地震波的吸收
五、 地震波的吸收
1. 对吸收的概括说明
弹性介质是实际介质的近似，实际介质对地震波有吸收。使波传播时能量很快衰减。地震波的能量不可逆地转化成了热能散发掉叫做吸收。
目前公认岩石颗粒之间的内摩擦力是吸收的主要原因，这种内摩擦力也叫粘滞力。
不同的介质中，内摩擦力所遵守的规律不同，其中沃尹特（Voigt ）的假设比较有代表性。
2．沃尹特（Voigt ）假设下的波动方程 （1）沃尹特假设
前面讨论的完全弹性介质中的波动方程是在应力与应变成正比（虎克定律）的条件下得到的。
沃尹特假设：应力与应变的关系包括两部分，一部分是应力与应变成正比的满足虎克定律的应变，另一部分是应力与应变的时间变化率成比例的粘滞效应。
（2）沃尹特假设的粘弹介质中的波动方程
ρ
∂u ∂t
22
=(λ+μ) ∇θ+μ∇u +
2
13
η∇
∂θ∂t
+η∇
2
∂u ∂t
(6.1-45)
∂ ∂ ∂ ∇=grad =i +j +k
∂x ∂y ∂z
η是粘滞系数。
对（6.1-45）求散度，可得纵波的波动方程为：
ρ∂θ∂t
22
=[(λ+2μ) +
43
η
∂∂t
]∇θ (6.1-46)
2
对（6.1-45）求旋度，可得横波的波动方程为： ρ
∂
22
∂t
rot u =(μ+η
∂∂t
) ∇rot u (6.1-47)
2
3. 沃尹特粘弹介质中一维谐波方程的求解
（1）求解
分析平面谐波沿X 方向传播，以纵波为例。 假设纵波的位移位是：
φ(x , t ) =φ0e
θ=
∂u ∂x
+
∂φ∂x
j ω(t -
x v
)
=φ0e
=∂u ∂x
j (ωt -Kx )
(6.1-48)
∂v ∂y
∂v ∂y
+
∂w ∂z
（注：波沿x 方向传播，
∂φ∂x
=0，
∂w ∂z
=0）
又 u =
∴θ=
∂u ∂x
(注：u =grad φ=
∂φ∂x
22
2
i +0j +0k =u i +v j +w k
)
=
=-K φ (6.1-49)
将(6.1-49)代入(6.1-46)，得
ρω
2
=(λ+2μ) K
2
+j
2
43
ηωK
2
∴K
2
=
ρω
(λ+2μ) +j
43
=
ρω
2
ηω
(λ+2μ) +j η'ω
（η' =
43
η） (6.1-50)
将上式有理化，得
K
2
=
ρω
2
2
2
2
{
2
λ+2μ
[(λ+2μ) +η'ω]
2
2
2
2
-j
η'ω
[(λ+2μ) +η'ω]
2
2
2
2
[(λ+2μ) +η'ω]
(λ+2μ) 2+η'22η'ω β
λ+2μ
λ+2μ
[(λ+2μ) +η'ω]
2
2
2
1=cos β
η'ω
[(λ+2μ) +η'ω]
2
2
2
2
=sin β
η'ωλ+2μ
=tan β
β=tan
-1
(
η'ωλ+2μ
)
这样，(6.1-51)可写成
K
2
=
ρω
2
2
2
2
exp[-j tan
-1
(
η'ωλ+2μ
)]
[(λ+2μ) +η'ω]
（ e -j β=cos β-j sin β e j β=cos β+j sin β）
K =[
ρω
2
24
2
(λ+2μ) +η'ω
ρω
22
4
2
2
]2
4
exp[-j
12
12
tan
-1
(
η'ωλ+2μ
12
)]
η'ωλ+2μ
或K
=[
(λ+2μ) +η'ω
]
4
{cos[tan
-1
(
η'ωλ+2μ
)]-j sin[tan
-1
()]}
(6.1-52)
令R 表示上式中的实数部分，α表示虚数部分， 则 R =[
ρω
22
4
2
2
(λ+2μ) +η'ω
]
4
cos[12
12
tan
-1
(
η'ωλ+2μ
)] (6.1-53)
α=[
ρω
2
24
2
2
(λ+2μ) +η'ω
]
sin[tan
-1
(
η'ωλ+2μ
)] (6.1-54)
于是 K =R -j α (6.1-55) 将(6.1-55)代入(6.1-48)，得
φ(x , t ) =φ0e
-αx
e
j (ωt -Rx )
(6.1-56)
(2)对上述求解过程的大致说明
假设的解为φ(x , t ) =φ0e 真正的解为φ(x , t ) =φ0e
j (ωt -Kx )
（6.1-48）
（6.1-56）
-αx
e
j (ωt -Rx )
二者的差别在于衰减项e -αx ，这正是吸收项。
吸收作用的实测结果是随传播距离的增加振幅呈指数衰减，我们正希望最终的解当中出现e -αx 。
分析（6.1-48）只有K 变成复数才能出现e -αx 项，可以认为沃尹特已经按这套思路去处理了。
另一点要说明的就是：沃尹特假设下的波动方程（6.1-46）无法求解。所以沃尹特先假设解为（6.1-48）的形式，然后代入（6.1-46）来确定K 值。最
终确定的k =R -j α达到了开始的设想。
（3） 沃尹特介质中的波动方程解（6.1-56）的物理意义 ①有频散
波在沃尹特介质中传播速度是频率的函数，即有频散。
V =
ωk
=[
1
ρ
2
2
2
(λ+2μ) +η'ω
2
]
1
4
cos[
12
tan
-1
(
η'ωλ+2μ
（6.1-57）
)]
均匀介质：V p =
λ+2μρ
，V s =
μρ
不同频率的波传播速度不同，结果会改变波剖面的长度。例如：前进中的队伍。 ②波的吸收与频率有关
从解（6.1-56）可见，α是吸收系数。
α=[
ρω
22
4
2
2
(λ+2μ) +η'ω
]
1
4
sin[
12
tan
-1
(
η'ωλ+2μ
)] (6.1-54)
介质对不同频率的波吸收不同，（6.1-54）与频率的关系不直观。 目前公认的结果为：
在地震勘探范围内，f
（1）品质因数的定义
在一个周期内（或传播一个波长的距离内）波动所损耗的能量ΔE 与总能量E 之比的倒数叫品质因数Q 。 即 或
1Q =∆E 2πE
（6.1-62）
2πQ
=
∆E E
(2)品质因数Q 的物理意义
Q 值是一个无量纲的量。
Q 值越大，介质的吸收越小，介质越接近于完全弹性介质。
Q 值越小，介质的吸收越大。 (3)品质因数Q 与吸收系数α之间的关系
设波的初始振幅为A ，能量E ∝A 2
则波传播λ距离后振幅为Ae -αλ，能量E ∝A 2e -2αλ ΔE ∝A 2-A 2e -2αλ
∆E E
1Q =
=1-e
1-e
-2αλ
-2αλ
=
2π
≈
αλπ
αV p T π
=
αV p πf
注：展级数，去高次项。
Q ≈
πf αV p
吸收系数与品质因数成反比。
当Q 值与频率f 无关时，则上式成为：
α=
πf V p Q
=α0f 这是目前地震频带内公认的结果。
（4） 说明
①用吸收系数研究介质的吸收不方便
因为α与频率有关，所以吸收系数α与震源有关, 也与介质有关。 ②用Q 值研究介质的吸收较方便
当α=α0f 时（在地震频带内经得起实际考验）
则Q 值与频率无关，即Q 值与震源无关，Q 值只与介质有关。即：Q= Q(x,y,z)。又因为Q 值横向变化不大，近似有Q= Q(z)。 ③李庆忠经验公式
Q ≈14V p
2. 2
(V p 单位取km/s)
V p 1000
)
2. 2
或Q =14⨯(
=3. 516⨯V p
2. 2
⨯10
-6
(V p 单位取m/s)
说明:李氏公式并不是用V p 求取Q ，而是可大致了解Q 值趋势。不过有工区的 VP 资料，可用这个公式建立初始Q 值模型，进行理论模型的研究。
(5)地震中几点经验
① 介质对高频的吸收比对低频的吸收厉害（用α=α0f 说明） ② 浅层的吸收比深层的吸收历害。 因为， 浅层：V 小，Q 小，α大 深层：V 大，Q 大，α小 ③ 砂岩含油气时比不含油气吸收历害。 有油气，V P 小，Q 小，α大。
六、说明
§1.3难度较大，该节概括了《弹性力学》的主要内容。
要求了解波动方程的形式，了解波动方程求解的思路。公式不要求推导，但物理概念要清楚。