球的表面积
球的表面积
授课教师:周锦泉
一、 教材分析:球的表面积公式是旋转体一章的重点内容,从演绎的角度来看教材的安排是比较科学的——在给出预备定理的基础上,再建立球的表面积公式。但从学生发展的过程来看,却又在学生认识规律之外,这是因为,按现行的教材的体系,学生难以解决下列问题:
1.作半圆的内接正折线是怎样想到的?作半圆珠笔的任意内接折线行不行?
2.已有一整套圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式,为什么还需要一个统一的公式?
3.这个预备定理起什么作用?事先又是怎样想到这个定理的?
4.这个预备定理是不是仅仅为了学习球的侧面积公式而提出来的?学生还能获得什么?
二、 教学目的:
1、 通过球的表面面积公式的预备定理的证明,培养学生的空间想象能力和分析问题、解决问题的能力。 2、 会应用预备定理推导球的表面积公式,同时向学生渗透分割、逼近的数学思想。
3、 会运用球的表面积公式解答一些多面体和旋转体的相切、相接问题。
4、培养学生认真观察,大胆想象,积极探索发现问题,大胆提出问题的良好习惯。
三、教学重点:
球的表面积公式及其推导
二、 教学难点:
运用预备定理推导球的表面积公式·
三、 教学方法:
探索发现方法
四、 教学工具:
投影仪、投影片、自制教具
五、 教学过程:
创造问题情境
师:同学们,这节课我们一起来研究一类我们日常生活中觉见的问题:
求球的表面积问题。(板书课题)
师:在这之前,我们已学习了圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式。(复习公式)
探求这些公式时,我们运用的方法是:先展开再求面积。那么,求球的表面积能否也这样做呢?我们先一起来看这样的两个实验。
实验1:动手剪皮球,说明球面不可展。
实验2:自制半圆柱“复印”球面的错误理解。这两个实验说明球面不可展。
那么,我们应如何来求球的表面积呢? 新问题旧知识 S=?
师生共同探索
通过教具启发学生分割半球为若干块,然后把这些几何体可近似地看成圆台、圆锥,当分割的块数无限多时,这些圆台、圆锥的侧面积之和就会近似地等于半球的面积。
这种方法叫做分割,无限逼近法。这样就转化成了求球面的内接圆柱、圆台、圆锥的侧面积问题了。如何求呢?请看如下问题:
问题1:已知球面O的内接圆台的高OO’=h,球心O到母线AD的距离OE=p,求证:
S=2ph
分析:过圆台的轴的平面截圆台和球分别及轴截面ABCD和球的大圆⊙O,这时轴截面ABCD是⊙O的内接等腰梯形。
要证:S=2ph 2ph=(r+r’) 2ph=(r+r’)
ph=
OE•DD’=EE’•AD
△ADD’∽ △OEE’
总结:该问题结论即为教材P的预备定理。即:
定理1:球面内接圆台的高为h,球心到母线距离为p,则S=2ph。
问题2:请同学们思考一下,球的内接圆锥、圆柱对这个结果是否同样成立?
为什么?
结论:这个结果对于球的内接圆柱、圆锥仍然成立,因为圆柱、圆锥可以看成是特殊的圆台。 学生讨论交流
师:现在我们已有定理1这个结论,下面请同学们思考一下,我们应如何运用无限逼近法求S? 教师点拔
1、 预备定理的作用在于:‘把半球分割后,求球的内接圆台、圆锥的侧面积’。
2、 S=2
ph =2p(h =2
=2p•ON pR
分点无限增加,侧面积无限地接近半球面,同时P
R,S
我们把这个和作为半球面的面积。
∴定理2:S
3、 课本是采用等分圆弧无限逼近的,采用等分半径行吗?
巩固与应用
例1、 填空:球半径扩大2倍时,大圆面积扩大_______倍,球面面积扩大 ______倍。
球的半径扩大K倍时,球面面积扩大_____倍。
大圆面积扩大K倍时,球面面积扩大_____倍。
例2、 已知:圆柱的底面直径与高都等于球的直径。
求证:(1)球的表面积等于圆柱的侧面积。
(2)球的表面积等于圆柱全面积的
归纳小结
组织学生对以上教学环节归纳小结,并回答下面问题:
(1) 本节课学习的主要内容是什么?
(2) 这节课你印象最深刻的是什么?你认为理解得不够深刻的是哪些地方?
(3) 通过这节课的学习,你得到了哪些启示?以后在课堂上刻如何学习才能提高效率?
(4) 这节课的学习运用了哪些数学思想方法,哪些解题技巧、规律?
a、实验联想建模证明
b、无限逼近思想
作业布置
P
板书设计
课题:球的表面积
1、 实验:
2、 新问题旧知识 S?
3、 定理1:S=2ph
4、定理2:S
5、小结: ①实验②无限逼近思想 联想建模证明