微分概念及其运算
§2 微分概念及其运算
设y =f (x ) 在x 点可导,即下面的极限存在:
∆y f (x +∆x ) -f (x ) f ' (x ) =l i =l i m ∆x →0∆x →0∆x ∆x
因此 ∆y =f ' (x ) +α,其中α→0(∆x →0), ∆x
) x +α∆x =f ' (x ∆) x +o (∆x ) ∆x →0 于是 ∆y =f ' (x ∆,
(函数的增量∆y =(∆x 的线性函数)+o (∆x ) )
物理意义:如果把y =f (x ) 视为时间x 时所走过的路程, ∆x 时间内所走过的路程∆y
=以匀速f '(x ) 运动所走过的路程f '(x ) ∆x
+因为加速度的作用而产生的附加路程o (∆x )
定义4.2 设y =f (x ) 在(a , b ) 有定义,如果对给定的x ∈(a , b ) ,有 ∆y =f (x +∆x ) -f (x ) =A ∆x +o (∆x ) ,(∆x →0) 其中A 与∆x 无关,则称f (x ) 在x 点可微,并称A ∆x 为函数f (x ) 在x 点的微分,记为
dy =A ∆x 或 df (x ) =A ∆x
由前面的讨论得
微分具有两大重要特征:
1)
2) 微分是自变量的增量的线性函数; 微分与函数增量∆y 之差∆y -dy ,是比∆x 高阶的无穷小量. 因此,称微分dy 为增量∆y 的线性主要部分。
事实上当dy ≠0时
o (∆x ) ∆y dy +o (∆x ) ) =1 =lim =lim (1+∆x →0∆x →0∆x →0dy A ∆x dy lim
即∆y 与dy 是等价无穷小量。
注1 系数A 是依赖于x 的,它是x 的函数,
注2 微分dy 既与x 有关,又与∆x 有关,而x 和∆x 是两个互相独立的
变量,但它对∆x 的依赖是线性的.
例1 自由落体运动中,s (t ) =12gt 2
11g (t +∆t ) 2-gt 2 22∆s =s (t +∆t ) -s (t ) ==
=11g (2t +(∆t 2) ) =gt ∆t +g (∆t ) 2 22
即∆s 可表为∆t 的线性函数和∆t 的高阶无穷小量之和,由微分定义知,s (t ) 在t 点可微,且微分
ds =gt ∆t
它等于以匀速s '(t ) =gt 运动,在∆t 时间内走过的路程.
例2 圆面积y =πR 2,
∆y =π(R +∆R ) 2一πR 2=2πr ∆R +π(∆R ) 2.
∆y 可表示为∆R 的线性函数与∆R 的高阶无穷小之和,故函数在R 可微,且微分
dy =2πR ∆R
从几何上看,微分可以这样理解:
2πR 是圆周长,当半径R 变大即圆面积膨胀时,设想圆周长保持不变,半径增大∆R 所引起的圆面积变化就是2πR ∆R 。
这就是圆面积的微分,它与∆R 成正比,与圆面积真正的变化之差是较∆R 高阶的无穷小,当然圆不可能保持周长不变而膨胀,这只是一种设想而已,但当∆R 很小时,两者之差就更小了。
例3 设正方形的边长为x ,则面积为 f (x ) =x 2
∆f (x ) =(x +∆x ) 2-x 2=2x ∆x +(∆x ) 2
即∆f (x ) 可表为∆x 的线性函数和∆x 的高阶无穷小量之和,故f (x ) 在x 点可微,且微分
dy =2x ∆x .
可微与可导的关系:
定理4.5 函数y =f (x ) 在x 点可微的充要条件是:函数f (x ) 在x 点可导.这时微分中∆x 的系数A =f '(x ) .
证明 充分性前面已证。
必要性.设f (x ) 在x 点可微,由定义知
∆y =A ∆x +o (∆x )
∆y A ∆x +o (∆x ) 因此 l i =l i m =A ∆x →0∆x →0∆x ∆x
故f (x ) 在x 点可导,且f '(x ) =A
规定:自变量的微分dx 等于自变量的改变量∆x ,
这样微分公式又可写成
dy =f '(x ) dx
于是有dy dy =f '(x ) ,在定义导数(微商)时,符号是作为一个整体, dx dx 而现在微商可以看作是微分之商.也就是说,微商的确是微分之商.
微分的几何意义:
微分是曲线y =f (x ) 在(x , y ) 处的切线对应的改变量.用微分dy 近似地代替改变量∆y ,从几何上看就是用切线的改变量近似地代替函数的改变量(以直代曲)
由导数公式可得到基本初等函数的微分公式
dx α=αx α-1dx ;
d ln x =1dx ; x
d sin x =cos xdx
等等.同样借助于微商的运算法则,立即可得下面的微分运算法则
(1) 四则运算法则.
d (f (x ) ±g (x )) =df (x ) ±dg (x )
d (f (x ) g (x )) =g (x ) df (x ) +f (x ) dg (x )
d (f (x ) g (x ) df (x ) -f (x ) dg (x ) ) =(g (x ) ≠0) g (x ) g 2(x )
(2) 复合函数的微分.
设y =f (u ), u =g (x ) ,则复合函数y =f (g (x )) 的微分为
dy =(f g )'(x ) dx =f '(g (x )) g '(x ) dx
dy =f '(u ) du
把dy =f '(u ) du 与dy =f '(x ) dx 相比较,
虽然x 是自变量,u 是中间变量,但两者形式上是一样的,这一性质称为一阶微分形式的不变性。
一阶微分形式不变性说明,可以在微分等式中代入变量
例如y =e u ,u =x 2,则 d y =u e d u
代入变量u =x 得 dy =e dx =e 2xdx
这种“代入”运算,在微商公式中就不可以做.例如在y '=e u 中代入变量u =x 2,得y '=e x ,显然结果是错误的.
例 设 y =e sin(ax +b ) +x ,利用微分运算法则求函数的微分。 1+x 222x 22x 2
解 dy =e
=e
=e sin(ax +b ) (1+x 2) dx -xd (1+x 2) d sin(ax +b ) +22(1+x ) sin(ax +b ) (1+x 2) dx -2x 2dx cos(ax +b ) d (ax +b ) +22(1+x ) (1-x 2) a cos(ax +b ) dx +dx 22(1+x )
(1-x 2) a cos(ax +b ) +]dx (1+x 2) 2sin(ax +b ) =[e
sin(ax +b )
利用微分近似计算
用微分近似增量,即∆y ≈dy 。考虑x 0=0点
x ~x (x →0) y =sin x , ∆y =sin ∆x ≈dy =cos 0∆x =∆x s i n
x 2y =cos x , ∆y =c o ∆s x -1≈dy =-s i n 0∆x =0 1-cos x ~(x →0) 2
1-c o s x =o (∆x ) ,x →0
x ~x (x →0) y =tan x , ∆y =tan ∆x ≈dy =sec 20∆x =∆x t a n
y =ln(1+x ) ,∆y =ln(1+∆x ) ≈dy =1∆x =∆x l n 1(+x ) ~x (x →0) 1+0
y =e x , ∆y =e ∆x -1≈dy =e 0∆x =∆x e x -1~x (x →0)
y =(1+x ) α, ∆y =(1+∆x ) α-1≈dy =α∆x (1+x ) α-1~αx (x →0)
1例 求s i n 3的近似值.
解 令f (x ) =sin x ,x =30 =ππ,∆x =1 =,由∆f (x ) ≈df (x ) 得 1806
f (x +∆x ) ≈f (x ) +f '(x ) ∆x
sin 31︒=sin(
≈π6+π180) ≈sin π+cos 66180ππ1×0.01745=0.5151 +22