构造函数解导数
合理构造函数解导数问题
构造函数是解导数问题的基本方法,但是有时简单的构造函数对问题求解带来很大麻烦甚至是解决不了问题的,那么怎样合理的构造函数就是问题的关键。 例1:已知函数f (x )=ln (ax +1)+x 3-x 2-ax . (1) 若
2
为y =f (x )的极值点,求实数a 的值; 3
(2) 若y =f (x )在[1, +∞)上增函数,求实数a 的取值范围; (3) 若a =-1时,方程f (1-x )-(1-x )=
3
b
有实根,求实数b 的取值范围。 x
变量分离直接构造函数 抓住问题的实质,化简函数
1、已知f (x )是二次函数,不等式f (x )
(1)求f (x )的解析式;
(2)是否存在自然数m ,使得方程f (x )+
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=0在区间(m , m +1)内有且只有两个不等的x
实数根?若存在,求出所有m 的值;若不存在,请说明理由。
变式练习:设函数f (x )=x -6x +5, x ∈R ,求已知当x ∈(1, +∞)时,f (x )≥k (x -1)恒
3
成立,求实数k 的取值范围。
抓住常规基本函数,利用函数草图分析问题
例: 已知函数f (x )=n +ln x 的图像在点P (m , f (m )) 处的切线方程为y =x , 设g (x )=mx -
n
-2ln x . x
(1) 求证:当x ≥1时,g (x )≥0恒成立; (2) 试讨论关于x 的方程mx -
n
-g (x )=x 3-2ex 2+tx 根的个数。 x
一次函数,二次函数,指对数函数,幂函数,简单的分式根式函数,绝对值函数的图象力求清晰准确,一些综合性的问题基本上是这些函数的组合体,如果适当分解和调配就一定能找到问题解决的突破口,使问题简单化明确化。
复合函数问题一定要坚持定义域优先的原则,抓住函数的复合过程能够逐层分解。 例:已知函数f (x )=-单调递增。
(1) 求实数a 的值.
(2) 若关于x 的方程f 2x =m 有3个不同的实数解,求实数m 的取值范围. (3) 若函数y =log 2[f (x )+p ]的图像与坐标轴无交点,求实数p 的取值范围。 复合函数尤其是两次复合,一定要好好掌握,构造两种函数逐层分解研究,化繁为简,导数仍然是主要工具。
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x +x +ax 2-2x -2在区间[-1, 1]上单调递减,在区间[1, 2]上43
()
导数—构造函数
一:常规的构造函数
例一. 若sin 3θ-cos 3θ≥cos θ-sin θ,0≤θ
π
4
] (B)[
π
π5π
, π] (C)[, ]
444
(D)[
π3π
4, 2
)
x -y -x y
变式、已知3-3≥5-5成立,则下列正确的是( )
A. x +y ≤0 B. x +y ≥0 C. x -y ≥0 D. x -y ≤0
2
变式. f '(x ) 为f (x ) 的导函数,若对x ∈R ,2f (x ) +xf '(x ) >x 恒成立,则下列命题可能
错误的是( )
A .f (0)>0 B.f (1)
二:构造一次函数
例二、对于满足|a|≤2的所有实数a, 求使不等式x 2+ax+1>a+2x恒成立的x 的取值范围.
三:变形构造函数 例三.已知函数f (x ) =
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x -ax +(a -1)ln x ,a >1. 2
(Ⅰ)讨论函数f (x ) 的单调性;
(Ⅱ)证明:若a
例四、已知函数f (x ) =(a +1)ln x +ax 2+1.
(Ⅰ)讨论函数f (x ) 的单调性;
(Ⅱ)设a ≤-2,证明:对任意x 1, x 2∈(0,+∞) ,|f (x 1) -f (x 2) |≥4|x 1-x 2|.
四:消参构造函数
例五、设函数f (x )=x +aln (1+x )有两个极值点x 1,x 2,且x 1
2
f (x 1) -f (x 2)
>-1.
x 1-x 2
(I )求a 的取值范围,并讨论f (x )的单调性; (II )证明:f (x 2)>
五:消元构造函数
例六、已知函数f (x )=ln x ,g (x )=e x . (Ⅰ)若函数ϕ(x )=f (x )-
1-2ln 2
. 4
x +1
,求函数ϕ(x )的单调区间; x -1
(Ⅱ)设直线l 为函数的图象上一点A (x 0, f (x 0))处的切线.证明:在区间(1, +∞)上存在唯一的x 0,使得直线l 与曲线y =g (x )相切.
六:二元合一构造函数
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ax +bx (a >0) 且导数f '(1)=0 2
(1)试用含有a 的式子表示b ,并求f (x ) 的单调区间; (2)对于函数图象上的不同两点A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) 如果在函数图象上存在点M (x 0, y 0) (其中x 0∈(x 1, x 2) )使得点M 处的切线l //AB ,则称AB 存在“跟随切线”。
x +x 2
特别地,当x 0=1时,又称AB 存在“中值跟随切线”。试问:在函数f (x ) 上是否存在
2
两点A 、B 使得它存在“中值跟随切线”,若存在,求出A 、B 的坐标,若不存在,说明理由。
例七、已知函数f (x ) =ln x -
七:构造函数解不等式
例八、设函数f (x ) =-x 3-2mx 2-m 2x +1-m (其中m > - 2) 的图像在x=2处的切线与直线y = -5x +12平行;
(Ⅰ)求m 的值与该切线方程;
(Ⅱ)若对任意的x 1, x 2∈[0, 1], f (x 1)-f (x 2)≤M 恒成立,则求M 的最小值; (Ⅲ)若a ≥0, b≥0, c≥0且a+b+c=1,试证明:
例九、设函数f (x ) =ln x -px +1
(Ⅰ)求函数f (x ) =ln x -px +1的极值点
(Ⅱ)当p >0时,若对任意的x >0,恒有f (x ) ≤0,求p 的取值范围。
a b c 9
++≤
1+a 21+b 21+c 210
ln 22ln32ln 42ln n 22n 2-n -1
(Ⅲ)证明:2+2+2+⋅⋅⋅+2
234n 2(n +1)
例十、证明:对任意的正整数n ,不等式ln(+1) >
1n 11
-3都成立. 2
n n
1、移项法构造函数
【例1】已知函数f (x ) =ln(x +1) -x ,求证:当x >-1时,恒有1-
2、作差法构造函数证明 【例2】已知函数f (x ) =
1
≤ln(x +1) ≤x x +1
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x +ln x . 求证:在区间(1, +∞) 上,函数f (x ) 的图象在函数2
g (x ) =
23
x 的图象的下方; 3
111
+1) >2-3 都成立. n n n
3、换元法构造函数证明
【例3】证明:对任意的正整数n ,不等式ln(
4、从条件特征入手构造函数证明
【例4】若函数y =f (x ) 在R 上可导且满足不等式x f '(x ) >-f (x ) 恒成立,且常数a ,b 满足
a >b ,求证:.a f (a ) >b f (b )