第一章集合与函数的概念系统总结
集合与函数的概念系统总结
定义:一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合
特征:确定性、互异性、无序性相关概念
列举法、描述法、Venn 图法 表示法: ∗
常用数集的表示法:N,N+,N ,Z ,Q ,R
属于:元素a 属于集合A ,记作a ∈A 集合与元素
不属于:元素a 不属于集合A ,记作a ∉A
定义:如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素,称集合A 是集 子集 合B 的子集,记作A ⊆B 或B ⊇A
关系性质:①A ⊆A; ②如果A ⊆B, B ⊆C ,那么A ⊆C 集合与集合 相等:如果A ⊆B ,且B ⊆A ,此时称集合A 与集合B 相等,记作A =B
定义:如果A ⊆B ,但存在x ∈B ,且x ∉A ,我们称集合A 是集合B
真子集 的真子集,记作A B 或B A
性质:如果A B ,且B C ,那么A C 定义:由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合,称为集合A 与集合B 的并
集合 集,记作A ∪B ,即A ∪B = x x∈A或x ∈B 并集
性质:①A ⋃B =B ⋃A ;②A ⋃A =A ;③A ⋃Φ=A ;④A ⊆ A⋃B ,B ⊆ A⋃B ;
⑤A ∪B =A ⇔B ⊆A ,A ∪B =B ⇔A ⊆B
定义:由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合,称为集合A 与集合B 的交 集,记作A ∩B ,即A ∩B = x x∈A且x ∈B 交集
性质:①A ∩B =B ∩A ;②A ∩A =A ;③A ∩Φ=Φ;④ A∩B ⊆A , A∩B ⊆B ; ⑤A ∩B =A ⇔A ⊆B ,A ∩B =B ⇔B ⊆A 运算
全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称 这个集合为全集,通常记作U 补集:对于一个集合A ,由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集 全集与补集 合A 相对于全集U 的补集,记作∁UA,即∁UA= x x∈U, 且x ∉A 性质:①A ∪∁UA =U; ②A ∩∁UA =Φ; ③∁U ∁UA =A; ④∁UΦ=U; ⑤∁UU =Φ 摩根定律:∁U A∪B = ∁UA ∩ ∁UB ; ∁U A∩B = ∁UA ∪ ∁UB 结合律:①A ∩ B∩C = A∩B ∩C; ②A ∪ B∪C = A∪B ∪C 运算律
分配律:①A ∩ B∪C = A∩B ∪ A∩C ; ②A ∪ B∩C = A∪B ∩ A∪C 定义:设A ,B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任
意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数f x 和它对应,那么就称f:A ⟶B 为
从集合A 到集合B 的一个函数,记作y =f x , x ∈A
三要素:对义域、对应关系、值域
函数的表示法:列表法、图象法、解析法
函数及其相关概念
函数相等:如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则这两个函数相等 区间:闭区间;开区间;半开半闭区间
无穷大:正无穷大;负无穷大 实数集可表示为 −∞,+∞
映射:设A ,B 是非空的集合,如果按照某一确定的对应关系f ,使对于A 中的任一个
元素,在B 中都有唯一确定的元素y 与之对应,则称f:A ⟶B 为从A 到B 的映射
增函数:一般地,设函数f x 的定义域为I ,如果对于定义域I 内某个区间D 上任意两个自 量的值x1,x2,当x1
是增函数。
减函数:一般地,设函数f x 的定义域为I ,如果对于定义域I 内某个区间D 上任意两个自单调性
量的值x1,x2,当x1f x2 ,那么就说函数f x 在区间D 上
是减函数。
单调区间:如果函数f x 在区间D 上是增函数或减函数,那么就说y =f x 在这一区间D 上
性质
具有严格的单调性,区间D 叫做函数y =f x 的单调区间。
最大值:设函数y =f x 的定义域为I ,如果存在实数M 满足: 1 对于任意的x ∈I ,都有
f x ≤M; 2 存在x0∈I,使得f x0 =M,那么称M 是y =f x 的最大值。 最值
最小值:设函数y =f x 的定义域为I ,如果存在实数M 满足: 1 对于任意的x ∈I ,都有
f x ≥m; 2 存在x0∈I,使得f x0 =m,那么称M 是y =f x 的最小值。
偶函数:如果对于函数f x 的定义域内任意一个x ,都有f −x =f x ,那么f x 是偶函数 奇偶性
奇函数:如果对于函数f x 的定义域内任意一个x ,都有f −x =−f x ,则f x 是奇函数
方法归纳总结
1、判断集合与元素的关系
首先要明确集合中元素的特征,其次要看元素是否满足集合中元素的公共属性,满足即为属于关系,不满足即为不属于关系。
2、集合的表示
列举法是把集合中的元素一一列举出来,它适合元素较少或元素较多但有一定的规律性的情况;描述法把集合中的元素所具有的特征性质表示出来,具有抽象、概括、普遍性的特点;Venn 图表示集合的好处在于易引起清晰的视觉形象,能直观地表示集合中元素的构成以及集合间的关系。在表示集合时,应根据具体问题确定采用哪种表示法。
3、判断集合相等
对于元素较少的有限集,可用列举法将元素列举出,说明两个集合中的元素完全相同,从而得出集合相等;若为无限集,则需要同是说明A ⊆B, B ⊆A 。
4、有限集合的子集个数
若有限集合A 中有n n∈N∗ 个元素,则集合A 的子集个数为2n,真子集的个数为2n−1,非空子集的个数为2n−1,非空真子集的个数为2n−2。
5、空集
空集是一个特殊且重要的集合,它不含有任何元素,在解题过程中容易被忽视,特别是在题设中隐含有空集参与的集合问题时,往往忽视空集的特殊性而导致错误。
6、集合子集的写法
在写集合的子集和真子集时,一般是按照集合中元素的个数的多少,遵循由少到多的原则,这样做可以做到不重不漏。需要特别注意的是,空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,因此,在写集体的子集和真子集的时候,不要遗漏空集。
7、集合中字母参数范围的求解
对于已知集合间的关系求参数的问题,一般是先观察集合间元素的关系,再列方程(组)或不等式(组)求解。另外,在处理含有参数的集合问题时,要注意对结果进行检验,以满足集合中元素的互异性。
8、集合的基本运算口诀 交集元素仔细找,属于A 且属于B ;并集元素勿遗漏,切记重复仅取一;全集U 是大范围,U 中去掉A 元素,剩余就成A 补集。
9、补集思想
在解答一些较复杂的问题时,如果从正面直接解决情况较多、比较复杂,可以用“补集”的思想,考虑问题的反面,再求结果的补集,从而可以较简便地解答。
10、一般函数的定义域的求法 (1)f x 为整式时,定义域为R ;
(2)f x 为分式时,定义域为使分母不为零的实数的集合;
(3)f x 为二次根式(偶次根式)时,定义域为使被开方数非负的实数的集合;
(4)如果函数是一些基本函数通过四则运算结合而成的,那么它的定义域是各基本函数定义域的交集; (5)由实际问题建立的函数,其定义域还要符合实际意义。 11、复合函数定义域的求法
(1)函数f x 的定义域是指x 的取值范围所组成的集合;
(2)函数f g x 的定义域还是指x 的取值范围,而不是g x 的范围;
(3)已知f x 的定义域为A ,求f g x 的定义域,其实质是已知f g x 中的g x 的取值范围是A ,求出x 的取值范围;
(4)已知f g x 的定义域为B ,求f x 的定义域,其实质是已知f g x 中的x 的取值范围为B ,求出g x 的范围(值域),此范围就是f x 的定义域;
(5)同在对应法则f 下的范围相同,即f t ,f g x ,f x 三个函数中的t ,g x ,h x 的范围相同。 12、函数值域的求法 (1)观察法(直接法):有的函数的结构并不复杂,可以通过基本函数的值域及不等式的性质直接观察出函数的值域。
(2)配方法:对二次函数型的解析式先进行配方,并充分注意到自变量的取值范围,利用求二次函数值域的方法求函数的值域。
(3)图象法:先作出函数的图象,采用数形结合的方法求得函数的值域;一般求分段函数的值域常用此法。 (4)判别式法:将函数的解析式转化为自变量x (或某个代数式)的一元二次方程,利用一元二次有实根的条件是判别式∆≥0,得到关于y 的不等式,解此不等式即可得值域。此法常用于一些“分式”函数、“无理”函数等,应用时要特别注意自变量的取值范围。
(5)换元法:通过对函数的解析式进行适当换元,可将复杂的函数化归为几个简单的函数,从而利用基本函数的取值求函数的值域。用换元法求函数值域时,要注意换元后,辅助元(也叫中间变量)的取值范围。形如y =ax +b ± , b, c, d均为常数,ac ≠0 的函数常用此法。
(6)分离常数法:形如y =ax+b a≠0 的函数,经常采用分离常数法,将ax+b再结合x 的取值范围确定ax+b的取值范围,从而确定函数的值域。
(7)函数单调性法:如果函数是单调函数且定义域是一个闭区间,那么函数的最大(小)值就是定义域所对应的闭区间两端点的函数值之一。
(8)反表示法。
(9)中间变量值域法。 13、函数解析式求法
(1)待定系数法:当已知函数f x 的类型时,要求函数f x 的解析式,可先由其类型设出解析式,然后根据已知条件列方程(组)求解。如已知f x 为一次函数,可设其解析式为f x =kx +b k≠0 ,将已知条件代入,列出关于k 和b 的方程组,求出k 和b 的值。
(2)配凑法:已知f g x 的解析式,要求f x 的解析式时,可从f g x 的解析式中配凑出“g x ”,即把“g x ”作为整体来表示,再将解析式两边的g x 都用x 代替即可。
(3)换元法:已知f g x 的解析式,要求f x 的解析式时,可令t =g x ,等价变换为用t 表示x 的解析式,然后求出f t 的解析式,最后用x 代替等式两边所有的t 即可。 d−
bca
cbcax+b +d−aa
cx+dcx+d
ax+b
=a+ax+bc
d−
bc
a
(4)方程组法:当关系式中同时含有f x 与f −x 或f x 与f x时,常将原式中的x 用-x 或x到另一个同时含有f x 与f −x 或f x 与f 的关系式,将这两个关系式联立,解方程组求出f x 。
x
(5)特殊值法:给自变量赋予特殊值,观察规律,从而求出函数的解析式。 14、分段函数
分段函数是一个函数而不是几个函数,处理分段函数问题时,首先要确定自变量的取值属于哪一个区间段,从而选择相应的对应关系。作分段函数图象时,应根据不同定义域上的解析式分别作出。
15、证明或判断具体函数单调性的方法
证明函数的单调性一般只能用定义法,而判断函数单调性方法较多。如下: (1)定义法:用定义法证明或判断函数y =f x 的单调性的步骤是: 第一步:取值,在指定区间任取x1,x2,且令x1
第三步:定号,对变形后的差进行判断,确定f x1 −f x2 (或f x2 −f x1 )的符号,若不能直接确定差的符号,通常情况下还需要讨论或再细分区间,直到可以确定差的符号为止;
第四步:判断,判断函数究竟符合增函数还是减函数的定义,从而得出结论。 (2)图象法:先作出函数的图象,利用图象就可以直观地判断函数的单调性。
(3)直接法:对于我们熟悉的一次函数、二次函数、反比例函数等,直接判断出其单调性。 (4)重要结论:
①函数y =f x 与函数y =−f x 的单调性相反;
②函数y =f x 与函数y =f x +c(c 为常数)的单调性相同;
③当c >0时,函数y =f x 与函数y =cf x 的单调性相同;当c
④若f x ≥0,则函数y =f x 与函数y = fx,y =f2 x 的单调性相同; ⑤若f x >0 或
1
f x
1
11
⑥若f x ,g x 的相同的单调性,则f x +g x 与f x ,g x 的单调性相同;
⑦若f x ,g x 有相反的单调性,则f x −g x 与f x 的单调性相同,与g x 的单调性相反;
⑧若f x >0,g x >0,且在公共区间上都是增(减)函数,则y =f x ∙g x 在此公共区间上是增(减)函数;若f x
16、求复合函数y =f g x 的单调性的步骤
①将复合函数分解成y =f u ,u =g x ;②分别确定这两个函数的定义域和单调区间;③若这两个函数在对应的区间上的单调性相同,则y =f g x 为增函数;若这两个函数在对应的区间上的单调性相反,则y =f g x 为减函数。
17、函数奇偶性的判断方法
(1)定义法:用定义证明(判断)函数奇偶性的一般步骤: 首先确定函数的定义域,验证函数y =f x 的定义域是否关于原点对称。若否,函数y =f x 是非奇非偶函数。若是,继续判断f −x =±f x 之一是否成立。若f −x =f x ,则y =f x 是偶函数;若f −x =−f x ,则y =f x 是奇函数;若f −x =±f x 都不成立,则y =f x 是非奇非偶函数;若f −x =±f x 都成立,则y =f x 即是奇函数,又是偶函数。
也可利用等价命题判断,
即f −x +f x =0 或
f −x f x
=−1 f x ≠0 ⇔f x 是奇函数;f −x −f x =0 或
f −x f x
=1 f x ≠
0 ⇔f x 是偶函数。
(2)图象法:图象关于原点对称⇔ f x 是奇函数;图象关于y 轴对称⇔ f x 是偶函数。 (3)性质法:在定义域的公共部分内,两个奇函数的和或差仍是奇函数;两个偶函数的和或差仍是偶函数;两个奇函数之积(或商)为偶函数;两个偶函数之积(或商)为偶函数;一奇一偶函数之积(或商)为奇函数(注:取商时就使分母不为0)。
18、复合函数y =f g x 的奇偶性
对于复合函数F x =f g x ,若g x 为偶函数,f x 为偶函数,则F x 为奇函数;若g x 为奇函数,f x 为偶函数,则F x 为奇函数;若g x 为奇函数,f x 为偶函数,则F x 为偶函数;若g x 为偶函数,f x 为奇函数,则F x 为偶函数。
19、奇、偶函数的几个重要结论
(1)在保证定义域关于原点对称的前提下,函数y =kf x ,y =f x f x ≠0 与y =f x 的奇偶性相同。 (2)若f x 是具有奇偶性的单调函数,则奇(偶)在正负对称区间上的单调性相同(反)的,简称为“奇同偶异”。
(3)若f x 的定义域关于原点对称,则F x =f x +f −x 是偶函数,G x =f x −f −x 是奇函数。
(4)若f x 的定义域关于原点对称,则f x 可以表示成如下形式:f x = f x +f −x + f x −f −x ,
2
2
1
1
k
这个式子的特点是:右边是一个偶函数与一个奇函数的和。所以任意一个定义域关于原点对称的函数都可以写成一个偶函数与一个奇函数的和。
练习题
1、已知f x 的定义域为 −2,4 ,函数g x =f x2 +f 1−x 的定义域为。
2、设f x 为y =−x +6和y =−x2+4x+6中较小者,则f x 的最大值为。
3、已知2f x +f x =−x x≠0 ,求f x 的解析式。
4、设集合A = x x2+4x=0 ,B = x x2+2 a+1 x+a2−1=0 (1)若A ∩B =B ,求实数a 的值; (2)若A ∩B =A ,求实数a 的值。
1
5、已知f x 是实数集R 上的奇函数,当x >0时,f x =−2x2+3x+1,求 (1)f 0 ;
(2)当x
6、设f x 是定义在实数集R 上的偶函数,且在 −∞,0 上是减函数,又f 2a2+a+1 >f 3a2−2a+1 ,求实数a 的取值范围。
7、已知函数f x =
ax+b1+x2
−1,1 上的奇函数,且f 2=5。
12
(1)确定函数f x 的解析式;
(2)用定义法证明f x 在 −1,1 上是增函数; (3)解不等式f t−1 +f t