积分不等式的证明方法
摘 要
在高等数学的学习中, 积分不等式的证明一直是一个无论在难度还是技巧性方面都很复杂的内容. 对积分不等式的证明方法进行研究不但能够系统的总结其证明方法, 还可以更好的将初等数学的知识和高等数学的结合起来. 并且可以拓宽我们的视野、发散我们的思维、提高我们的创新能力, 因此可以提高我们解决问题的效率. 本文主要通过查阅有关的文献和资料的方法, 对其中的内容进行对比和分析, 并加以推广和补充, 提出自己的观点. 本文首先介绍了两个重要的积分不等式并给出了证明, 然后分类讨论了证明积分不等式的八种方法, 即利用函数的凹凸性、辅助函数法、利用重要积分不等式、利用积分中值定理、利用积分的性质、利用泰勒公式、利用重积分、利用微分中值定理, 最后对全文进行了总结．
关键词：积分不等式, 定积分, 中值定理, 柯西-施瓦兹不等式, 单调性
ABSTRACT
When we study mathematics , the proof of integer inequality has always been seen as a complex content both in difficulty and skill ．In this paper the proof methods of integral inequality are organized systematically to combine the knowledge of elementary mathematics and higher mathematics better . Also our horizons can be broadened , thinking can be divergencied and innovation ability can be improved, so as to improve our efficiency of problem solving . The paper is completed by referring to relevant literature , comparing and analysing related content , complementing and promoting related content . In this paper , two important integral inequalities along with their proof methods are given first, and then eight approaches to proof integral inequalities are introduced, such as concavity and convexity of function, method of auxiliary function , important integral inequality , integral mean value theorem , integral property , Taylor formula, double integral and differential mean value theorem. Finally , the full paper is summarized．
Key words: Integral Inequality, Definite Integral, Mean Value Theorem,
Cauchy-Schwarz Inequality, Monotonicty
1. 引 言
不等式在数学中有着重要的作用, 在数量关系上, 尽管不等关系要比相等关系更加普遍的存在于人们的现实世界里, 然而人们对于不等式的认识要比方程迟的多. 直到17世纪之后, 不等式的理论才逐渐的成长起来, 成为数学基础理论的一个重要组成部分. 众所周知, 不等式理论在数学理论中有着重要的地位, 它渗透到了数学的各个领域中, 因而它是数学领域中的一个重要的内容. 其中积分不等式更是高等数学中的一个重要的内容．
实际上关于定积分的概念起源于求平面图形的面积和一些其他的实际问题. 有关定积分的思想在古代就有了萌芽, 比如在公元前240年左右的古希腊时期, 阿基米德就曾经用求和的方法计算过抛物线弓形和其他图形的面积. 在历史上, 积分观念的形成要比微分早. 然而直到17世纪后半期, 较为完整的定积分理论还没有能够形成, 一直到Newton-Leibniz 公式建立之后, 有关计算的问题得以解决后, 定积分才迅速的建立并成长起来．
本论文研究的积分不等式结合了定积分以及不等式. 关于它的证明向来是高等数学中的一个重点及难点. 对积分不等式的证明方法进行研究，并使其系统化，在很大程度上为不同的数学分支之间架起了桥梁. 深刻的理解及掌握积分不等式的证明方法可以提升我们对其理论知识的理解, 同时可以提高我们的创造思维和逻辑思维．
在论文的第三部分中对积分不等式的证明方法进行了详细的阐述. 分别从利用函数的凹凸性、辅助函数法、利用重要积分不等式、利用积分中值定理、利用泰勒公式、利用重积分、利用微分中值定理、利用定积分的性质这八个方面给出了例题及证明方法. 这样通过几道常见的积分不等式的证明题, 从不同的角度, 用不同的方法研究、分析了积分不等式的特点, 归纳总结出了其证明方法. 同时论文中也对有的题目给出了多种证明方法, 这启示我们对于同一道积分不等式而言它的证明方法往往不止一种, 我们需要根据实际情况采用合适的方法去证明, 从而达到将问题化繁为简的目的．
2. 几个重要的积分不等式
在高等数学的学习中我们遇到过许多重要的积分不等式, 如Cauchy-Schwarz 不等式, Young 不等式等. 它们的形式及证明方法都有很多种, 在这一小结中我们将给出这两种积分不等式的证明方法．
2.1 Cauchy-Schwarz不等式
无论是在代数还是在几何中Cauchy-Schwarz 不等式的应用都很广泛, 它是不同于均值不等式的另一个重要不等式．其形式有在实数域中的、微积分中的、概率空间(Ω, F , P )中的以及n 维欧氏空间中的4种形式. 接下来在这一部分中我们将对其在微积分中的形式进行研究．
定理2.1[1] 设f (x ) , g (x ) 在[a , b ]上连续, 则有
[⎰f (x ) g (x ) dx ]2≤{⎰[f (x )]2dx }⋅ {⎰[g (x )]2dx }．
a
a
a
b b b
证明：要证明原不等式成立, 我们只需要证
⎰
设F (t )=⎰
t
2a
b
a
f
2
(x )dx ⋅⎰a
t
2
b
b
⎡g (x )dx -⎰f (x )g (x )dx ⎤≥0成立． ⎢⎥⎣a ⎦ 2
2
2
t
f (x )dx ⋅⎰g (x )dx -⎡⎰f (x )g (x )dx ⎤, 则只要证F (b )≥F (a )成立,
⎢a ⎥a ⎣⎦
由F (t )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导, 得
F '(t )=f 2(t )⎰g 2(x )dx +g 2(t )⎰f 2(x )dx -2f (t )g (t )⎰f (x )g (x )dx
a
a
a
2222
=⎰⎡f t g x -2f t g t f x g x +g t f ()()()()()()()(x )⎤⎦dx a ⎣t
t t t
=⎰⎡f (t )g (x )-g (t )f (x )⎤⎦dx ≥0． (2.1) a ⎣由(2.1)式可知F (t )在[a , b ]上递增, 由b >a , 知F (b )>F (a ), 故原不等式成立． 证毕
实际上关于Cauchy-Schwarz 不等式的证明方法有很多, 这里我们采用的证明方法是较为普遍的辅助函数法, 它将要证明的原积分不等式通过移项转变为了判断函数在两个端点处函数值大小的问题．通过观察我们可以进一步发现原Cauchy-Schwarz 不等式能够改写成以下行列式的形式
t
2
⎰f (x )f (x )dx ⎰g (x )f (x )dx ≥0,
a
a
b b
⎰
b
a
f (x )g (x )dx
⎰g (x )g (x )dx
a
b
由此我们可以联想到是否可以将它进行推广？答案是肯定的. 下面我们将给出
Cauchy -Schwarz 不等式的推广形式．
定理2.2[2] 设f (x ), g (x ), h (x )在[a , b ]上可积, 则
⎰⎰⎰h (x )f (x )dx
⎰f (x )g (x )dx ⎰g (x )g (x )dx ⎰h (x )g (x )dx ≥0． ⎰f (x )h (x )dx ⎰g (x )h (x )dx ⎰h (x )h (x )dx
a
a
a
b
b
b
a
a
a
b
b
b
a
a
a
b
f (x )f (x )dx
b
g (x )f (x )dx
b
证明：对任意的实数t 1, t 2, t 3, 有
⎰
b
a
(t 1f (x )+t 2g (x )+t 3h (x ))dx
b
b
b
a
a
a
2
=t 12⎰f 2(x )dx +t 22⎰g 2(x )dx +t 32⎰h 2(x )dx
b
b
a
a
b a
+2t 1t 2⎰f (x )g (x )dx +2t 1t 3⎰f (x )h (x )dx +2t 2t 3⎰g (x )h (x )dx ≥0． 注意到关于t 1, t 2, t 3的二次型实际上为半正定二次型, 从而其系数矩阵行列式为
⎰
b a b
b
a
f 2(x )d x
⎰
b
a
(g )x (f )x d ⎰x (
a
b
)h (x )
b 2
x d x
⎰(
()x ⎰f (x )h
f
a
x )g ()x d x
d x ⎰
b a
⎰
b
2
a
(g )x d x ⎰
b
a
x ()h ()
a
≥0x ．d x 证毕 x d x
(g )(x )h
x d x ⎰
()
h
以上的推广是将Cauchy-Schwarz 不等式的行列式由二阶推广到了三阶的形式, 事实上Cauchy-Schwarz 不等式是一个在很多方面都很重要的不等式, 例如在证明不等式, 求函数最值等方面. 若能灵活的运用它则可以使一些较困难的问题得到解决. 下面我们会在第三部分给出Cauchy-Schwarz 不等式及其推广形式在积分不等式证明中的应用．
除了Cauchy-Schwarz 不等式之外还有很多重要的积分不等式, 例如Young 不等式, 相较于Cauchy-Schwarz 不等式我们对Young 不等式的了解比较少, 实际上它也具有不同的形式且在现代分析数学中有着广泛的应用. 接着我们将对Young 不等式进行一些研究．
2.2 Young不等式
Young 不等式, 以及和它相关的Minkowski 不等式, HÖlder不等式, 这些都是在现代分
析数学中应用十分广泛的不等式, 在调和函数、数学分析、泛函分析以及偏微分方程中这三个不等式的身影随处可见, 是使用得最为普遍, 最为平凡的知识工具. 下面我们将给出积分形式的Young 不等式的证明．
定理2.3[3] 设f (x ) 在[0,c ]（c >0）上连续且严格递增, 若f (0)=0, a ∈[0,c ]且
b ∈[0,f (c )], 则⎰0f (x ) dx +⎰0f -1(x ) dx ≥ab , 其中f -1是f 的反函数, 当且仅当b =f (a ) 时等号成立．
证明：引辅助函数g (a ) =ab -⎰f (x ) dx , (2.2)
0a
a b
把b >0看作参变量, 由于g '(a ) =b -f (a ) , 且f 严格递增, 于是
当 00；当 a =f -1(b ) 时, g '(a )=0；当 a>f -1(b ) 时, g '(a )
g (a )≤max g (x )=g f -1(b ) (2.3)
由分部积分得
f -1(b )
f -1(b )
(
)
g (f (b )) =bf (b ) -⎰
作代换y =f (x ) , 上面积分变为
-1-1
f (x ) dx =⎰
xdf (x ) ,
g (f -1(b )) =⎰f -1(y ) dy , (2.4)
b
将(2.2)式和(2.4)式代入(2.3)式得
ab -⎰f (x ) dx ≤⎰f (y ) dy =⎰f -1(x ) dx ,
a b
-1
b
即⎰f (x ) dx +⎰f -1(x ) dx ≥ab ． 证毕
a b
3. 定积分不等式常见的证明方法
关于积分不等式的证明方法较为繁多, 难度及技巧性也较大, 因此对其进行系统的归纳总结是很有必要的．在这一部分中我们将归纳出利用辅助函数、微分中值定理、重要积分不等式及积分中值定理等证明积分不等式的方法．
3.1 利用函数的凹凸性
在数学分析以及高等数学中, 我们常常会遇到一类特殊的函数—凸函数．凸函数具有重要的理论研究价值和广泛的实际应用, 在有些不等式的证明中, 若能灵活地利用凸函数的性质往往能够简洁巧妙的解决问题．下面给出一个例子加以说明．
定理3.1 若ϕ(t )定义在间隔(m , M )内, 且ϕ''(t )>0, 则ϕ(t )必为下凸函数．
定理3.2 设f (x )在[a , b ]上为可积分函数, 而m ≤f (x ) ≤M ．又设ϕ(t )在间隔m ≤t ≤M 内为连续的下凸函数, 则有不等式
ϕ
1b ⎛1b ⎫
f x dx ≤ϕ(f (x ))dx ． ()⎪⎰⎰a a
⎝b -a ⎭b -a
b
b
例3.1[4] 设f (x )在[a , b ]上连续, 且f (x )>0, 求证：⎰f (x )dx ⎰
a
a
12
dx ≥(b -a )． f x 证明: 取ϕ(u )=
112
, 因为ϕ'(u )=-20, (u >0) u u u
即在u >0时, y =ϕ(u )为凸函数, 故有
1b ⎛1b ⎫
ϕ f (x )dx ⎪≤ϕ(f (x ))dx ， ⎰⎰a a b -a b -a ⎝⎭
b -a
即
⎰f (x )dx
a
b
≤
⎰
b
a
1dx
b b f x 12
dx ≥(b -a )． 证毕 ，故⎰f (x )dx ⎰a a f x b -a 在上述的题目中我们可以发现在证明中常常先利用导数来判断函数的凹凸性, 然后再利用凹（凸）函数的性质来证明不等式．然而对于实际给出的题目, 我们往往需要先构造一个凹（凸）函数, 然后才能利用其性质来证明我们所要证明的问题．
3.2 辅助函数法
辅助函数法是积分不等式证明中的一种非常重要的方法, 往往我们会根据不等式的特点, 构造与问题相关的辅助函数, 考虑在相同的区间上函数所满足的条件, 从而得出欲证明
的结论．在第二部分中我们用辅助函数法对Cauchy-Schwarz 不等式进行了证明, 下面将对用辅助函数法证明积分不等式进行进一步的探讨．
例3.2.1[5] 设函数f (x )在区间[0,1]上连续且单调递减, 证明：对∀a ∈(0, 1) 时, 有： ⎰f (x )dx ≥a ⎰f (x ) dx ．
a
1
1x
证明：令F (x )=⎰f (t ) dt (0
x 0
则F '(x )=
f (x )⋅x -⎰f (t )dt
x
x 2
=
f (x )⋅x -f (ξ)⋅x f (x )-f (ξ)
, (0
x x
因为f (x ) 在[0,1]上单调减少, 而0
从而F '(t )
a 111a
f (x ) dx ≥a f (x )dx ． 证毕 a , 两边同乘即得f (x ) dx ≥f x dx (), ⎰⎰⎰⎰0000a
本题根据积分不等式两边上下限的特点, 在区间(0, 1) 上构造了一个辅助函数, 进一步我们可以思考对于一般的情形, 该题的结论是否依然成立呢？答案是肯定的.
例3.2.2 设函数f (x )在区间[0,1]上连续且单调递减非负, 证明：对∀a , b ∈(0, 1) , 且
0
a
a b
f (x ) dx ． ⎰a b
证明：令F (x )=
F '(x )=
1x
f (t ) dt , (0
x 0
f (x )⋅x -⎰f (t )dt
x 2
=
f (x )⋅x -f (ξ)⋅x f (x )-f (ξ)
, (0
x x
因为f (x ) 在[0,1]上单调减少, 而0
(0,1]上单调减少, 则对任意0
1a 1b
⎰f (t )dt ≥⎰f (t )dt ． (3.1)
a 0b 0
由f 非负, 可得⎰f (x )dx ≥⎰f (x )dx ． (3.2)
a
b
b
结合(3.1)式和(3.2)式可得 即⎰
a
1a 1b
f x dx ≥f (x )dx ． ()a ⎰0b ⎰a
a b
f (x )dx ≥⎰f (x )dx ． 证毕
b a
b
b
a
a
例3.2.3[6] 函数f (x ) 在[a , b ]上连续, 且f (x )>0 试证：⎰f (x ) dx ⎰
1
dx ≥(b -a ) 2． f (x )
在例3.1中我们给出了本题利用函数的凹凸性证明的过程, 在这里我们将给出其利用辅助函数法证明的过程．
证明: 构造辅助函数φ(x )=⎰f (t )dt ⎰
a x
x
a
dt 2
-(x -a ), 则 f t φ'(x )=f (x )⎰
x
a
x dt 1+⎰f (t )dt ⋅-2(x -a )f t a f x
=⎰
x
a
x f (t )x f (x )
dt +⎰dt -⎰2dt
a f x a f t ⎤x ⎡f (x )f (t )
=⎰⎢+-2⎥dt ≥0, a
⎣f t f x ⎦
所以φ(x )是单调递增的, 即φ(b )≥φ(a )=0, 故⎰f (x )dx ⎰
a
b b
a
12
dx ≥(b -a )． 证毕 f x a +b b
xf (x )dx ≥f (x )dx ．
2⎰a
例3.2.4 设f (x )在[a , b ]上连续且单调增加, 证明：⎰
[7]
b
a
证明: 原不等式即为⎰xf (x )dx -
则F '(t )=tf (t )-
1t 2⎰a
1
(t -a )(f (t )-f (ζ)) , ζ∈(a , t )．
2
=
a +b b
f (x )dx ≥0, 构造辅助函数 ⎰a a 2
t a +t t
F (t )=⎰xf (x )dx -f (x )dx ,t ∈[a , b ],
a 2⎰a
t a +t 1⎡
f (x )dx -f (t )=(t -a )f (t )-⎰f (x )dx ⎤
⎥a ⎣⎦ 2 2⎢
b
因为a ≤ζ≤t , f (x )单调增加, 所以F '(t )≥0．故F (t )在[a , b ]上单调递增, 且F (a )=0, 所以对∀x ∈(a , b ], 有F (x )≥F (a )=0．当x =b 时, F (b )≥0．即
⎰
b
a
xf (x )dx -
a +b b
f (x )dx ≥0, 故原不等式成立, 证毕 ⎰a 2
通过以上几道题目的观察我们可以发现：
1. 当已知被积函数连续时, 我们可以把积分的上限或者是下限作为变量, 从而构造一个变限积分, 然后利用辅助函数的单调性加以证明．
2. 辅助函数法实际上是一种将复杂的问题转化为容易解决的问题的方法．在解题时通常表现为不对问题本身求解而是对与问题相关的辅助函数进行求解, 从而得出原不等式的结论．
3.3 利用重要积分不等式
在第2部分中我们给出了Cauchy-Schwarz 不等式以及它的推广形式的证明过程, 实际上Cauchy-Schwarz 不等式的应用也很广泛, 利用它可以解决一些复杂不等式的证明. 在这一小节中我们将通过具体的例子来加以说明它在证明积分不等式中的应用．
例3.3.1[8] 函数f (x )在[0,1]上一阶可导, f (1)=f (0)=0, 试证明：⎰
10
112
f (x )dx ≤⎰f '(x )dx ．
40
2
证明：由f (x )=⎰f '(t )dt +f (0)和f (x )=-⎰f '(t )dt +f (1)
x 1
x
可得 f
2
(x )=
(⎰(
x
f '(t )dt
))
2
x x 1⎡1⎤≤⎰12dt ⎰f '2(t )dt ≤x ⎰f '2(x )dx , (x ∈⎢0, ⎥) , 000
⎣2⎦111⎡1⎤
≤⎰12dt ⎰f '2(t )dt ≤(1-x ) ⎰f '2(x )dx , (x ∈⎢,1⎥) ． x x 0
⎣2⎦
f
2
(x )=⎰x f '(t )dt
1
2
因此 ⎰f 2(x )dx ≤
120
112
f '(x )dx , (3.3) ⎰08
112
(3.4) f '(x )dx ．
8⎰0
10
1
12
f 2(x )dx ≤
将(3.3)式和(3.4)式相加即可以得到⎰f 2(x )dx ≤
[2]
112
f '(x )dx ． 证毕 4⎰0
b
例3.3.2 设f (x ), g (x )在[a , b ]上可积且满足：0
a
则以下两个积分不等式
(⎰
b
a
f (x )g (x )dx
2
b
)
2
≤⎰f 2(x )dx ⎰g 2(x )dx -m 2(b -a )⎰g 2(x )dx 及
a
a
a
b b b
(⎰
b
a
f (x )g (x )dx
)
2
⎛M -m ⎫≤ ⎪⎝M +m ⎭
b a
⎰
a
f 2(x )dx ⎰g 2(x )dx 成立．
a
b
证明：取h (x )=1, 由⎰g (x )dx =0及定理2.2知
⎰
b a
b
a
f
2
(x )dx
⎰f (x )g (x )dx ⎰f (x )dx
b a
⎰g (x )f (x )dx ⎰f (x )dx
0 ⎰g (x )dx
a
a
b
2a
b b
0b -a
b
=(b -a )⋅⎰f
a
b
2
(x )dx ⎰a g (x )dx -⎰a f (x )dx ⎰a g (x )dx -(b -a )⎰a f (x )g (x )dx
2
2
b
(
b
)
2
(
b
)≥0．
2
因此
(⎰
b
a
f (x )g (x )dx
)≤⎰
2
b
a
f
2
(x )dx ⎰a
b
1
g (x )dx -
b -a
2
(⎰
b
a
f (x )dx
)⎰g (x )dx ． (3.5)
2
b
2a
由m ≤f (x )可知
(⎰
b
a
f (x )dx
2
b
)
2
2
≥m 2(b -a ),
b
b
2
因而
(⎰
b
a
f (x )g (x )dx
)≤⎰
a
f
(x )dx ⎰a g (x )dx -m (b -a )⎰a g 2(x )dx ．
2
2
M +m ⎫⎛M -m ⎫⎛
由于0
2⎭⎝2⎭⎝化简得f 2(x )+Mm ≤(M +m )f (x ),
两边同时积分得 ⎰f 2(x )dx +Mm (b -a )≤(M +m )⎰f (x )dx ,
a
a
b
b
22
由算数-几何平均值不等式可知
于是
≤⎰f 2(x )dx +Mm (b -a ),
a
b
(b -a )⎰a
b
f 2(x )dx
⎰
b
a
f (x )dx
2
(M +m )≤
4Mm
2
．
1
则
b -a ≥
(⎰
b
a
f (x )dx
)⎰g (x )dx =(b -a )⎰
2
b
2
a
(⎰
b
f (x )dx
b a
)
2
a
f 2(x )
⎰dx
b
a
f
2
(x )dx ⎰a g 2(x )dx
b
2
(M +m )⎰a
4Mm
b
(3.6) f 2(x )dx ⎰g 2(x )dx ．
a
b
由式(3.5)和式(3.6)可知
(⎰
b
a
f (x )g (x )dx
)
2
⎛M -m ⎫≤ ⎪⎝M +m ⎭
2
⎰
b
a
f 2(x )dx ⎰g 2(x )dx ． 证毕
a
b
以上两道题分别利用了Cauchy-Schwarz 不等式及其推广形式．我们在证明含有乘积及平方项的积分不等式时应用Cauchy-Schwarz 不等式颇为有用, 但要注意选取适当的f (x )与
g (x ), 有时还需对积分进行适当的变形．
3.4 利用积分中值定理
积分中值定理展现了将积分转化为函数值, 或者是将复杂函数积分转变为简单函数积分的方法. 其在应用中最重要的作用就是将积分号去掉或者是将复杂的被积函数转化为相比较而言较为简单的被积函数, 从而使得问题能够简化. 因此合理的利用积分中值定理能够有效的简化问题. 下面将通过两道例题来说明．
定理3.3（积分第一中值定理） 若f (x ) 在[a , b ]上可积且m ≤f (x ) ≤M , 则存在
u ∈[m , M ]使⎰f (x ) dx =u (b -a ) 成立. 特别地, 当f (x ) 在[a , b ]上连续, 则存在c ∈[a , b ], 使
a
b
⎰
b
a
f (x ) dx =f (c )(b -a ) 成立．
定理3.4（积分第一中值定理的推广） 若函数f (x ), g (x )在区间[a , b ]上可积, f (x )连
续, g (x )在[a , b ]上不变号, 则在积分区间[a , b ]上至少存在一个点ε, 使得下式成立
⎰f (x )g (x )dx =f (ε)⎰g (x )dx ．
a
a
b
b
定理3.5（积分第二中值定理的推广） 若函数f (x ), g (x )在区间[a , b ]上可积, 且f (x )为单调函数, 则在积分区间[a , b ]上至少存在一个点ε, 使得下式成立 ⎰f (x )g (x )dx =f (a )⎰g (x )dx +f (b )⎰g (x )dx ．
a
a
b
εb
ε
例3.4.1 设函数f (x )在区间[0,1]上连续单调递减, 证明：对∀a , b ∈(0, 1) , 且0
0a
a b
f (x ) dx , 其中f (x )≥0． ⎰a b
对于这道题目我们在3.2.2中给出了其利用辅助函数法证明的过程, 实际上这道题目还可以用积分第一中值定理来证明, 下面我们将给出证明过程．
证明：由积分中值定理知 ⎰0
a
f (x )dx =f (ξ1)⋅a , ξ1∈[0, a ]； ⎰f (x )dx =f (ξ2)⋅(b -a ), ξ2∈[a , b ]；
a
b
因为ξ1≤ξ2, 且f (x )递减, 所以有f (ξ1)≥f (ξ2),
1a 1b 1b
f x dx ≥f x dx ≥f (x )dx , ()()⎰⎰⎰0a a a b -a b a a b
故 ⎰f (x )dx ≥⎰f (x )dx ． 证毕
0b a
即
例3.4.2 设f (x )在[a , b ]上连续且单调增加, 证明：⎰
b
a
a +b b
xf (x )dx ≥f (x )dx ．
2⎰a
同样地，在之前的证明中我们给出了此题利用辅助函数法证明的过程, 仔细分析观察这道题目我们还可以发现它可以用积分第一、第二中值定理的推广形式来证明, 接着我们将给出此题在这两种方法下的证明过程．
证法一
b ⎛a +b ⎫a +b ⎫a +b ⎫⎛2⎛证明: ⎰ x -=x -f x dx +x -f x dx ()()a +b ⎪ ⎪f (x )dx ． ⎪⎰a a 222⎝⎭⎭⎝⎭2⎝
b
a +b
⎛a +b ⎫⎛a +b ⎫
由定理3.4可知, 分别存在ξ1∈ a , , ξ∈, b ⎪, ⎪2
22⎝⎭⎝⎭使得 ⎰
a +b
2a
a +b ⎫a +b ⎫⎛2⎛x -f x dx =f ξx -()()1⎰a ⎪ ⎪dx , 2⎭2⎭⎝⎝
a +b
b ⎛a +b ⎫a +b ⎫⎛
a +b x -f x dx =f ξx -()()2a +b ⎪⎪dx ,
22⎭⎭2⎝2⎝
b
(a -b )a +b ⎫⎛
因此⎰ x -f x dx =⎪()a 2⎭8⎝
b
2
(f (ξ)-f (ξ)), 由于f (x )在[0, 1]单调增加的, 且
2
1
0
a +b ⎫⎛从而⎰ x -⎪f (x )dx ≥0, 故原不等式成立, 证毕 a 2⎝⎭
b
证法二
证明:由定理3.5可知：存在ξ∈(a , b ),
ξ⎛b ⎛a +b ⎫a +b ⎫a +b ⎫⎛使得 ⎰ x -=f a x -dx +f b x -f x dx ()()()⎪⎪dx ⎪⎰⎰a ξ a 222⎝⎭⎝⎭⎝⎭
b
=⎡⎣f (a )-f (b )⎤⎦⎡⎣(ξ-a )(ξ-b )⎤⎦．
由f (x )单调增加及ξ∈(a , b )知f (a )-f (b )0, ξ-b
b ⎛a +b ⎫可得⎰ x -⎪f (x )dx ≥0, 故原不等式成立, 证毕 a 2⎭⎝
通过上述两道题目我们可以了解到积分中值定理在实际应用中起到的重要作用就是能够使积分号去掉, 或者是将复杂的被积函数转化为相对而言较简单的被积函数, 从而使问题得到简化. 因此, 对于证明有关结论中包含有某个函数积分的不等式, 或者是要证明的结论中含有定积分的, 可以考虑采用积分中值定理, 从而去掉积分号, 或者化简被积函数．
3.5 利用积分的性质
关于积分的性质在高等数学的学习中我们已经学到了很多, 我们可以利用它来证明许多问题. 在这里我们主要利用定积分的比较定理和绝对值不等式等性质对问题进行分析处理．
例3.5.1[9] 设f (x )在[0,1]上导数连续, 试证：∀x ∈[0,1],
有
f (x )≤⎰⎡f '(x )+f (x )⎤⎦dx ． 0⎣
证明：由条件知f (x )在[0,1]上连续, 则必有最小值,
1
即存在x 0∈[0,1], f (x 0)≤f (x ),
由⎰f '(t )dt =f (x )-f (x 0)⇔f (x )=f (x 0)+⎰f '(t )dt ,
x 0
x 0
x
x
f (x )=f (x 0)+⎰f '(t )dt ≤f (x 0)+⎰
x 0
x x
x 0
f '(t )dt ≤f (x 0)+⎰f '(t )dt
10
1
=⎰f (x 0)dt +⎰
11
f '(t )dt ≤
⎰f (t )dt +⎰
1
f (t )+f '(t )⎤f '(t )dt =⎰⎡⎦dt 0⎣
1
=
⎰⎡⎣f '(x )+f (x )⎤⎦dx . 故原不等式成立, 证毕
1
3.6 利用泰勒公式
在现代数学中泰勒公式有着重要的地位, 它在不等式的证明、求极限以及求高阶导数在某些点的数值等方面有着重要的作用. 关于泰勒公式的应用已经有很多专家学者对其进行了深入的研究, 下面我们将举例说明利用泰勒公式也是证明积分不等式的一种重要方法．
定理3.6(带有拉格朗日型余项的Taylor 公式) 设函数f (x ) 在点x 0处的某邻域内具有
n +1阶连续导数, 则对该邻域内异于x 0的任意点x , 在x 0与x 之间至少存在一点ξ, 使得：
f ''(x 0) f n (x 0) 2f (x ) =f (x 0) +f '(x 0)(x -x 0) +(x -x 0) + +(x -x 0) n +R n (x ) (1)
2! n !
f (n +1) (ξ)
其中R n (x ) =(x -x 0) n +1（ξ在x 与x 0之间）称为拉格朗日型余项,(1) 式称为泰勒公
(n +1)! 式．
例3.6.1[10] 设f (x )在[a , b ]上有二阶连续导数, f (a )=f (b )=0, M =max f ''(x ),
x ∈[a , b ]
试证明:
⎰f (x )dx
a
b
(b -a )≤
12
3
M ．
证明：对∀x ∈(a , b ), 由泰勒公式得 f
f
(a )=(f )x +'()(f
(b )=(f )x +'()(f
1
'ξ')(x -)+x (21
'η')(x -)+x (2
f
a ξx ∈(a , x ), , )-
2
f
b ηx ∈(x , b ), , )-
2
a +b ⎫1⎡22⎛⎤, ''''两式相加得 f (x )=f '(x ) x --f ξa -x +f ηb -x ()()()()⎪⎣⎦2⎭4⎝
两边积分得 ⎰f (x )dx =⎰
a
b b
a
a +b ⎫1b ⎡22⎛⎤dx , '''''f (x ) x -dx -f ξa -x +f ηb -x ()()()()⎪⎰⎣⎦a 2⎭4⎝
b b ⎛b a +b ⎫a +b ⎫⎛
其中 ⎰f '(x ) x -dx =x -df x =-f (x )dx , ⎪ ⎪()⎰⎰a a a 2⎭2⎭⎝⎝
于是有 ⎰f (x )dx =故
⎰
b
a
1b ⎡22
⎤dx , ''''f ξa -x +f ηb -x ()()()()⎰⎣⎦a a 8
M b ⎡22
⎤dx =M (b -a )3． 证毕 f (x )dx ≤a -x +b -x ()()⎦8⎰a ⎣12
b
例3.6.2[6] 设f (x )在[a , b ]上有二阶导数, 且f ''(x )>0,
⎛a +b ⎫
求证 ⎰f (x )dx ≥(b -a )f ⎪． a 2⎝⎭
b
证明：将f (x )在x 0=
a +b
处作泰勒展开得到 2
2
a +b ⎫1a +b ⎫⎛a +b ⎫⎛a +b ⎫⎛⎛⎛a +b ⎫''', f (x )=f +f x -+f ξx -ξ∈()⎪ ⎪⎪ ⎪ x , ⎪．
222222⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
a +b ⎫⎛a +b ⎫⎛a +b ⎫⎛'因为f ''(x )>0, 所以可以得到 f (x )≥f +f x -⎪ ⎪⎪,
222⎝⎭⎝⎭⎝⎭
b a +b ⎫⎛a +b ⎫⎛a +b ⎫b ⎛'对不等式两边同时积分得到 ⎰f (x )dx ≥f b -a +f x -) ⎪(⎪⎰a ⎪dx ． a 2⎭⎝2⎭⎝2⎭⎝b a +b ⎫⎛
因为⎰ x -⎪dx =0, 所以有⎰a f (x )dx ≥(b -a )a 2⎝⎭
b
⎛a +b ⎫
f ⎪． 证毕
2⎝⎭
通过这两道题目我们大致可以了解到当题目中出现被积函数在积分区间上有意义且有二阶及二阶以上连续导数时, 是提示我们用泰勒公式证明的最明显的特征．一般情况下我们选定一个点x o , 并写出f (x )在这个点x o 处的展开公式, 然后进行适当的放缩或与介值定理相结合来解决问题．
3.7 利用重积分
在一些积分不等式的证明中, 由于被积函数的不确定, 从而我们不能求出其具体的数值, 这时我们可以将定积分转换为二重积分再利用其性质来求解．以下列举了3种利用重积分来证明积分不等式的方法, 这种技巧在高等数学中虽然不常见, 但却是很重要的, 下面我们将通过3道例题来进一步说明．
3.7.1 直接增元法
命题一
[11]
：若在区间[a , b ]上f (x ) ≥g (x ) , 则⎰f (x ) dx ≥⎰g (x ) dx ．
a a
b b
例3.7.1[11] 设f (x ) , g (x ) 在[a , b ]上连续, 且满足：
⎰
x
a
f (t ) dt ≥⎰g (t ) dt , x ∈[a , b ], ⎰a f (t ) dt =⎰a g (t ) dt , 证明：⎰a xf (x ) dx ≤⎰a xg (x ) dx ．
a
x b b b b
证明：由题得⎰f (t ) dt ≥⎰g (t ) dt ,
a
a
x x
从而可以得到⎰dx ⎰f (t ) dt ≥⎰dx ⎰g (t ) dt , 即⎰dx ⎰[f (t ) -g (t )]dt ≥0．
a
a
a
a
a
a
b x b x b x
左式=⎰dx ⎰[f (t ) -g (t )]dt =⎰⎰[f (t ) -g (t )]dxdt (其中D ={(x , t ) |a ≤x ≤b , a ≤t ≤x })
a
a
D
b x
=⎰dt ⎰[f (t ) -g (t )]dx =⎰(b -t )[f (t ) -g (t )]dt
a
t
a
b b b
=b [⎰f (t ) dt -⎰g (t ) dt ]-[⎰tf (t ) dt -⎰tg (t ) dt ]=-[⎰tf (t ) dt -⎰tg (t ) dt ]≥0．
a
a
a
a
a
a
b
b
b
b
a
a
a
a
b b b b b b
则 ⎰tf (t ) dt -⎰tg (t ) dt ≤0 , 即⎰xf (x ) dx ≤⎰xg (x ) dx ． 证毕
在本题中我们将一元积分不等式⎰f (x ) dx ≥⎰g (x ) dx 的两边同时增加一个积分变量
a
a
x
x
⎰
b
a
dx ，使得一元积分不等式化为二元积分不等式，然后巧妙的运用转换积分变量顺序的方
法达到证明一元积分不等式的方法. 3.7.2 转换法
在利用重积分来证明积分不等式的时候，我们不但可以采用直接增元法，还可以采用转换法. 关于转换法又分为将累次积分转换为重积分，以及将常数转换为重积分这两种形式. 下面我们将依次来介绍这两种方法.
1. 将累次积分转为重积分
命题二[11] 若f (x ) 在[a , b ]上可积, g (y ) 在[c , d ]上可积, 则二元函数f (x ) g (y ) 在平面区域D ={(x , y ) |a ≤x ≤b , c ≤y ≤d }上可积, 且
⎰⎰
D
f (x ) g (y ) dxdy =⎰f (x ) dx ⎰g (y ) dy =⎰f (x ) dx ⎰g (x ) dx ．
a
c
a
c
b d b d
其中D ={(x , y ) |a ≤x ≤b , c ≤y ≤d }
例3.7.2[11] 设p (x ) , f (x ) , g (x ) 是[a , b ]上的连续函数, 在[a , b ]上, p (x ) >0, f (x ) , g (x ) 为单调递增函数, 试证：
⎰
b a
b
a
p (x ) f (x ) dx ⎰p (x ) g (x ) dx ≤⎰p (x ) dx ⎰p (x ) f (x ) g (x ) dx ．
a
a
a
b
b
b
a
a
a
b b b
证明：由⎰p (x ) f (x ) dx ⎰p (x ) g (x ) dx ≤⎰p (x ) dx ⎰p (x ) f (x ) g (x ) dx 可知：
⎰
b a
b
a
p (x ) dx ⎰p (x ) f (x ) g (x ) dx -⎰p (x ) f (x ) dx ⎰p (x ) g (x ) dx ≥0,
a
a
a
b
b
a
a
b b b
令I =⎰p (x ) dx ⎰p (x ) f (x ) g (x ) dx -⎰p (x ) f (x ) dx ⎰p (x ) g (x ) dx ,
a
b
下证I ≥0；
I =⎰p (x ) dx ⎰p (x ) f (x ) g (x ) dx -⎰p (x ) f (x ) dx ⎰p (x ) g (x ) dx
a
a
a
a
b b b b
同理
=⎰p (x ) dx ⎰p (y ) f (y ) g (y ) dy -⎰p (x ) f (x ) dx ⎰p (y ) g (y ) dy
a
a
a
a
b b b b
=⎰=⎰
b
a b
⎰⎰
b
a b
p (x ) p (y ) f (y ) g (y ) dxdy -⎰
b
a
⎰
b
a
p (x ) f (x ) p (y ) g (y )dxdy
a a
p (x ) p (y ) g (y )[f (y ) -f (x )]dxdy ． (3.7)
b
b
b
I =⎰p (x ) d ⎰x
a
a
b a
b
(p ) x (f ) x (g -) x ⎰d x
a
b
(p ) x ⎰(f ) x d x () p x g x d x
a
=⎰p (y ) d ⎰y
b
b
a
p () x f () x g (-) x ⎰d x
a
b
(p ) y ⎰(f ) y d y (p ) x g x d x
a
b
=⎰⎰p (y ) p (x ) g (x )[f (x ) -f (y )]dxdy ． (3.8)
a a
(3.7)+(3.8) 得 2I =⎰
b a
⎰
b
a
p (x ) p (y )[g (y ) -g (x )][f (y ) -f (x )]dxdy ,
因为f (x ) , g (x ) 同为单调增函数, 所以[g (y ) -g (x )][f (y ) -f (x )]≥0 又因为p (x ) >0, p (y ) >0, 故
2I =⎰
b
a
⎰
b
a
p (x ) p (y )[g (y ) -g (x )][f (y ) -f (x )]dxdy ≥0, 即I ≥0． 证毕
2. 将常数转换为重积分的形式
在例3.7.2中我们介绍了将累次积分转换为重积分, 在下面的例3.7.3中我们将对常数转换为重积分来进行说明．我们可以发现有这样一个命题, 若在二重积分中被积函数
f (x , y ) =k , 则可得到⎰⎰kd σ=k (b -a ) 2, 其中D ={(x , y ) |a ≤x ≤b , a ≤y ≤b }．
D
例3.7.3函数f (x ) 在[a , b ]上连续, 且f (x )>0试证：⎰f (x ) dx ⎰
a
b b
a
1
≥(b -a ) 2． f (x )
本题与前面的例3.1以及例3.2.3是同一道题目, 在这里我们将利用重积分证明此题． 证明：原题即为 ⎰f (x ) dx ⎰
a b
b
a
1
≥⎰⎰d σ, f (y ) D
移项可得⎰⎰(
D
f (x )
-1) d σ≥0, f (y )
2⎰⎰(
D
f (x ) f (x ) f (y )
-1) d σ=⎰⎰(-1) d σ+⎰⎰(-1) d σ≥0, f (y ) f (y ) f (x ) D D
f (x ) f (y ) f (x ) f (y )
+-2) d σ≥0, 因为f (x ) ≥0, f (y ) ≥0, 所以+-2≥0． f (y ) f (x ) f (y ) f (x )
所以即为证⎰⎰(
D
故 ⎰⎰(
D
b b f (x ) f (y ) 1+-2) d σ≥0 恒成立, 即⎰f (x ) dx ⎰dx ≥(b -a ) 2成立, 证毕
a a f (x ) f (y ) f (x )
通过以上三道例题我们可以大致了解到，在这一类定积分不等式的证明过程中我们一般先将所要证明的不等式转化为二次积分的形式, 进一步再转换为二重积分, 最后利用二重积分的性质或其计算方法得出结论. 这种方法克服了数学解题过程中的高维数转化为低维数的思维定势, 丰富了将二重积分与定积分之间互化的数学思想方法．
3.8 利用微分中值定理
微分中值定理是数学分析中的重要的一个基本定理, 它是指罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理以及泰勒中值定理这四种定理. 关于微分中值定理的应用也是很广泛的, 证明不等式是微分中值定理最基本的应用之一. 在这里我们将对利用柯西中值定理及拉格朗日中值定理证明积分不等式进行研究. 下面将通过两个例子来具体说明这两个定理在证明积分不等式中的应用, 以及不同的微分中值定理在证明不等式时的区别．
例3.8.1[12] 设f (a )=0, f (x )在区间[a , b ]上的导数连续, 证明：
2
(b -a )⎰a
1
b
f (x )dx ≤
1
max f '(x )． x 2∈[a , b ]
证明：应用Lagrange 中值定理, ∃ξ∈(a , x ), 其中a
x ∈[a , b ]
从a 到b 积分得 ⎰a =
b
f (x )≤M ⎰
b
a
M 2b
x -=M ⎰(x -a )dx =(x -2)
a a 2
b
M 1122
b -a =max f '(x )(b -a )．即()222(b -a )
⎰
b
a
f (x )dx ≤
1
max f '(x ). 证毕 x 2∈[a , b ]
例3.8.2[13] 设函数f (x )在[0,1]上可微, 且当x ∈(0,1)时, 0
(⎰f (x )dx )>⎰f
1
2
1
3
(x )dx ．
证明：令F (x )=
(⎰
x
f (t )dt , G (x )=⎰f 3(t )dt ,
)
2
x
F (x ), G (x )在[0,1]上满足柯西中值定理, 则
(⎰f (x )dx )
10
2
⎰
=
1
f
3
(x )dx
=
F (1)-F (0)F '(ξ)
==
'G 1-G 0G ξ0
2f (ξ)⎰f (t )dt
ξ
f
3
ξ=
2⎰f (t )dt
ξ
f
2
ξ (0
2⎰f (t )dt -⎰f (t )dt
f 2ξ-f
2
ξ
0=
2f (η)1
=>1 , (0
2f ηf 'ηf 'η所以
(⎰
1
f (x )dx
)
2
>⎰f 2(x )dx ． 证毕
1
通过以上两道题目可以发现：
1. 在应用Lagrange 中值定理时先要找出符合条件的函数f (x ), 并确定f (x )在使用该定理的区间[a , b ], 对f (x )在区间[a , b ]上使用该定理．若遇到不能用该定理直接证明的, 则从结论出发, 观察并分析其特征, 构造符合条件的辅助函数之后再应用Lagrange 中值定理．
2. 在研究两个函数的变量关系时可以应用Cauchy 中值定理, 在应用该定理证明不等式时关键是要对结果进行分析, 找出满足Cauchy 中值定理的两个函数f (x ), g (x ), 并确定它们应用柯西中值定理的区间[a , b ], 然后在对f (x ), g (x )在区间[a , b ]上运用Cauchy 中值定理．
无论是Cauchy 中值定理还是Lagrange 中值定理在积分不等式的证明中都各具特色, 都为解题提供了有力的工具. 总之在证明不等式时需要对结论认真的观察有时还需要进行适当的变形, 才能构造能够应用中值定理证明的辅助函数, 进而利用微分中值定理证明不等式．
4．总 结
我们通过查阅有关积分不等式的文献和资料, 并对其中的相关内容进行对比和分析后, 将有关的内容加以整理并扩充形成了本文. 在论文中给出了两个重要的积分不等式的证明以及总结了八种积分不等式的证明方法. 然而由于自己的参考资料面不够广, 参考的大多数文献都是仅给出了例题及其证明方法, 而并没有给出进一步的分析, 同时自己的知识面较窄, 能力有限, 导致还有很多难度较大的问题尚未解决．例如, 在实际的问题中, 还有一些证明方法是我们所不知道的, 并且还有一些不等式并不能用本文所给出的八种方法来证明, 这就需要我们进一步的思考与研究. 今后我们应该更多的参考其他资料, 充分拓展思路, 以便于提出新的观点．
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