圈中电流最大，磁场能最大，电容器两极板的电荷为零，电场能为零．这种方式是先给回路提供磁场能．如果LC 回路的初始条件为电容器极板上的电量最大，而线圈中的电流为零，则电场能最大，磁场能为零．这种方式是先给回路提供电场能．
二、电磁振荡的周期和频率
电磁振荡完成一次周期性变化需要的时间叫做周期．一秒钟内完成的周期性变化的次数叫频率．如果没有能量损失，也不受其他外界的影响，这时电磁振荡的周期和频率叫做振荡电路的固有周期和固有频率．简称振荡电路的周期和频率．其公式分别为：
T=2π
f =
两者之间是互为倒数的关系，即T=
1f
例5.LC 振荡电路的固有频率为f ，则（ ） A. 电容器内电场变化的频率为f B. 电容器内电场变化的频率为2f C. 电场能和磁场能转化的频率为f D. 电场能和磁场能转化的频率为2f
解析：电场能和磁场能是标量，只有大小在做周期性变化．所以电场能和磁场能转化的
周期是电磁振荡周期的一半，转化的频率为电磁振荡频率的两倍．而电容器内电场变化
的频率等于电磁振荡的频率．正确选项为A 、D ．
评注：LC 回路中的振荡电流、电压、电场强度、磁感应强度的方向和电容器极板上电荷的电性在电磁振荡的一个周期内改变两次．它们的频率与电磁振荡的固有频率相同．
-2
例6. 如图7所示，LC 回路中振荡电流的周期为2×10s ，自振荡电流沿逆时针方向达最大值时开始计时，当t ＝3.4×10-2s 时，电容器正处于
C L _______状态（填“充电”、“放电”、“充电完毕”或“放电完毕”）．这时电容器的上极板________(填“带正电”、“带负电”或“不带电”) ． 解析：设t=3.4×10s ＝2×10s ＋1.4×10s ＝T+t′， 则
-2
-2
-2
T 2
＜t ′＜
图7
3T 4
，且t 时刻和t ′时刻电路的振荡状态
相同．做出振荡电流i －t 图象如图8，可知在T 2
～
3T 4
时间
内，电流减小，电容器所带电荷增加，电容器处于充电状态，此时电流方向为顺时针方向，可判断出电容器的上极板带正电．答案：充电、带正电
评注：根据电磁振荡具有周期性特点，在分析t ＞T 时刻的振荡情况时，可由变换式t ＝nT+ t′求得t ′（n 为正整数，0＜t ′＜T ），再分析t ′时刻的振荡状态．
图8
－