降落伞的选择
本科生课程论文
论文题目: 降落伞的选择
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学 系: 专 业:
课程名称: 数学建模方法及应用 学生姓名:学 号:指导教师:
2010年 6 月 25 日
降落伞的选择
[摘 要]
本课题主要使用数学规划的方法针对向灾区投放救灾物品过程中如何有效选择降落伞的问题进行分析,找出各关系量之间的关系,运用物理学和非线性规则的方法建立数学模型,为降落伞的选择提供一定的判别标准。从而可以指导现实操作,确定降落伞的选购方案。
首先建立物体在空气阻力作用下的运动模型,利用题目给出的数据即高度与时间的关系求出空气阻力系数,在求解空气阻力系数时需用到最小二乘法以便确保模型的合理性与准确性,从而算出不同规格的降落伞最大的载重量。
在分析降落伞费用时,可以根据表一的数据拟合出伞面费用与伞的半径的关系,先把伞的数量与半径砍成连续的,求出最优解后在进行调整。
[关键词]
降落伞;数学规划;空气阻力系数;
1绪论
1.1问题重述
现在需要向灾区空投一批救灾物资,共2000kg , 已知空投高度为h 为500m ,要求物品落地时的速度不能超过20米每秒,需选购一些降落伞,降落伞的伞面为半径为r 的半球面,用每根长L 共16根绳索连接的重m 位于球心正下方球面处。
每个降落伞的价格由三部分组成。伞面费用c 1 由伞的半径r 决定,见表一 ;绳索费用c 2 由绳索总长度及单价4元/米决定,固定费用 c 3为200元。
降落伞在降落过程中除受到重力外,受到空气的阻力,可以认为与降落的速度和伞的面积的乘积成正比。为了确定阻力系数,用的半径r=3m ,载重m=300kg 的降落伞从高度h=500m
作降落试验,测得各个时刻t 的高度h ,见下表2。
试确定降落伞的选购方案,即共需多少个伞,每个伞的半径多大(在给定的半径的伞中选见表一) ,在满足空投要求的条件下,使费用最低。
表一
表二
1.2问题分析
根据题意是要求在满足各种条件下,确定选择降落伞的方案使费用最低,因此需要知道不同规格的降落伞的费用及其能够在满足空投要求下的最大载重量,从而建立一个数学模型,在此前提下先得求出空气阻力系数,此题需用到物理方面的知识及最小二乘法来求出空气阻力系数。在此基础上可以解出模型的解,确定选择方案。
1.3背景分析
现在全球地震及其他自然灾害发生次数相对上个年代较多,由此引发的问题也越来越多,本题的思路及模型对现实是具有一定的指导意义的。
2模型的假设及符号说明 2.1模型假设
1.假设灾区所在地的重力加速度为9.8m/s2。
2.在实行降落时忽略当时天气状况的影响(如刮风、下雨等造成的影响),认为空气阻力在降落伞降落过程中是一个定值。
3.投放救灾物品的质量近似等于降落伞和物品的总质量,即忽略降落伞本身的质量。
4.假设降落伞在降落过程中只受到重力和空气阻力的作用,不考虑其他力的作用对降落伞的影响。
5. 认为救灾物品在降落时初速度为零。
6. 忽略地面高低不平造成的降落高度的影响。 7. 忽略计算空气阻力系数的误差。
8, 假设救灾物品都是达到稳定速度后到达地面的。 9. 忽略降落伞在下降时的打开时间。 10. 不计降落伞本身的高度。
2.2符号说明
m: 救灾物品的质量 c 1: 伞面费用 c 2: 绳索费用 c 3: 固定费用
c: 降落伞总费用 k: 空气阻力系数 g: 重力加速度 v: 物体运动速度 a : 物体运动加速度 t : 物体下落时间 x : 物体运动位移 xi : 各种降落伞的数量 w : 总费用
h : 物体所在的高度
3 模型的建立
3.1模型分析
根据题意知道降落伞的价格是由三部分组成分别为伞面的价格,绳索价格与固定价格。救灾物体是在降落伞下方的球面上,则可以找出绳索长度与半径的关系,从而求出绳索的费用,伞面费用题目已经给出,所以每种降落伞的价格为定值,要想得到费用最少的选择方案则需要知道每种降落伞能够在保证落地速度低于二十米每秒的前提下所能够加载的最大质量。
要确定最大载重量需要分析降落伞的运动情况,由物理知识知道降落伞的运动情况是满足牛顿运动定律的在阻力与重力相等时速度最大,因此需要对降落伞进行受力分析,降落伞所受阻力与其半径和速度有关,在此忽略风力、初速度和其他因素的影响,在得到各种降落伞的总费用和最大载重量时,算出降落2000kg 救灾物品时所用的降落伞的数量,此时求出费用最低的降落伞便得到选择方案。
3.2.基本数据的计算
通过上面的分析应先求出空气阻力系数k 。
根据题意降落伞在降落过程中受到的空气阻力与降落伞的速度和伞面积的乘积成正比。而伞的面积与伞半径的平方成正比,可以列出如下物理公式: 根据受力平衡及牛顿运动定律
错误!未找到引用源。…………………………………………. …..(1) 加速度等于速度对时间的导数
错误!未找到引用源。………………………………………………………......(2)
由题目知道初始速度为零
v(0)=0………………………………………………………….(3)
由(1)、(2)、(3)式可以解得(求解过程省略) :
错误!未找到引用源。…………………………………………. (4)
在确定了基本数学公式模型后就得对题目中的数据进一步分析,以便求出空气阻力系数,题目给出如下数据:
物体高度时间关系表
表三
从中可以知道x 指的是物品的高度而非位移,因此需要对题目中的数据进行转换得到位移,然后通过软件进行求解,拟合出最接近题目数据的k 值,即空气阻力系数,为方便先列出下表:
物体时间位移关系表
表四
位移等于速度对于时间的积分,在对v(t)求积分得到关于t 的函数: 错误!未找到引用源。…………………..(5)
现在得到位移和时间的关系式,便可以用上表给的数据求出空气阻力系数k 。
省略计算过程得到k=18.664。因为在此后的模型中空气阻力系数占据重要地位因此需要对其进行验证,用题目给出的数据画出散点图,同时用求到的空气阻力系数值和公式(5)拟合出一条曲线,进行比较,以便验证空气阻力系数值的正确性。
得到空气阻力系数后,接下来计算各种降落伞的最大载重量,最大载重量是与降落伞的半径和空气阻力系数相关的。下面运用物理的知识列出相关数学公式:
当空气阻力与物体所受重力相等时,物体速度最大(这是根据物理知识得出的,验证省略)
kvr 2=mg…………………………………………………………………………………(6)
物体落地速度达到最大时,此时降落伞所承载的物体质量最大,所以
v=20m/s……………………………………………………………………………………. (7) 由上面(6)、(7)两式求出物品质量的表达式
错
误!未找到引用
源。…………………………………………………. (8)
在做好数学公式的整理后,可以求得各种降落伞的最大载重量,这是为寻求最少费用的准备,此处建模时认为降落伞都是达到稳定速度才降落的,即不考虑还在加速过程中就落地的情况,经过简单计算得出下表所示数据(因为最大速度不可以超过20m/s,所以要使向下取整,这样才能确保降落伞落地速度满足题目要求) :
各种降落伞的最大载重量
表五 下面计算出各种降落伞的价格c :
根据题意 c=c1+c2+c3, 错误!未找到引用源。, c 2=16*L*4 据此可以解出各种降落伞的费用见下表:
各种降落伞绳索的费用
表六
各种降落伞的总费用
4模型求解
得到上面数据后就可以对模型进行求解了。
决策变量:各种降落伞的费用c ,需要各种降落伞的个数xi 。
目标函数:各种降落伞的费用c 与需要各种降落伞的个数xi 的关系,即总费用错误!未找到引用源。。 约束条件:各种降落伞的载重量不可以超过它们的最大载重量,总的投放救灾物品的质量不可以低于2000kg 。
使用lingo 软件进行求解,程序如下:
model :
min =446.02*x1+596.27*x2+821.53*x3+1176.78*x4+1562.04*x5; 152*x1+238*x2+342*x3+446*x4+609*x5>=2000; @gin(x1); @gin(x2); @gin(x3); @gin(x4); @gin(x5);
End
Global optimal solution found.
Objective value: 4929.180 Objective bound: 4929.180 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0
Variable Value Reduced Cost X1 0.000000 446.0200 X2 0.000000 596.2700 X3 6.000000 821.5300 X4 0.000000 1176.780 X5 0.000000 1562.040
Row Slack or Surplus Dual Price 1 4929.180 -1.000000
2 52.00000 0.000000
方案:选购6个降落伞其半径都是3m 的。总费用为4929.18元。
5. 结论
5.1解的分析与评价
1. 经过检验模型中所用的空气阻力系数与题中所给数据拟合的很好,在选用半径为3m 的降落伞方案里经过检验最后落地速度小于20m/s。满足题目要求
2. 本模型充分考虑了各个因素的影响,在计算空气阻力系数时,充分利用数据,拟合出最接近证实的空气阻力系数值。
5.2模型的应用与推广
本模型的思路与应用都可以得到进一步的推广,现在自然灾害越来越频繁,应急管理方面的要求越来越高,作为救灾的重要组成部分,向灾区投放救灾物品需要的技术与成本都成为重要的考虑因素,本模型的研究可以应用到实际投放物品,减少救灾物品的因落地撞坏而造成的损失。本题的思路方法也可以为现实中的一些问题提供参照。还有在分析模型时发现最终达到的稳定速度与投放救灾物品的高度无关,从中可以知道在救灾投放物品是高一点没有关系,这样以便减少空投的难度。
5.3模型改进方向
在建立模型时没有考虑降落伞本身质量,在改进时考虑到本身质量会更合理,还有空气阻力系数是否随着高度的变化而变花,这些都是考虑的范围,可以建立一个与高度关系的参数来描述这样更合理。
参考文献
A 专著
【1】姜启源 《数学模型》(第3版) ,谢金星 叶俊 编; 出版社; 高等教育出版社
【2】同济大学数学系编 《高等数学》第六版 北京:高等教育出版社
解题思路流程
10
证明速度v (m ) 与质量m 成正比关系
根据高等数学的知识可知:函数的一阶导数大于零,则原函数是单调递增的。一阶导数小于零,则原函数是单调递减的。
对v (m ) 求一阶导数得:
由上式分析可知无法确定其是否大于零,在对其求二阶导数为:
则一阶导数为单调递减函数,当m 趋近于无穷大时对一阶导数求极限可知
由此可得:
则原函数是单调递增函数,即速度v 和m 是成正比关系的。
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