系统的牛顿第二定律
系统牛顿第二定律
若将系统受到的每一个外力,系统内每一物体的加速度均沿正交坐标系的x 轴与y 轴分解,则系统的牛顿第二定律的数学表达式如下:
F1x +F2x +…=m1a 1x +m2a 2x +…
F1y +F2y +…=m1a 1y +m2a 2y +…
与采用隔离法、分别对每一物体应用牛顿第二定律求解不同的是,应用系统的牛顿第二定律解题时将使得系统内物体间的相互作用力变成内力,因而可以减少不必求解的物理量的个数,导致所列方程数减少,从而达到简化求解的目的。
例1、质量M=10kg的木楔ABC 静止于粗糙水平地面上,如图,动摩擦因数μ=0.02,在木楔的倾角α=30°的斜面上,有一质量m=1.0kg的物块,由静止开始沿斜面下滑,当滑行至s=1.4m时,速度v=1.4m/s,在这过程木楔没有动.求地面对木楔的摩擦力的大小、方向和地面对木楔的支持力.
(g=10m/s2)
解法一:(隔离法)先隔离物块m ,根据运动学公式得:
v 2=2as=0.7m/s2
可见物块m 受到沿斜面向上的滑动摩擦力,对物体
m 为对象
对斜面M :假设地面对M 静摩擦力向右:
f 地+N ′sin30°-f ′cos30°=0
而N ′=N=,f ′=f=4.3Nf 地=-Nsin30°+fcos30°=-0.61N
说明地面对斜面M 的静摩擦力f 地=0.61N,负号表示方向水平向左.
可求出地面对斜面M 的支持力N 地
N 地-f ′sin30°-N ′cos30°-Mg=0
N 地= fsin30°+ Ncos30°+Mg=109.65N
因m 有沿斜面向下的加速度分量,故整体可看作失重状态
方法二:当连接体各物体加速度不同时,常规方法可采用隔离法,也可采用对系统牛顿第二定律方程.
=m1a 1x +m 2a 2x +…+m n a nx
=m1a 1y +m 2a 2y +…+m n a ny
解法二:系统牛顿第二定律:
把物块m 和斜面M 当作一个系统,则:
x :f 地=M×0 +macos30°=0.61N水平向左 y :(M+m)g -N 地=M×0+masin30°
N 地=(M+m)g -ma sin30°=109.56N
例2 :如图所示,一质量为M 的楔形木块放在水平桌面上,它的顶角为90°,两底角为α和β;a 、b 为两个位于斜面上质量均为m 的小木块.已知所有接触面都是光滑的,现发现a 、b 沿斜面下滑,而楔形木块静止不动,求楔形木块对水平桌面的压力和静摩擦力
解法一:隔离法
N a =mgcosα N b =mgcosβ
N 地=mg+mgcos βsin α+mgcos αsin β=Mg+mg(sin2α+cos 2α)=Mg+
mg
f 地=Nb ′cos α-N a ′cos β=mgcosβcos α-mgcos αcos β=0
解法二:系统牛顿第二定律列方程:
(M+2m)g -N 地=M×0+mgsin 2α+mgsin 2β
N 地=(M+
m)g
向右为正方向:f 地= M×0+mgsin αcos α-mgsin βcos β=0
典型应用
1. 如图所示,在倾角为α的固定光滑斜面上,有一用绳子拴着的长木板,木板上站
着一只猫. 已知木板的质量是猫的质量的2倍. 当绳子突然断开时, 猫立即沿着板向
上跑, ,以保持其相对斜面的位置不变。则此时木板沿斜面下滑的加速度为( )
A.
g sin α2 B.gsin α C. 3g sin α D.2gsin α 2
2. 如图所示,质量为M 的框架放在水平地面上,一轻弹簧上端固定在框架上,下端固定
一个质量为m 的小球,小球上下振动时框架始终没有跳起,当框架对地面压力为零的瞬
间,小球的加速大小为( )
A .g B .(M-m )g/m C .Mg/m D .(M +m )g/m
3. 一斜劈被两个小桩A 和B 固定在光滑的水平地面上,然后在斜面上放一物体,
如图所示,以下判断正确的是 ( )
A .若物体静止在斜面上,则B 受到挤压 B .若物体匀速下滑,则B 受到挤压
C .若物体加速下滑,则A 受到挤压 D .若物体减速下滑,则A 受到挤压
4. 如图9所示,质量为M 的长平板车放在光滑的倾角为α的斜面上,车上站着一质量为
m 的人,若要平板车静止在斜面上,车上的人必须( )
M A .匀速向下奔跑 B .以加速度a =α向下加速奔跑 m
M M C .以加速度a =(1)gsin α向下加速奔跑 D .以加速度a =(1+)gsin α向上加速奔跑 m m
5. 建筑工人用图所示的定滑轮装置运送建筑材料。质量为70.0kg 的工 人站在地面上,通过定
滑轮将20.0kg 的建筑材料以0.500m /s 2的加速度拉升,忽略绳子和定滑轮的质量及定滑轮的
摩擦,则工人对地面的压力大小为(g取l0m /s 2) ( )
A .510 N B .490 N C .890 N D .910 N
6. 如图7所示为杂技“顶杆”表演,一人站在地上,肩上扛一质量为M 的竖直竹竿,当竿上一
质量为m 的人以加速度a 加速下滑时,杆对地面上的人的压力大小为( )
A .(M+ m) g -ma B .(M+ m) g +ma C .(M+ m) g D .(M-m) g
7. 跨过定滑轮的绳的一端挂一吊板,另一端被吊板上的人拉住,如图3—7所示. 已知人的质
量为70kg ,吊板的质量为10kg ,绳及定滑轮的质量、滑轮的摩擦均可不计.取重力加速度g
=l0m/s2.当人以440 N的力拉绳时,人与吊板的加速度a 和人对吊板的压力F 分别为( )
A .a =1.0 m/s2,F=260N B .a =1.0 m/s2,F=330N
C .a =3.0 m/s2,F=110N D .a =3.0 m/s2,F=50N
8. 如图3—25所示,一质量为M 的楔形木块放在水平桌面上,它的顶角为90°,两底角为α和β;a 、b 为两个位于斜面上质量均为m 的小木块.已知所有接触面都是光滑的.现发现a 、b 沿斜面下滑,而楔形木块静止不动,这时楔形木块对水平桌面的压力等于 ( )
A .Mg +mg B .Mg +2mg
C .Mg +mg (sin α+sin β) D .Mg +mg (cos α+cos β)
9. 如图1-23所示,质量为m的物体,在沿斜面向上的拉力F作用下,沿质量为M的斜
面匀速下滑,此过程中斜面仍静止,则水平面对斜面( )
A.有水平向左的摩擦力
C.支持力为(M+m)g
10. 质量为m=5Kg的物体,置于一粗糙斜面上,如图3-19所示。用一平行于斜面的大小
为40N 的力F 拉物体。使物体沿斜面M 向上匀加速度运动,a=2m/s2,求地面对斜面的
摩擦力。(g=10m/s2)
11. 一卡车拖挂一相同质量的车厢,在水平直道上v 0=12 m/s以的速度匀速行驶,其所受阻力可视为与车重成正比,与速度无关。某时刻,车厢脱落,并以大小为a =2 m/s2的加速度减速滑行。在车厢脱落t =3s后,司机才发觉并紧急刹车,刹车时阻力为正常行驶时的3倍。假设刹车前牵引力不变,求卡车和车厢都停下后两者之间的距离。
图
3-19
12. 如图所示,质量M=10Kg 的木楔ABC静止置于粗糙水平地面上,摩擦因素μ=
0.02.在木楔的倾角θ为30°的斜面上,有一质量m=1.0Kg 的物块由静止开始沿斜面下
滑.当滑行路程s=1.4m时,其速度v=1.4 m/s.在这过程中木楔没有动.求地面对木楔的摩擦力的大小和方向.(重力加速度取g=10/m/s2)