资料2:宏观经济乘数加速数模型分析及运动分析原理

3．宏观经济乘数加速数模型及经济波动周期分析

乘数、加速数模型为宏观经济学中的基本模型之一。它是讨论经济系统中的国民收入、消费、储蓄等变量之间关系及经济增长规律的模型。 社会总产出：所有产品的产值。是否等于GNP? GNP＝社会总产出－期间产品的耗费；

同时GNP 可用于消费和固定资产的投资。

――将上述这些宏观经济用以量化，构造出系统模型即为（标题） （1）建立模型

设 Y(t) ――为第t 年国民生产总值， C(t) ――为第t 年个人消费总额，

G(t) ――为第t 年公共消费（政府支出、政府购买） I(t) ――为第t 年投资总额。

Y(t) ――GNP

公共消费G(t) 企业与个人消费C(t) 公共投资 + 企业与个人投资= I(t) 则有统计规律：

Y(t)＝C(t)＋I(t)＋G(t) *

另外，设

◆ 第t 年个人消费总额C(t)与上一年国民生产总值Y(t－1) 有关。今年消费是去

年的GNP 的线性函数，设为：

C(t)＝a+bY(t-1) *

其中：a,b 为常数，b

∆C

∆Y

◆ 第t 年投资总额I(t)与人们消费需求及银行利率等有关。在市场经济下一个国

家和地区平衡增长时利率变换不大，所以近似认为投资I(t)主要受消费的增加而增加，关系如下：

I(t)＝q+k(C(t)- C(t-1)) *

其中：q,k 为常数。K >0，表明当消费量增加时将使得投资额也增加。比如，今．．．

年比去年消费提高，这样拉动了投资的增加，我们称----需求拉动。

综上，

Y(t)＝C(t)＋I(t)＋G(t)

C(t)＝a+bY(t-1) （*） I(t)＝q+k(C(t)- C(t-1))

称为宏观经济乘数加速数模型。

这是经济学上的革命，该模型以经有50年历史，我国现在还在使用。由凯恩斯提出来的。

（2）分析该模型：

1． 当上述变量都为常数时，称为系统的平衡解。 容易看出，Y 与G 的关系由方程组确定

⎧Y =C +I +G ⎪

⎨C =a +bY

⎪I =q +k (C -C ) =q ⎩

即 Y =

1a +q G + 1-b 1-b

∆Y 1

= ∆G 1-b

表明，当政府购买力为G 时，系统达到平衡后的国民生产总值为Y 。如果G 增加△G, 那么Y 变化，并最终达到Y+△Y. 那么称△Y 与△G 之比为乘数（放大倍数）。即

当b ＝0.5时，1/(1-0.5)=2,这就意味着购买力增加1万万万亿元，那么国民生产总值增加2万万万亿元，但如果这样，就会发生通货膨胀。这是因为我们这里说的变量，都是名义值，而不是实际值。这是因为我们模型中没有考虑价格变量。该模型仅考虑宏观经济变量名义值的变化规律。

实际的宏观经济调控政策设计中，我们让G 适当的上升，使得名义值Y 也相应上升，不至于产生通货膨胀。

Y的实际值应为物价指数P 乘以Y1,Y1由固定资产K 和人工确定（生产函数），即

Y=P*Y1

2．其因果关系（系统）图如下：

经济危机时，煤、面包、衣服、、、出现了恶性循环。这时，政府要出资投入（发债券等手段），刺激经济发展。这样加速了经济的发展――加速数。 但分析该模型有漏洞，如此不断的刺激，将会导致‘滞胀’：通货膨胀，GNP 的快速增长实质上是停滞。 ――经济增长理论。 我国使用‘刺激内需’如修公路，花钱。 该模型灵不灵？取决于外部的参量。b 、k

（3）分析模型的变化

下面直观了解模型的变化，设(a＝10 q=5 b=0.5 k=2) 并且，政府购买力G ＝5，系统处于平衡状态

⎧Y =C +I +G ⎪

⎨C =a +bY

⎪I =q +k (C -C ) =q ⎩

由此得Y=40, C=30.

当政府购买力从5变为10时，变动过程使用方程组，

⎧Y (t ) =C (t ) +I (t ) +G (t ) ⎪C (t ) =10+0. 5Y (t -1) ⎪⎪⎪I (t ) =5+2(C (t ) -C (t -1))

⎨

Y (-1) =40⎪

⎪C (-1) =30⎪⎪⎩I (-1) =5

其中，t ＝－1为平衡状态没有实际时间含义。t ＝0时，政府购买为10。依上式，有(t=-1

不使用原方程组，是使用平衡方程组)

⎧Y (0) =C (0) +I (0) +G (0) ⎪C (0) =10+0. 5Y (-1) ⎪⎧Y (0) =C (0) +I (0) +10⎪I (0) =5+2(C (0) -C (-1)) ⎪⎪

⇒⎨C (0) =10+0. 5⨯40=30 ⎨

⎪Y (-1) =40⎪I (0) =5+2(C (0) -30)

⎩⎪C (-1) =30

⎪⎪⎩I (-1) =5

即得：C(0)=30, I(0)=5 Y(0)=30+5+10=45

如下表：

+10 5+2(C(t)- C(t-1)) Y(t)G(0)=10 45G(1)=10 52.5

当G 由5到10时，立即拉动了国民生产总值，也增加了5。

进一步，再代入上式，当G ＝10不再上升时，可得Y(1)=52.5.这表明，虽然G 不再增加，但国民生产总值升到45后，引起了消费与投资的进一步增加，从而刺激了国民生产总值的进一步增加。

这种国民生产总值一轮又一轮的增加称为‘加速’过程。 再进一步将Y(1)=52.5代入，我们可以得到

Y(2)=58.57, Y(3)=60.625, Y(4)=57.19, Y(5)=50.16, ,,,,,

可以看出，Y(t)的发展是波动的，如此波动下去，最后趋于新的平衡状态：Y ＝50 （从

一个平衡点到另一个平衡点的过程称为‘过渡过程’――这是一门学科，继‘控制论’之后的一门课，研究的人不多）。

那么，波动的周期如何？ （4）周期（运动分析）

（我们说系统的特征根由系数阵的特征根确定，所以找到特征根即可――这个结论正确吗？）

将方程改写为：

⎧Y (t +1) =C (t +1) +I (t +1) +10⎪C (t +1) =10+0. 5Y (t ) ⎪

⎨

⎪I (t +1) =5+2(C (t +1) -C (t )) ⎪⎩Y (0) =45, C (0) =30, I (0) =5

变形为

⎧Y (t +1) -C (t +1) -I (t +1) =10⎪

C (t +1) =10+0. 5Y (t ) ⎨

⎪-2C (t +1) +I (t +1) =5-2C (t ) ⎩

矩阵方程：

00⎤⎡Y (t ) ⎤⎡10⎤⎡1-1-1⎤⎡Y (t +1) ⎤⎡0⎢01⎥⎢C (t +1) ⎥=⎢0. 500⎥⎢C (t ) ⎥+⎢10⎥

0⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎣1-21⎥⎦⎢⎣I (t +1) ⎥⎦⎢⎣0-20⎥⎦⎢⎣I (t ) ⎥⎦⎢⎣5⎥⎦

可以整理为

⎡Y (t +1) ⎤⎡1. 5-20⎤⎡Y (t ) ⎤⎡65⎤

⎢C (t +1) ⎥=⎢0. 500⎥⎢C (t ) ⎥+⎢20⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎣I (t +1) ⎥⎦⎢⎣1-20⎥⎦⎢⎣I (t ) ⎥⎦⎢⎣45⎥⎦

简记为： x (t +1) =Ax (t ) +u

⎡Y (t ) ⎤⎢⎥其中： x (t ) =C (t ) , ⎢⎥⎢⎣I (t ) ⎥⎦⎡1. 5-20⎤⎡65⎤

⎥, u =⎢20⎥

A =⎢0. 500⎢⎥⎢⎥

⎢⎢⎣1-20⎥⎦⎣45⎥⎦

z

z -1

Z 变换： zx (z ) -zx (0) =Ax (z ) +u ⨯

(zI -A ) *(zI -A ) *z

整理： x (z ) = zx (0) +u ⨯

zI -A zI -A z -1

⎛45z 2-60z ⎫ ⎪

* ⎪ ⎪*⎝⎭z -1. 5z +1

2

x (z ) =+

⎛65z 2-40z ⎫

⎪

* ⎪ ⎪*⎝⎭(z -1. 5z +1)(z -1)

2

45z 2-60z 65z 2-40z

于是 Y (z ) =2 +2

z -1. 5z +1(z -1. 5z +1)(z -1)

(45z 2-40z +20) z =2

(z -1. 5z +1)(z -1)

(45z 2-40z +20) z

=

z -0. 75-0. 6614j z -0. 75+0. 6614j z -1Az Bz 50z

=++

z -0. 75-0. 6614j z -0. 75+0. 6614j z -1

其中：A,B 为待定系数。且

z -0. 75-0. 6614j =z -(0. 75+0. 6614j ) =z -(cos(41. 41 ⨯t ) +j sin(41. 41 ⨯t )) z -0. 75+0. 6614j =z -(0. 75-0. 6614j ) =z -(cos(41. 41⨯t ) -j sin(41. 41⨯t ))

Z 变换：并由欧拉公式：

-1

Y (t ) =A [cos41. 41 +j sin 41. 41 ]t +B [cos41. 41 -j sin 41. 41 ]t +50

=αcos(41. 41⨯t ) -βsin(41. 41⨯t ) +50

{[A (cos41. 41 +j sin 41. 41 )]t =A t [cos41. 41 ⨯t +j sin 41. 41 ⨯t ]}

360

则：T =≈8. 69年

41. 41

以上，我们经过一系列复杂的计算讨论了国民生产总值的波动周期。如果我们掌握规律抓住特征，计算结果大为简化。

总结：

我们这节研究了

宏观经济模型

讨论了其波动周期。平均每8.69年达到一个平衡。

二、运动分析原理（系统的特征分析）

我们在前面的问题中已经提过，系统本身固有的特征根对系统起决定作用。如桥由于本身自有一个频率，当外界的输入频率等于自有的频率时，桥就会塌。对于经济系统来讲，如果出现了这样的共振现象，系统就会崩溃，所以我们有必要研究这个问题，寻找特征根的规律和求法。

1．标准系统：

Z变换： zx (z ) -zx (0) =Ax (z )

*

(zI -A )即： x (z ) =zx (0)

zI -A

若系统的特征根如下：

zI -=(z -λ1)(z -λ2) (z -λn )x i (t ) =?

无重根

其中，中间或许会有δ(t ) 。此根只与系统的自身A 有关，所以称为系统特征根。 m 为z 函数的分子的最高次数，n 为z 函数的分母的最高次数. 则m ≤n 且m

例如，上节的宏观经济乘数加速数模型中，由于只是求周期，不要求具体变化规律，所以我们可以直接采用上述结果。

直接找特征根，q=a=G(t)=0时（外部输入量）

⎧Y (t ) =C (t ) +I (t )

⎧Y (t ) =(1+k ) C (t ) -kC (t -1) ⎪

⇒⎨⎨C (t ) =bY (t -1)

⎪I (t ) =k (C (t ) -C (t -1)) ⎩C (t ) =bY (t -1) ⎩

⎧Y (t ) =b (1+k ) Y (t -1) -kC (t -1) ⇒⎨

⎩C (t ) =bY (t -1)

矩阵方程：⎢

⎡Y (t ) ⎤⎡b (1+k ) -k ⎤⎡Y (t -1) ⎤

=⎢⎥⎢⎥0⎥⎣C (t ) ⎦⎣b ⎦⎣C (t -1) ⎦⎡b (1+k ) -k ⎤

A =⎢⎥0⎦⎣b

z -b (1+k ) k

特征方程：zI -A ==z 2-b (1+k ) z +bk

-b z

当b=0.5, k=2时有

zI -A =z 2-b (1+k ) z +bk =z 2-1. 5z +1=0

z 1, 2=0. 75±0. 6614j =cos 41. 41±j sin 41. 41

360

所以周期为T ==8. 69年

41. 41

如没有外界输入，系统将无休止的波动。

亦即，对于一个宏观经济系统，如果是用线性方程组来描述，当输入为0时，一定可以写成差分方程组；同时，一定可以表示为标准形式（状态方程），则有状态矩阵、特征方程、特征根。

所有状态变量为特征根的t 次方的线性组合。

2. 前面我们假设输入为0，如果G 不为0 出现干扰项，则有：

⎡Y (t ) ⎤⎡b (1+k ) -k ⎤⎡Y (t -1) ⎤⎡a +q +ak 1⎤⎡1⎤

+⎢⎢C (t ) ⎥=⎢b ⎥⎢⎥⎥⎢⎥0⎦⎣C (t -1) ⎦⎣a 0⎦⎣G (t ) ⎦⎣⎦⎣

为状态矩阵 问题：x (t ) 的解与A 及u(z)的特征根都有什么关系？ 首先，常数a 的特征根为1。因为h (z ) =

az

z -1

其次，对于u (t ) 这一个干扰项（输入）可以证明：u (t +1) =Hu (t )

⎤⎡1⎤⎡10⎤⎡1⎤⎡1⎤⎡1

= 如⎢那么 =⎢⎢⎥⎢⎢⎥t ⎥t +1⎥t ⎥G (t ) ⎣⎦⎣10⨯1. 1⎦⎣10⨯1. 1⎦⎣01. 1⎦⎣10⨯1. 1⎦

最后，⎨

⎧x (t +1) =Ax (t ) +Bu (t ) ⎡x (t +1) ⎤⎛A B ⎫⎡x (t ) ⎤

⎪⇒⎢= ⎥⎢⎥ ⎪

⎩u (t +1) =Hu (t ) ⎣u (t +1) ⎦⎝0H ⎭⎣u (t ) ⎦

即将输入的干扰项转为系统内，变成一个新系统。

如果

⎛A 0⎝

⎛λ1

B ⎫ 0⎪=T 0H ⎪⎭

0⎝

t

0**h 10

t

λ2

00

t

*⎫⎪*⎪-1

T ⎪0⎪h 2⎪⎭

t

那么 x i (t ) =α1λ1+α2λ2+β1h 1+β2h 2

即系统内的任一变化规律为：固有根与外部根的叠加。

总结：

1）线性系统如果可以写成差分方程，则一定可以写成标准方程（状态方程） 2）有输入，一定有输出 3）设系统固有根λ1,

h 1=12 4）x i (t ) =α11. 1t +α20. 8t +β11. 2t +β21t 对其考察变化情况。

以上，求出了反映系统特征的规律，虽不是最终解，但可以反映系统的特征，可以讨论系统的其他特性（增长率、周期等），并可以简化计算。

λ2，输入干扰根h 1, h 2。

三、课后作业

1．生态平衡模型

自然界万物的运动变化的规律是很复杂的，如我们前面讲到的，兔口、人口模型，可以自然繁殖，在生存环境很好的情况下，就会成灾；但一些动物，如鱼类，人们的捕捞可以使自然繁殖速率下降，而过量的捕捞，则可造成渔业资源的枯竭。只有适当的捕捞才可以达到渔业资源的生态平衡。

而我国近几十年经常会发生对资源的过渡索取，如‘黄花鱼’。

对环境保护也有生态平衡问题。农药施肥、化工厂、汽车尾气、等对环境造成的污染，必须加以控制以维护环境的平衡。

对于生态环境的变化，用数学方程描述十分的复杂。一般使非线性差分方程或非线性微分方程。但也有一些情况，使用线性差分方程描述其运动规律也有一定的准确性，下面举例说明线性差分方程在研究生态平衡中的应用。

如，年轻人吸烟，会有尼古丁的吸入体内，故留在肺、血液中，由医学上的测定，我们可以知道，尼古丁经由肺、血液时的故留量和排放量的百分比如下： 1mg/天 21设：第t 天肺中的尼古丁含量为 x 1(t ) ， 第t 天血液中的尼古丁含量为 x 2(t ) ，

问：在肺和血液中如何分布，达到平衡时肺和血液中尼古丁的含量比为多少？（先看是否可以达到平衡，及比例lim

t →∞

x 1(t )

=? ） x 2(t )

（提示：此题建模后通过对特征根讨论来求解分布函数）