2.3.1双曲线的标准方程
§2.3 双曲线
2.3.1 双曲线的标准方程
一、基础过关 22xy1. 1的焦距为________. 102
2. 已知双曲线的a=5,c=7,则该双曲线的标准方程为__________________.
x2y23. 若点M-=1上,双曲线的焦点为F1,F2,且MF1=3MF2,则MF2=___. 164
4. 已知双曲线的一个焦点坐标为(,0),且经过点(-5,2),则双曲线的标准方程为 ____________.
y2x2
5. -=1表示双曲线,则实数m的取值范围是________. 4m+1
6. 双曲线5x2+ky2=5的一个焦点是(,0),那么实数k的值为________. 2222xyxy7. +=1和双曲线-1有相同的焦点,则实数n的值是________. 34nn16
8. 若双曲线x2-4y2=4的左、右焦点分别是F1、F2,过F2的直线交右支于A、B两点,若AB=5,则△AF1B的周长为________.
二、能力提升
x2y2
9. 在平面直角坐标系xOy中,方程=1表示焦点在x轴上的双曲线,则k的取k-1k-3
值范围为________.
→→10.已知双曲线的两个焦点F1(-5,0),F2(,0),P是双曲线上一点,且PF1·PF2=0,
PF1·PF2=2,则双曲线的标准方程为____________.
11.
2222如图,已知定圆F1:x+y+10x+24=0,定圆F2:x+y-10x+9=0,动圆M与定
圆F1、F2都外切,求动圆圆心M的轨迹方程.
12.已知双曲线过点(3,-2)且与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)若点M在双曲线上,F1、F2为左、右焦点,且MF1+MF2=6,试判别△MF1F2的形状.
三、探究与拓展
13.A、B、C是我方三个炮兵阵地,A在B正东6千米,C在B北偏西30°,相距4千米,P为敌炮阵地,某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号,由于B、C两地比A距P地远,因此4 s后,B、C才同时发现这一信号,此信号的传播速度为1 km/s,求A应沿什么
方向炮击P地.
xyyxx1. 4 2. =1或1 3. 4 4. -y2=1 5. m>-1 6. -1 2524252452x7. ±3 8. 18 9. (1,3) 10.-y2=1 4
11.解 圆F1:(x+5)+y=1,
∴圆心F1(-5,0),半径r1=1.
圆F2:(x-5)+y=4,
∴圆心F2(5,0),半径r2=4.
设动圆M的半径为R,
则有MF1=R+1,MF2=R+4,
∴MF2-MF1=3.
391∴M点轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线(左支),且a=c=5.∴b2=. 24
443∴双曲线方程为x2-2=1 (x≤). 991222xy12.解 (1)椭圆方程可化为+=1,焦点在x轴上,且c9-4=, 9422xy故设双曲线方程为-1, ab94=1,则有ab解得a2=3,b2=2,
a2+b2=5,
x2y2所以双曲线的标准方程为1. [1**********]答案 2
(2)不妨设M点在右支上,
则有MF1-MF2=2,
又MF1+MF2=6,
故解得MF1=4,MF2=,
又F1F2=,
因此在△MF1F2中,MF1边最长,
22MF22+F1F2-MF1而cos∠MF2F1=, 2·MF2·F1F2
所以∠MF2F1为钝角,故△MF1F2为钝角三角形.
13.解 如图所示,以直线BA为x轴,线段BA的垂直平分线为y轴
建立坐标系,
则B(-3,0)、
A(3,0)、
C(-5,2,
∵PB=PC,
∴点P在线段BC的垂直平分线上.∵kBC=-, BC的中点D(-4,, 1∴直线PD:y(x+4)① 又PB-PA=4,
故P在以A、B为焦点的双曲线右支上.
x2y2
设P(x,y),则双曲线方程为-=1 (x≥2)② 45
联立①、②式,得x=8,y=53,
5所以P(8,5.因此kPA=, 8-3
故A应沿北偏东30°方向炮击P地.