特殊四边形的证明证明

证明

1．平行四边形的识别方法：

(1) 两组对边分别平行的四边形是平行四边形． (2) 两组对边分别相等的四边形是平行四边形． (3) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． (4) 两组对角分别相等的四边形是平行四边形． (5) 对角线互相平分的四边形是平行四边形．

eg ：1. 已知：如图，□ABCD 中，点E 、F 在对角线AC 上，且AE ＝CF ．

求证：四边形BEDF 是平行四边形．

课堂练习

一、选择题

1. 如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ∥BC ，AC 、BD 相交于点0．若AC=6，则线段AO 的长度等于_______．

2. 已知□ABCD 的周长为32，AB=4，则BC=（ ）

A. 4 B. 12 C. 24

D. 28

3. 在平面直角坐标系中，□ABCD 的顶点A 、B 、C 的坐标分别是（0，0）、（3，0）、（4，2）则顶点D 的坐标为（ ） A ．（7，2） B. （5，4） C. （1，2） D. （2，1）

4. 如图，在平行四边形ABCD 中，∠B ＝80°，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，CF ∥AE 交AE 于点F ，则∠1＝（ ）

A

F

D

1

B

E

A ．40° B ．50° C ．60° D ．80°

5. 如图，在平行四边形ABCD 中，∠B=80°，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，CF ∥AE 交AE 于点F ，则∠1=（ ）

A 、40°

B 、50° C 、60°

D 、80°

6. 将一张平行四边形的纸片折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积．则这样的折纸方法共有（ ）

A 、1种

B 、2种 C 、4种

D 、无数种

7. 如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH （不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm 2，四边形ABCD 面积是11cm 2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（ ）

A ．48cm

B ．36cm C ．24cm

D ．18cm

8. 如图所示，在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，且AB ≠AD ，则下列式子不

正确的是（ ）

A. AC ⊥BD

B. AB =CD

C. BO =OD

D. ∠BAD =∠BCD

二、填空题

1. 已知□ABCD的周长为28，自顶点A 作AE ⊥DC 于点E ，AF ⊥BC 于点F ．若AE ＝3，AF ＝4，则CE —CF ＝（ ） 3. 如图，▱ABCD ，E 是BA 延长线上一点，AB=AE，连接CE 交AD 于点F ，若CF 平分∠BCD ，AB=3，则BC 的长为 6 ．

4. 如图，在□ABCD中，AB ＝3，AD ＝4，∠ABC ＝60°，过BC 的中点E 作EF ⊥AB ，垂足为点F ，与DC 的延长线相

交于点H ，则△DEF 的面积是

.

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5. 在6. 在

ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，则

ABCD 的周长为

．

ABCD

中，∠A=110°，则∠D=．

7. 已知□ABCD的周长为28，自顶点A 作AE ⊥DC 于点E ，AF ⊥BC 于点F . 若AE =3，AF =4，则 CE -CF = . 8. 如图，在□ABCD 中，点E 、F 分别在边AD 、BC 上，且BE ∥DF ，若∠EBF ＝45°，则∠EDF 的度数是度．

9. 已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，则图中相似的三角形有

三、解答题

1）如图，四边形ABCD 是平行四边形，EF 分别是BC 、AD 上的点，∠1=∠2.

求证：△ABE ≌△CDF .

解答：证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠B=∠D ，AB=CD， ∴在：△ABE 与△CDF 中，

⎧∠1=∠2

⎪

⎨AB =CD ⎪∠B =∠D ⎩

∴△ABE ≌△CDF （ASA ）

2. 如图，在▱ABCD 中，E 、F 为对角线BD 上的两点，且∠BAE=∠DCF ．求证：BE=DF．

解答：证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB=CD，∠ABE=∠CDF ， 又已知∠BAE=∠DCF ， ∴△ABE ≌△DCF ， ∴BE=DF．

点评：此题考查的知识点是平行四边形的性质与全等三角形的判定和性质，关键是证明BE 和DF 所在的三角形全等． 3. 如图，E 、F 是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的点，CE =AF ，请你猜想：线段BE 与线段DF 有怎样的关系？并对你的猜想加以证明.

解答：猜想：BE

DF .

证明： ∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴CB =AD ，CB ∥AD ∴∠BCE =DAF 在△BCE 和△DAF

⎧CB =AD

⎪

⎨∠BCE =∠DAF

⎪CE =AF ⎩

∴△BCE ≌△DAF ∴BE =DF ，∠BEC =∠DFA ∴BE ∥DF ，即 BE

DF .

4.

如图，在平行四边形ABCD 中，点P 是对角线

AC 上一点，PE ⊥AB ，PF ⊥AD ，垂足分别为E 、F ，且PE=PF，平行四边形ABCD 是菱形吗？为什么？

解答：解：是菱形．

理由如下：∵PE ⊥AB ，PF ⊥AD ，且PE=PF， ∴AC 是∠DAB 的角平分线， ∴∠DAC =∠CAE ，

∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴DC ∥AB ， ∴∠DCA=∠CAB ， ∴∠DAC=∠DCA ， ∴DA=DC，

∴平行四边形ABCD 是菱形．

点评：此题主要考查了菱形的判定，证明∠DAC =∠DCA 是解此题的关键．

5. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、BC 的中点，AC 与EF 相交于点O ． （1）过点B 作AC 的平行线BG ，延长EF 交BG 于H ；

（2）在（1）的图中，找出一个与△BHF 全等的三角形，并证明你的结论．

解答：解：（1）如图：

（2）结论：△BHF ≌△COF ．

理由是：∵AC ∥BH ，∴∠FBH=∠FCO ， 又∵BF=CF，∠BFH=∠CFO ，

∴△BHF ≌△COF （ASA ）．

6. 如图，E 、F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上的两点，BE ∥DF ．求证：BE=DF．

解答：证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴BC=AD，BC ∥AD ，…（2分） ∴∠ACB=∠DAC ，…（3分） ∵BE ∥DF ，

∴∠BEC=∠AFD ，…（4分） ∴△CBE ≌△ADF ，…（5分） ∴BE=DF．…（6分）

点评：本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质． 7. 在▱ABCD 中，E 、F 分别是AB ．CD 的中点，连接AF 、CE ． （1）求证：△BEC ≌△DFA ；

（2）连接AC ，当CA=CB时，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？并证明你的结论．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴BC=AD，∠B=∠D ，AB=CD， ∵E 、F 分别是AB ．CD 的中点， ∴BE=DF=AE=CF， 在△BEC 和△DFA 中， BE=DF，∠B=∠D ，BC=AD， ∴△BEC ≌△DFA ．

（2）答：四边形AECF 是矩形． 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ， ∵AE=CF，

∴四边形AECF 是平行四边形， ∵AC=BC，E 是AB 的中点， ∴CE ⊥AB ， ∴∠AEC=90°，

∴平行四边形AECF 是矩形．

8. .如图，E 、F 是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的点，CE =AF ，请你猜想：线段BE 与线段DF 有怎样的关系？并对你的猜想加以证明.

解答：猜想：BE

DF .

证明： ∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴CB =AD ，CB ∥AD ∴∠BCE =DAF 在△BCE 和△DAF

⎧CB =AD

⎪

⎨∠BCE =∠DAF

⎪CE =AF ⎩

∴△BCE ≌△DAF ∴BE =DF ，∠BEC =∠DFA ∴BE ∥DF ，即 BE

DF .

1

BE ． 2

9. 如图5所示，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝ 60°，DE ∥AC 交BC 的延长线于点E ．求证：DE ＝

A

D

B

C

E

图5

解答：∵ABCD 是菱形，

∴AD //BC ，AB ＝BC ＝CD ＝DA ．

又∵∠ABC ＝ 60°， ∴BC ＝AC ＝AD ． ∵DE ∥AC

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∴ACED 为平行四边形． ∴CE ＝AD ＝BC ，DE ＝AC ． ∴DE ＝CE ＝BC ， ∴DE ＝

1

BE ． 2

点评：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，而平行四边形的对边相等，由此可以得出相等的线段，可实现线段的等量代换（转移），这就为证明线段相等或倍、分关系创造了条件．

10. 如图，已知D 是△ABC 的边AB 上一点，CE ∥AB ，DE 交AC 于点O ，且OA =OC ，猜想线段CD 与线段AE 的大小关系和位置关系，并加以证明．

解答：线段CD 与线段AE 的大小关系和位置关系是：平行且相等． 证明：∵CE ∥AB ， ∴∠DAO =∠ECO ， ∵OA =OC ， ∴△ADO ≌△ECO ， ∴AD =CE ，

∴四边形ADCE 是平行四边形， ∴CD ∥AE ，CD =AE ．

11. 如图，在▱ABCD 中，E ，F 分别是BC ，AD 中点． （1）求证：△ABE ≌△CDF ；

（2）当BC=2AB=4，且△ABE

，求证：四边形AECF 是菱形．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB=DC，AD=CB，∠B=∠D ， ∵E ，F 分别是BC ，AD 中点， DF=

11

2DA ，BE=2

错误！未找到引用源。CB ， ∴DF=BE，

∵AB=DC，∠B=∠D ， ∴△ABE ≌△CDF ．

（2）证明：

过A 作AH ⊥BC 于H ，

∵BC=2AB=4，且△ABE

错误！未找到引用源。， ∴BE=AB=2，

1

2

错误！未找到引用源。×EB×

， ∴

，

∴

错误！未找到引用源。， ∴∠B=60°， ∴AB=BE=AE，

∵E ，F 分别是BC ，AD 中点， ∴AF=CE=AE， ∵△ABE ≌△CDF ， ∴CF=AE， ∴AE=CE=CF=AF， ∴四边形AECF 是菱形．

12. 如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，E 、F 在AC 上，G 、H 在BD 上，且AF =CE ，BH =DG ， 求证：AG ∥HE

A E

答案：(3)证明：∵平行四边形ABCD 中，OA =OC ，

G 由已知：AF =CE

B

AF –OA = CE – OC ∴OF =OE 同理得：OG =OH

∴四边形EGFH 是平行四边形 ∴GF ∥HE 13．如图，在□ABCD中，E,F 分别是BC ，AD 中点。 （1）求证：△ABE ≌△CDF

（2）当BC=2AB=4，且△ABE 的面积为，求证：四边形AECF 是菱形。

解答：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∵AB=CD, BC=AD, ∠B=∠C .

∵E,F 分别是BC ，AD 中点,

∴BE=

12BC,DF=1

2

AD ∴ BE=DF 又∵AB=CD, ∠B=∠C ∴△ABE ≌△CDF （SAS ）

（2）作AH ⊥BC 交BC 于H ，则S △1

ABE=2

BE.AH =

3

∴AH =3 ∵ BC=2AB=4

∴AB =2 ∴sinA=/2 ∴∠A =600 ∵BE=AB

D

H

O

C

∴△ABE 是等边三角形 ∴AE=BE=EC

由（1）∵BE=DF ∴AF=CE，又∵AD ∥BC ∴四边形AECF 是平行四边形 ∴四边形AECF 是菱形

14. 如图，四边形ABCD 是平行四边形，BE 、DF 分别是∠ABC 、∠ADC 的平分线，且与对角线AC 分别相交于点E 、F ．求证：AE =CF ．

解答：证明：平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =BC ， ∴∠ACB =∠CAD ．

∵BE 、DF 分别是∠ABC 、∠ADC 的平分线， ∴∠BEC =∠ABE +BAE =∠FDC +∠FCD =∠DF A ， ∴△BEC ≌△DF A ， ∴CE =AF ．

15. 如图，分别延长▱ABCD 的边BA ．DC 到点E ．H ，使得AE =AB ，CH =CD ，连接EH ，分别交AD ．BC 于点F ．G ． 求证：△AEF ≌△CHG ．

解答：证明：在▱ABCD 中，AB ∥CD ，AB =CD ， ∴∠E =∠H ，∠EAF =∠D ， ∵AD ∥BC ， ∴∠EAF =∠HCG ， ∵AE =AB ，CH =CD ， ∴AE =CH ，

∴△AEF ≌△CHG （ASA ）．

16. 如图，已知E 、F 是□ABCD对角线AC 上的两点，且BE ⊥AC ，DF ⊥AC ．

（1）求证：△ABE ≌△CDF ；

（2）请写出图中除△ABE ≌△CDF 外其余两对全等三角形（不再添加辅助线）．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ＝CD ，AB ∥CD ， ∴∠BAE ＝∠FCD ， 又∵BE ⊥AC ，DF ⊥AC ， ∴∠AEB ＝∠CFD ＝90°， ∴△ABE ≌△CDF （AAS ）．

（2）答：△ABC ≌△CDA ，△BCE ≌△DAF ．

17. 如图，在▱ABCD 中，E 为BC 的中点，连接DE ．延长DE 交AB 的延长线于点F ．求证：AB=BF．

解答：解：由ABCD 是平行四边形得AB ∥CD ， ∴∠CDE=∠F ，∠C=∠EBF ． 又∵E 为BC 的中点， ∴△DEC ≌△FEB ， ∴DC=FB． 又∵AB=CD， ∴AB=BF．

18. 如图，四边形ABCD 是平行四边形，AC 是对角线，BE ⊥AC ，垂足为E ，DF ⊥AC ，垂足为F ．求证：DF=BE．

解答：证明：∵四边形ABCD 是平行四边形． ∴BC=AD，BC ∥AD ．

∴∠BCA=∠DAC ∵BE ⊥AC ，DE ⊥AC ． ∴∠CEB=∠AFD=90°． ∴△CEB ≌△AFD ∴BE=DF．

19. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 中点，AE 的延长线与DC 的延长线相交于点F ． （1）证明：∠DFA=∠FAB ； （2）证明：△ABE ≌△FCE ．

解答：证明：（1）∵在平行四边形ABCD 中，

∴DF ∥AB ， ∴∠DFA=∠FAB ； （2）∵E 为BC 中点， ∴EC=EB，

∴在△ABE 与△FCE 中，

⎧∠DFA =∠FAB

⎪

⎨∠CEF =∠BEA ， ⎪EB =EC ⎩

∴△ABE ≌△FCE ．

2. 菱形的性质以及判定

性质：1）菱形具有平行四边形所具有的一切性质. 2）菱形的四条边都相等.

3）菱形的对角线互相垂直并且每条对角线平分一组对角. （对角线把它分成四个直角三角形） 4）既是轴对称图形又是中心对称图形

5）菱形的面积等于对角线乘积的一半. （如果一个四边形的对角线互相垂直，那么这个四边形的面积等于对角线乘积的一半）

判定方法：1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形 2）四条边都相等的四边形是菱形.

3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形

注意：其他还有一些判定菱形的方法，但都不能作为定理使用.

Eg ：2已知：如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，BC =CD ，AD ⊥BD ，E 为AB 中点，求证：四边形BCDE 是菱形．

课堂练习

一、选择题

1. 菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A ．对角线互相垂直 B ．对角线相等

C ．对角线互相平分

D ．对角互补

解：A 、菱形对角线相互垂直，而矩形的对角线则不垂直；故本选项错误； B 、菱形和矩形的对角线都相等；故本选项正确； C 、菱形和矩形的对角线都互相平分；故本选项正确； D 、菱形对角相等，但不互补；故本选项正确；故选A ． 2. 在菱形ABCD 中，AB=5cm ，则此菱形的周长为（ ）

A. 5cm B. 15cm C. 20cm D. 25cm 解：∵在菱形ABCD 中，AB=BC=CD=DA，AB=5cm，

∴菱形的周长=AB×4=20cm；故选C ．

3. 如图，在菱形ABCD 中，∠BAD =60°，BD =4，则菱形ABCD 的周长是___________．

解：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB=BC=CD=AD， ∵∠BAD =60°，

∴△ABD 是等边三角形， ∴AB=AD=BD=4，

∴菱形ABCD 的周长是：4×4=16．故答案为：16．

5. 已知菱形ABCD 的对角线AC 、BD 的长度是6和8，则这个菱形的周长是（ ）

A 、20

B 、14 C、28

D 、24

解：根据题意，设对角线AC 、BD 相交于O ，

则由菱形对角线性质知，AO=AC=3，BO=BD=4，且AO ⊥BO ， ∴AB=5，

∴周长L=4AB=20，故选A ．

6如图为菱形ABCD 与△ABE 的重迭情形，其中D 在BE 上．若AB=17，BD=16，AE=25，则DE 的长度为何？（ ）

A 、8

B 、9

C 、11

D 、12

解：连接AC ，设AC 交BD 于O 点， ∵四边形ABCD 为菱形， ∴AC ⊥BD ，且BO=DO=

=8，

在△AOD 中，∵∠AOD=90°， ∴AO=

=

=15，

在△AOE 中，∵∠AOE=90°， ∴OE=

=

=20，

又OD=8，∴DE=OE﹣OD=20﹣8=12．故选D ．

7. 如图为菱形ABCD 与正方形EFGH 的重迭情形，其中E 在CD 上，AD 与GH 相交于I 点，且AD ∥HE ．若∠A=60°，且AB=7，DE=4，HE=5，则梯形HEDI 的面积为何？（ ）

A 、6

B 、8

C 、10﹣2

D 、10+2

解：四边形ABCD 为菱形且∠A=60°⇒∠ADE=180°﹣60°=120°，

又AD ∥HE ⇒∠DEH=180°﹣120°=60°，

作DM ⊥HE 于M 点，则△DEM 为30°﹣60°﹣90°的三角形，

又DE=4⇒EM=2，DM=2，

且四边形EFGH 为正方形⇒∠H=∠I=90°， 即四边形IDMH 为矩形⇒ID=HM=5﹣2=3，

梯形HEDI 面积==8．故选B ．

8. 如图，菱形ABCD 的周长是16，∠A =60°，则对角线BD 的长度为（ ）

A ．2

B

． C ．4

D

．

解：∵菱形ABCD 的周长是16， ∴AB=AD=CD=BC=4， ∵∠A =60°，

∴△ABD 是等边三角形， ∴AB=AD=BD=4． ∴对角线BD 的长度为4． 故选C ．

9. 如图，E 、F 、G 、H 分别是BD 、BC 、AC 、AD 的中点，且AB=CD．下列结论：①EG ⊥FH ，②四边形EFGH 是矩形，③HF 平分∠EHG ，④EG=

1

（BC ﹣AD ），⑤四边形EFGH 是菱形．其中正确的个数是（ ）

2

A 、1

B 、2 C 、3

D 、4

解：∵E 、F 、G 、H 分别是BD 、BC 、AC 、AD 的中点， ∴EF=

1111

CD ，FG=AB ，GH=CD ，HE=AB ， 2222

∵AB=CD， ∴EF=FG=GH=HE， ∴四边形EFH 是菱形， ∴①EG ⊥FH ，正确；

②四边形EFGH 是矩形，错误； ③HF 平分∠EHG ，正确； ④EG=

1

（BC ﹣AD ），只有AD ∥BC 是才可以成立，而本题AD 与BC 很显然不平行，故本小题错误； 2

⑤四边形EFGH 是菱形，正确． 综上所述，①③⑤共3个正确．故选C ．

10. 依次连接菱形的各边中点，得到的四边形是（

A ．矩形

B ．菱形

C ．正方形

）

D ．梯形

11. 如图，两条笔直的公路l 1、l 2相交于点O ，村庄C 的村民在公路的旁边建三个加工厂 A 、B 、D ，已知AB=BC=CD=DA=5公里，村庄C 到公路l 1的距离为4公里，则村庄C 到公路l 2的距离是（ ）

A 、3公里 C 、5公里

B 、4公里 D 、6公里

解答：解：如图，连接AC ，作CF ⊥l 1，CE ⊥l 2； ∵AB=BC=CD=DA=5公里， ∴四边形ABCD 是菱形， ∴∠CAE =∠CAF ，

∴CE=CF=4公里．故选B ． 二、填空题

1. 如图，菱形ABCD 的边长是2c m ，E 是AB 的中点，且DE 丄AB ，则菱形ABCD

的面积为

m ． 解：∵E 是AB 的中点， ∴AE =1， ∵DE 丄AB ，

∴DE

∴菱形的面积为：

．

如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC ＝8，BD ＝6，过点O 作OH 丄AB ，垂足为H ，则点O 到边AB 的距离

2

解：∵AC ＝8，BD ＝6， ∴BO ＝3，AO ＝4， ∴AB ＝5．

11

AO •BO ＝AB •OH ， 22

12OH ＝．．

5

12

故答案为：．

5

4. 如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD ，若AD=6cm，∠ABC=60°，则四边

2

形ABCD 的面积等于 18cm ．

解：∵AD ∥BC ，AB ∥CD ，

∴四边形ABCD 是平行四边形， ∵纸条等宽， ∴AB=BC， ∴该四边形是菱形， 作AE ⊥BC 于E ． ∴BE=3cm，

AE=3cm ．

∴四边形ABCD 的面积=6×3=18cm ，

2

7. （2011河北，14，3分）如图，已知菱形ABCD ，其顶点A ，B 在数轴上对应的数分别为－4和1，则BC ＝

解：∵菱形ABCD ，其顶点A ，B 在数轴上对应的数分别为－4和1，则AB ＝1－（－4）＝5， ∴AB ＝BC ＝5．

8. 如图，菱形ABCD 周长为8cm ．∠BAD =60°，则AC ．

解：∵菱形ABCD 周长为8cm ．∠BAD =60° ∴△AOB 为直角三角形，AB =2，∠OAB =30°，OA =OC ， ∴OA

AC

故答案为

11. 如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=60°，BD=4，则菱形ABCD 的周长是

解：∵四边形ABCD 是菱形，

∴AB=BC=CD=AD，

∵∠BAD=60°，

∴△ABD 是等边三角形， ∴AB=AD=BD=4，

∴菱形ABCD 的周长是：4×4=16．

三、解答题

如图，△ABC 中，AD 是边BC 上的中线，过点A 作AE ∥BC ，过点D 作DE ∥AB ，DE 与AC 、AE 分别交于点O 、点E ，连接EC ． （1）求证：AD =EC ；

（2）当∠BAC =Rt∠时，求证：四边形ADCE 是菱形．

解答：（1）证明：∵DE ∥AB ，AE ∥BC ， ∴四边形ABDE 是平行四边形， ∴AE ∥BD ，且AE =BD 又∵AD 是BC 边上的中线， ∴BD =CD

∴AE ∥CD ，且AE =CD ∴四边形ADCE 是平行四边形 ∴AD =CE

（2）证明：∵∠BAC =Rt∠，AD 上斜边BC 上的中线， ∴AD =BD =CD

又∵四边形ADCE 是平行四边形 ∴四边形ADCE 是菱形

如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，BC 的垂直平分线DE 交BC 于D ，交AB 于E ，F 在DE 上，且AF=CE=AE． （1）说明四边形ACEF 是平行四边形；

（2）当∠B 满足什么条件时，四边形ACEF 是菱形，并说明理由．

解答：（1）证明：由题意知∠FDC=∠DCA=90°， ∴EF ∥CA ， ∴∠AEF=∠EAC ， ∵AF=CE=AE，

∴∠F=∠AEF=∠EAC=∠ECA ． 又∵AE=EA， ∴△AEC ≌△EAF ， ∴EF=CA，

∴四边形ACEF 是平行四边形．

（2）当∠B=30°时，四边形ACEF 是菱形． 理由是：∵∠B=30°，∠ACB=90°， ∴AC=

1

2

AB ， ∵DE 垂直平分BC ， ∴BE=CE， 又∵AE=CE， ∴CE=

1

2

AB ， ∴AC=CE，

∴四边形ACEF 是菱形．

2如图，AC 是菱形ABCD 的对角线，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，且AE=AF。

求证：△ACE ≌△ACF

D

C

解：证明：∵AC 是菱形ABCD 的对角线， ∴∠FAC=∠EAC ， ∵AC=AC，AE=AF， ∴△ACE ≌△ACF ．

3. 矩形的性质以及判定

性质：1）矩形具有平行四边形所具有的一切性质. 2）矩形的四个角都是直角.

3）矩形的对角线相等. （矩形对角线把矩形分成四个等腰三角形） 4）既是轴对称图形又是中心对称图形

5）矩形的面积等于长乘以宽.

判定方法：1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形. 2）有三个角是直角的四边形是矩形. 3）对角线相等的平行四边形是矩形.

注意：其他还有一些判定矩形的方法，但都不能作为定理使用. 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

Eg ：3. 如图，折叠矩形纸片ABCD ，先折出折痕BD （对角线），再折叠使AD 边落在对角线BD 上，得折痕DG 。若DC ＝2，BC ＝1，求AG 的长。

D C

E

1

A

4. 正方形的性质以及判定

性质：1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形所具有的一切性质.

（正方形对角线把正方形分成四个等腰直角三角形）

判定方法；1）定义：有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形. 2）矩形+有一组邻边相等 3）菱形+有一个角是直角

4）既是轴对称图形又是中心对称图形

注意：其他还有一些判定正方形的方法，但都不能作为定理使用.

Eg ：4. 如图，将正方形纸片ABCD 折叠，使边AB 、CB 均落在对角线BD 上，得折痕BE 、BF ，则∠EBF 的大小为（ ）

A 、15°

B 、30° C 、45°

D 、60°

课堂练习

一、选择题

2. 如图，△ABC 中，∠ACB =90°，AC ＞BC ，分别以△ABC 的边AB 、BC 、CA 为一边向△ABC 外作正方形ABDE 、BCMN 、CAFG ，连接EF 、GM 、ND ，设△AEF 、△BND 、△CGM 的面积分别为S 1、S 2、S 3，则下列结论正确的是（ ）

A ．S 1=S 2=S 3

B ．S 1=S 2＜S 3 C ．S 1=S 3＜S 2

D ．S 2=S 3＜S 1

解答：解：设三角形的三边长分别为a 、b 、c ，

∵分别以△ABC 的边AB 、BC 、CA 为一边向△ABC 外作正方形ABDE 、BCMN 、CAFG ， ∴S 1=S 2=S 3=

1

ab ． 2

3. 如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S 1，S 2，则S 1＋S 2的值为（ ）

A ．16

B ．17 C ．18

D ．19

∴S 1＋S 2＝8＋9＝17． 二、填空题

1. 如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，BE =CF ，连接AE 、BF ．将△ABE 绕正方形的中心按逆时针方向旋转到△BCF ，旋转角为α（ 0°＜α＜180°），则∠α= 90° ．

解：∵四边形ABCD 是正方形． ∴∠AOB =90°， 故α=90°．

5. （2011陕西，18，6分）如图，在正方形ABCD 中，点G 为BC 上任意一点，连接AG ，过B 、D 两点分别作BE ⊥AG ，

DF ⊥AG ，垂足分别为E 、F 两点．求证：△ADF ≌△BAE ．

解答：证明：∵四边形ABCD 是正方形，

∴DA=AB，∠1+∠2=90° 又∵BE ⊥AG ，DF ⊥AG ∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90° ∴∠2=∠3，∠1=∠4 ∴△ADF ≌△BAE 三、解答题

1. 如图，点E 是正方形ABCD 内一点，△CDE 是等边三角形，连接EB 、EA ，延长BE 交边AD 于点F ． （1）求证：△ADE ≌△BCE ；（2）求∠AFB 的度数．

解答：（1）证明：∵ABCD 是正方形 ∴AD=BC，∠ADC=∠BCD=90° 又∵三角形CDE 是等边三角形 ∴CE=CD，∠EDC=∠ECD=60°

∴∠ADE=∠ECB ∴△ADE ≌△BCE ．

（2）解：∵△CDE 是等边三角形， ∴CE=CD=BC

∴△CBE 为等腰三角形，且顶角∠ECB=90°﹣60°=30° ∴∠EBC=

1

（180°﹣30°）=75° 2

∵AD ∥BC

∴∠AFB=∠EBC=75°．

5. 梯形

等腰梯形的性质：等腰梯形同一底边上的两个底角相等；等腰梯形的对角线相等. 等腰梯形的判定：1）证明两腰相等

2）同一底边上两个底角相等的梯形是等腰梯形.

关注：梯形中常见的几种辅助线的画法. 对角线相等的梯形是等腰梯形, 但不能作为定理. 补充：梯形的中位线定理，尤其关注其证明方法.

Eg ：5. 如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E 是BC 的中点，EF ⊥AD 于点F ，AD=4，EF=5，则梯形ABCD 的面积是（ ）

A 、40

B 、30

C 、20

D 、10

综合练习

一、选择题

1. 如图，四边形ABCD 中，AC ＝a ，BD ＝b ，且AC 丄BD ，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1，再顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边中点，得到四边形A 2B 2C 2D 2…，如此进行下去，得到四边形A n B n C n D n ．下列结论正确的有（ ）

①四边形A 2B 2C 2D 2是矩形， ②四边形A 4B 4C 4D 4是菱形； ③四边形A 5B 5C 5D 5的周长是

A 、①②

a +b ab

④四边形A n B n C n D n 的面积是n +1． 42

D 、①②③④

B 、②③ C、②③④

解答：解：①连接A 1C 1，B 1D 1．∵在四边形ABCD 中，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1 ，

∴A 1D 1∥BD ，B 1C 1∥BD ，C 1D 1∥AC ，A 1B 1∥AC ； ∴A 1D 1∥B 1C 1，A 1B 1∥C 1D 1， ∴四边形ABCD 是平行四边形；

∴B 1D 1＝A 1C 1（平行四边形的两条对角线相等）； ∴A 2D 2＝C 2D 2＝C 2B 2＝B 2A 2（中位线定理）， ∴四边形A 2B 2C 2D 2 是菱形； 故本选项错误；

②由①知，四边形A 2B 2C 2D 2是菱形；

∴根据中位线定理知，四边形A 4B 4C 4D 4是菱形；故本选项正确；

③根据中位线的性质易知，A 15B 5＝

2A B 11111

33＝2×2A 1B 1＝222

AB ，B 5C 5 ＝111111

2B 3C 3＝2×2B 1C 1＝2×2×2

BC ， ∴四边形A C 1a b

5B 55D 5的周长是2×8（a +b ）＝4

；故本选项正确；

④∵四边形ABCD 中，AC ＝a ，BD ＝b ，且AC 丄BD ， ∴S 四边形ABCD ＝ab ；

由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半， 四边形A ab n B n C n D n 的面积是2n

； 故本选项错误； 综上所述，②③④正确；

2. 如图，在平行四边形 ABCD 中(AB≠BC)，直线EF 经过其对角线的交点O, 且分别交AD 、BC 于点M 、

N ，交BA 、DC 的延长线于点E 、F ，下列结论： ①AO=BO；②OE=OF； ③△EAM ∽△EBN ； B

④△EAO ≌△CNO ，其中正确的是

A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④

即②③正确．

6. 下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是（ ） A 、平行四边形 B 、正方形 C 、等腰梯形 D 、矩形 9.

已知正六边形的边心距为，则它的周长是（ ）

A 、6

B 、12 C 、

D 、

解答：解：如图，在Rt △AOG 中，

AOG=30°， ∴OA=OG÷cos 30°

2． 这个正六边形的周长=12．

二、填空题

1. 把一张矩形纸片ABCD 按如图方式折叠，使顶点B 和顶点D 重合，折痕为EF ．若BF=4，FC=2，则∠DEF 的度数是 60 °．

解：∵矩形纸片ABCD 按如图方式折叠，使顶点B 和顶点D 重合，折痕为EF ， ∴DF=BF=4，∠BFE=∠DFE ， 在Rt △DFC 中，FC=2，DF=4， ∴∠FDC=30°， ∴∠DFC=60°，

∴∠BFE=∠DFE=（180°﹣60°）÷2=60°， ∴∠DEF=∠BFE=60°． 故答案为60． 三、解答题

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1. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC，过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，并延长DE 至F ，使EF=DE．连接

BF 、CD 、AC ．

（1）求证：四边形ABFC 是平行四边形；

（2）如果DE 2=BE•CE，求证四边形ABFC 是矩形． 证明：（1）连接BD ，

∵梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC， ∴AC=BD，∠ACB=∠DBC ∵DE ⊥BC ，EF=DE， ∴BD=BF，∠DBC=∠FBC ， ∴AC=BF，∠ACB=∠CBF ∴AC ∥BF ，

∴四边形ABFC 是平行四边形；

（2）∵DE 2=BE•CE ∴

，

∵∠DEB=∠DEC=90°， ∴△BDE ∽△DEC ∴∠BDC=∠BFC=90°， ∴四边形ABFC 是矩形．

2. 如图5所示，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝ 60°，DE ∥AC 交BC 的延长线于点E ．求证：DE ＝

1

2

BE ．

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A

D

B

C

E

图5

解答：∵ABCD 是菱形，

∴AD //BC ，AB ＝BC ＝CD ＝DA ． 又∵∠ABC ＝ 60°， ∴BC ＝AC ＝AD ． ∵DE ∥AC

∴ACED 为平行四边形． ∴CE ＝AD ＝BC ，DE ＝AC ． ∴DE ＝CE ＝BC ， ∴DE ＝

1

BE ． 2

3. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠DCB =45°，CD =2，BD ⊥CD ．过点C 作CE ⊥AB 于E ，交对角线BD 于F ，点G 为BC 中点，连接EG 、AF ． （1）求EG 的长； （2）求证：CF =AB +AF ．

B

G

24题图

C

解：（1）解：∵BD ⊥CD ，∠DCB =45°，

∴∠DBC =45°=∠DCB ，∴BD =CD =2，在Rt △BDC 中BC

，∵CE ⊥BE ，点G 为BC 的中点，∴EG =

1

BC

． 2

答：EG

．

（2）证明：在线段CF 上截取CH =BA ，连接DH ，

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B

G 24题答图

C

∵BD ⊥CD ，BE ⊥CE ，

∴∠EBF +∠EFB =90°，∠DFC +∠DCF =90°， ∵∠EFB =∠DFC ， ∴∠EBF =∠DCF ， ∵DB =CD ，BA =CH ， ∴△ABD ≌△HCD ， ∴AD =DH ，∠ADB =∠HDC ， ∵AD ∥BC ，

∴∠ADB =∠DBC =45°，

∴∠HDC =45°，∴∠HDB =∠BDC ﹣∠HDC =45°， ∴∠ADB =∠HDB ， ∵AD =HD ，DF =DF ， ∴△ADF ≌△HDF ， ∴AF =HF ，

∴CF =CH +HF =AB +AF ， ∴CF =AB +AF ．

点评：本题主要考查对梯形，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行推理是解此题的关键．

7. 如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD，∠BAD 的平分线AE 交BC 于点E ，连接DE ． （1）求证：四边形ABED 是菱形；

（2）若∠ABC=60°，CE=2BE，试判断△CDE 的形状，并说明理由．

解答：（1）证明：如图，∵AE 平分∠BAD ，

∴∠1=∠2，

∵AB=AD，AE=AE，

∴△BAE ≌△DAE ，

∴BE=DE，

∵AD ∥BC ，

∴∠2=∠3=∠1，

∴AB=BE，

∴AB=BE=DE=AD，

∴四边形ABED 是菱形．

（2）解：△CDE 是直角三角形．

如图，过点D 作DF ∥AE 交BC 于点F ，

则四边形AEFD 是平行四边形，

∴DF=AE，AD=EF=BE，

∵CE=2BE，

∴BE=EF=FC，

∴DE=EF，

又∵∠ABC=60°，AB ∥DE ，

∴∠DEF=60°，

∴△DEF 是等边三角形，

∴DF=EF=FC，

∴△CDE 是直角三角形．

9. 如图，已知矩形ABCD 的两条对角线相交于O ，∠ACB=30°，AB=2．

（1）求AC 的长．

（2）求∠AOB 的度数．

（3）以OB 、OC 为邻边作菱形OBEC ，求菱形OBEC 的面积．

解答：解（1）在矩形ABCD 中，∠ABC=90°，

∴Rt △ABC 中，∠ACB=30°，

∴AC=2AB=4．

（2）在矩形ABCD 中，

∴AO=OA=2，

又∵AB=2，

∴△AOB 是等边三角形，

∴∠AOB=60°．

（3）由勾股定理，得BC=，

．

，

所以菱形OBEC 的面积是2．

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13. 如图，在▱ABCD 中，E 为BC 的中点，连接DE ．延长DE 交AB 的延长线于点F ．求证：AB=BF．

解答：解：由ABCD 是平行四边形得AB ∥CD ，

∴∠CDE=∠F ，∠C=∠EBF ．

又∵E 为BC 的中点，

∴△DEC ≌△FEB ，

∴DC=FB．

又∵AB=CD，

∴AB=BF．

17. 如图，四边形ABCD 是平行四边形，AC 是对角线，BE ⊥AC ，垂足为E ，DF ⊥AC ，垂足为F ．求证：DF=BE．

解答：证明：∵四边形ABCD 是平行四边形．

∴BC=AD，BC ∥AD ．

∴∠BCA=∠DAC

∵BE ⊥AC ，DE ⊥AC ．

∴∠CEB=∠AFD=90°．

∴△CEB ≌△AFD

∴BE=DF．

19. 在△ABC 中，AB =2

CD 的长． ，AC =4，BC =2，以AB 为边向△ABC 外作△ABD ，使△ABD 为等腰直角三角形，求线段

20. 如图，在一方形ABCD 中．E 为对角线AC 上一点，连接EB 、ED ，

（1）求证：△BEC ≌△DEC ：

（2）延长BE 交AD 于点F ，若∠DEB=140°．求∠AFE 的度数．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，

∴CD=CB，∠DCA=∠BCA ，

∵CE=CE，

∴△BEC ≌△DEC ．

（2）解：∵∠DEB=140°，

∵△BEC ≌△DEC ，

∴∠DEC=∠BEC=70°，∴∠AEF=∠BEC=70°，

∵∠DAB=90°，

∴∠DAC=∠BAC=45°，∴∠AFE=180°﹣70°﹣45°=65°．

答：∠AFE 的度数是65°．

21. 如图．矩形ABCD 的对角线相交于点0．DE ∥AC ，CE ∥BD ．

（1）求证：四边形OCED 是菱形；

（2）若∠ACB=30°，菱形OCED

的而积为AC 的长．

解答：解：（1）∵DE ∥OC ，CE ∥OD ，

∴四边形OCED 是平行四边形．

∵四边形ABCD 是矩形，

∴AO=OC=BO=OD．

∴四边形OCED 是菱形；

（2）∵∠ACB=30°，

∴∠DCO=90°﹣30°=60°．

又∵OD=OC，

∴△OCD 是等边三角形．

过D 作DE ⊥OC 于F ，则CF=1

2OC ，设CF=x，则OC=2x，AC=4x．

在Rt △DFC 中，tan60°=DF

FC ，

∴

．

∴

．

∴x=2．

∴AC=4×2=8．

24. 如图，四边形ABCD 是正方形，点E ，K 分别在BC ，AB 上，点G 在BA 的延长线上，且CE ＝BK ＝AG ．

（1）求证：①DE ＝DG ； ②DE ⊥DG

（2）尺规作图：以线段DE ，DG 为边作出正方形DEFG （要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）；

（3）连接（2）中的KF ，猜想并写出四边形CEFK 是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想：

（4）当CE

CB 1

n 时，请直接写出S 正方形ABCD

S 的值．

正方形DEFG

解答：（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，

∴DC ＝DA ，∠DCE ＝∠DAG ＝90°．

又∵CE ＝AG ，

∴△DCE ≌△GDA ，

∴DE ＝DG ，

∠EDC ＝∠GDA ，

又∵∠ADE ＋∠EDC ＝90°，

∴∠ADE ＋∠GDA ＝90°，

∴DE ⊥DG ．

（2）如图．

（3）四边形CEFK 为平行四边形．

证明：设CK ．DE 相交于M 点，

∵四边形ABCD 和四边形DEFG 都是正方形，

∴AB ∥CD ，AB ＝CD ，EF ＝DG ，EF ∥DG ，

∵BK ＝AG ，

∴KG ＝AB ＝CD ，

∴四边形CKGD 是平行四边形，

∴CK ＝DG ＝EF ，CK ∥DG ，

∴∠KME ＝∠GDE ＝∠DEF ＝90°，

∴∠KME ＋∠DEF ＝180°，

∴CK ∥EF ，

∴四边形CEFK 为平行四边形．

（4）S 正方形ABCD n 2

S =

正方形DEFG n 2+1．