湖南大学[随机过程]课程习题集

湖南大学本科课程《随机过程》习题集

主讲教师：何松华 教授

第一章：概述及概率论复习

1.1 设一批产品共50个，其中45个合格，5个为次品，从这一批产品中任意抽取3个，

求其中有次品的概率。

1.2 设一批零件共100个，次品率为10%，每次从其中任取一个零件，取出的零件不再

放回，求第3次才取得合格品的概率。

1.3 设一袋中有N个球，其中有M个红球，甲、乙两人先后各从袋中取出一个球，求

乙取得红球的概率(甲取出的球不放回)。

1.4 设一批产品有N个，其中有M个次品，每次从其中任取一个来检查，取出后再放

回，求连续n次取得合格品的概率。

1.5设随机变量X的概率分布函数为连续的，且

ABex

F(x)0

其中0为常数，求常数A、B的值。

1.6设随机变量X的分布函数为 x0x0

F(x)ABarctg(x) (-

(1) 求系数A、B；(2)求随机变量落在(-1,1)内的概率；(3)求其概率密度函数。

1.7已知二维随机变量(X,Y)的联合概率密度分布函数为

6xy(2xy)0x,y1 fXY(x,y)0elsewhere

(1)求条件概率密度函数fX|Y(x|y)、fY|X(y|x)；(2)问X、Y是否相互独立？

1.8已知随机变量X的概率密度分布函数为

(xmX)2

fX(x)] 22X随机变量Y与X的关系为 Y=cX+b，其中c，b为常数。求Y的概率密度分布函数。

1.9设X、Y是两个相互独立的随机变量，其概率密度分布函数分别为

ey10x1，fY(y)fX(x)0elsewhere0

求随机变量Z=X+Y的概率密度分布函数。 0yelsewhere

1.10设随机变量Y与X的关系为对数关系，Y=ln(X)，随机变量Y服从均值为mY、标

准差为Y的正态分布，求X的概率密度分布。

x2

1.11随机变量X

服从标准正态分布fX(x)求随机变量YXn(n为正整，2数)的数学期望及方差。

1.12随机变量X服从均值为mX、标准差为X的正态分布，X通过双向平方率检波器，

Y=cX2(c>0)，求Y的概率密度分布。

1.13设二维随机变量的联合概率密度分布函数为

fXY(x,y)Asin(xy) (0x

2,0y

2)

(1) 求系数A，(2)求数学期望E[X]、E[Y]，方差D[X]、D[Y]；(3)求X、Y的相关函数

及相关系数。

1.14设X为拉谱拉斯随机变量，fX(x)

2e|x| (-x) (0)；求：(1)X的特征

函数，(2)利用特征函数求X的均值与方差，(3)讨论特征函数实部与虚部的奇偶性。

第二章：随机过程的基本概念

2.1某公共汽车站停放着两辆公共汽车A、B，从t=1s开始，每隔1s有一名乘客到达车

站。如果每名乘客以概率1/2登上A车，以概率1/2登上B车，各乘客登上哪辆车是相互独立的，用Xj表示第j秒到达的乘客的登车状态，即登上A车则Xj=1，登上B车则Xj=0；设t=n时A车上的乘客数为Yn。(1)求离散时间随机过程Yn的一维概率分布率；(2)当公共汽车A上的乘客达到10个时，A即开车，求A车出发时刻n的概率分布。

2.2一个正弦振荡器，由于元器件的热噪声和电路分布参数变化的影响，其输出的正弦

波可以看作一个随机过程X(t)Acos(t)，其中A、、为相互独立的随机变量，且

2a/A02fA(a)0a(0,A0)1/100(250,350)，f()， 0otherwiseotherwise

1/(2)(0,2) f()otherwise0

求随机过程X(t)的一维概率密度分布函数。

2.3用一枚硬币掷1次的试验定义一个随机过程

cos(t)出现正面 X(t)出现反面2t

设“出现正面”和“出现反面”的概率各为1/2。(1) 确定X(t)的一维分布函数FX(x,1/2)、FX(x,1)；(2) 确定X(t)的二维分布函数FX(x1, x2;1/2,1)；(3)画出上述分布函数的图形。

2.4设随机过程Z(t)Xcos(t)Ysin(t) (-t)，其中>0为常数，X、Y为相互独立的随机变量，概率密度分布函数分别为标准正态分布(即均值为0，标准差为1)。若将Z(t)写成Z(t)Vcos(t)，(1)求随机变量V、的概率密度分布函数及联合概率密度分布函数，问二者是否统计独立？(2)求随机过程的一维概率密度分布函数。

2.5求4题所给出的随机过程的均值及相关函数，并判断该随机过程是否为广义平稳随机过程。

2.6设某信号源每T(s)产生一个幅度为A的方波脉冲，脉冲宽度X为均匀分布于[0,T]的随机变量。这样构成一个随机过程Y(t)(0t

2.7设随机过程X(t)=Ycos(t) (-

2.8随机过程Z(t)Akejkt (tR)，其中Ak服从分布N(0,k2)，且相互独立；k为常数，

k1N

j为虚数单位，求复随机过程Z(t)的均值函数与方差函数。

12r2.9随机过程X(t)=X+Yt，tR；随机矢量(X,Y)的协方差矩阵为，求随机过2r2T

程X(t)的协方差函数。

2.10给定随机变量X(ti)，xi为任一实数。定义另外一个随机过程

1X(ti)xi i1,2,... Y(ti)0X(ti)xi

试证明Y(t)的均值和自相关函数分别为X(t)的一维和二维分布函数。

2.11有一脉冲串，其中每个脉冲的宽度为1，脉冲可为正脉冲也可为负脉冲，即脉冲的幅度随机地取1或-1(概率相等)，各脉冲的幅度取值相互独立；脉冲串的起始时间均匀分布于单位时间内，脉冲间隔为0；求此脉冲随机过程的相关函数。

2.12．设随机过程X(t)=b+Nt，b为常量，N为正态随机变量，均值为m，标准差为，求随机过程X(t)的一维概率密度及均值、方差。

2.13质点在直线上作随机游动，即质点在n=1,2,3,…时刻可以在x轴上往右或往左作一个单位距离的随机游动。往右、左移动的概率分别为p、q(p+q=1)，P{Xn=1}=p，P{Xn=-1}=q，各次游动是相互独立的，经过n次游动后，质点所在的相对位置为

Y(n)Xi

i1n

求：(1)离散时间随机过程Y(n)的均值函数；(2) Y(n)的相关函数及自协方差函数。

2.14设随机过程X(t)=+t，和为相互独立的随机变量，其概率密度分布分别为f()、f()，求随机过程X(t)的概率密度。

2.15设随机过程X(t)A(t)sin[0t(t)]，其中A(t)0，在同一时刻随机过程A(t)和(t)是相互独立的，且(t)在任意时刻的概率密度分布为[-,]上的均匀分布，包络A(t)在任意时刻的概率密度分布为fA(a)，求随机过程X(t)的一维概率密度。

2.16随机初始相位正弦波随机过程X(t)=Acos(t+)，其中振幅A、角频率取常数，相

位为均匀分布于[-,]的随机变量，求X(t)的一维概率密度分布函数。

2.17设某通信系统的信号为脉冲信号，脉宽为T，脉冲信号的周期也为T，脉冲幅度是随机的且服从高斯分布N(0,2)，不同周期内的幅度xi是相互独立的；第1个脉冲的起始时间与t=0时刻的时间差u是均匀分布于(0,T)的随机变量，u与各xi相互独立，求该随机信号在任意两个不同时刻的二维联合概率密度分布函数。

2.18设随机过程X(t)的均值为mX(t)，协方差函数为KX(t1,t2)，(t)为普通函数，试求随机过程Y(t)=X(t)+ (t)的均值和协方差函数。

2.19广义平稳随机过程X(t)在四个不同时刻的四维随机变量X=[X(t1), X(t2), X(t3), X(t4)]T的自相关矩阵为

21.30.4ab21.20.8T RXE[XX]0.41.2c1.1e20.9d

求矩阵中未知元素的值。

2.20设随机过程X(t)Acos(t)Bsin(t)，其中为常数，A、B为相互独立的随机变量，概率密度分布函数为正态分布N(0,2)。求X(t)的均值和自相关函数。

2.21某平稳随机过程X(t)的自相关函数满足RX(T)= RX(0) (T0)，证明RX()必为以T为周期的周期函数。

2.22给定随机过程X(t)和常数a。Y(t)=X(t+a)-X(t)。试以X(t)的自相关函数来表示随机过程Y(t)的自相关函数。若X(t)平稳，均值为mX，求Y(t)的均值；问Y(t)是否平稳？是否与X(t)联合平稳？

2.23．(缺)

2.24 X(t)=At，A为随机变量，概率密度分布为N(0,1)，求X(t)的均值及自相关函数。

2.25 X(t)=cos(t)，其中为均匀分布于(1,2)的随机变量，求X(t)的均值及自相关函数。

2.26随机初始相位正弦波随机过程X(t)=Acos(t+)，其中振幅A、角频率取常数，相位为均匀分布于[-,]的随机变量，求该随机过程的均值及相关函数，并判断其平稳性。

2.27随机过程X(t)仅由3个样本函数组成[查看教材中的原图]，而且每个样本函数等概率发生。计算E[X(2)]、E[X(6)]、RX(2,6)、FX(x,2)、FX(x,6)、FX(x1, x2,2，6)。分别画出它们的图形。

2.28设从t=0开始，作每秒1次的掷硬币试验，如正面朝上，则X(t)在该秒内的取值为1，如反面朝上，则X(t)在该秒内的取值为0；求：(1)X(t)的均值函数，(2)计算RX(0.5,0.6), RX(0.5,2.5)。

2.29随机初始相位正弦波随机过程X(t)=Acos(t+)，其中振幅A、角频率取常数，相位为均匀分布于[0,2]的随机变量，求其时间相关函数及集合自相关函数，二者是否相等？

2.30根据掷色子实验定义随机过程X(t)cos[(

率密度，问X(t)是否为平稳随机过程。

2.31某随机过程由3个不同的样本函数组成，各样本函数等概率出现。 2k)t]; k1,2,3,4,5,6，求X(1),X(2)的概6

X(t,e1)1,X(t,e2)sin(t),X(t,e3)cos(t)

(1)求该随机过程的均值与自相关函数，(2)该过程是否平稳？

2.32．随机过程X(t)=Acos(t+)，其中角频率取常数，相位为均匀分布于[0,2]的随机变量，振幅A为瑞利分布随机变量，与相互独立，问该过程是否平稳？

aa2

exp[2]a0 fA(a)220a0

2.33．两个随机过程X(t),Y(t)均不是平稳随机过程，且

X(t)A(t)cos(t)，Y(t)B(t)sin(t)

式中A(t)、B(t)是相互独立的零均值平稳随机过程，并有相同的相关函数，证明：Z(t)=X(t)+Y(t)是广义平稳的。

2.34已知两个平稳随机过程的相关函数为

1RX()X2e||，RY()Y2(1||) (||

试分别求其相关时间。 )

2.35设随机过程Z(t)X(t)cos(t)Y(t)sin(t)，其中为常数，X(t)、Y(t)为平稳随机过程、且联合平稳，求：(1)Z(t)的自相关函数；(2)如RX()RY()，RXY()0，求Z(t)的自相关函数。

2.36两个统计独立的平稳随机过程X(t)和Y(t)，均值都是0，自相关函数分别为RX()e||、RY()cos(2)；试求：(1)Z(t)=X(t)+Y(t)的自相关函数，(2)W(t)=X(t)-Y(t)的自相关函数，(3)互相关函数RZW()。

2.37设X(t)是雷达发射信号，遇到目标后返回接收机的微弱信号为X(t1)，其中1，1是信号返回时间，由于接收到的信号总是伴随有噪声N(t)，于是接收到的信号为：Y(t)X(t1)N(t)；(1)若X(t)与Y(t)是联合平稳随机过程，求二者的互相关函数；(2) 在(1)的条件下，假设N(t)为零均值，且与X(t)统计独立，求X(t)和Y(t)的互相关函数。

2.38已知平稳随机过程X(t)的功率谱密度函数为

2

GX()4 322

求X(t)的均方值。

2.39平稳随机过程X(t)的自相关函数为

RX()4e||cos()cos(3)

求其功率谱密度函数。

2.40如图所示系统，若X(t)为平稳随机过程，证明Y(t)的功率谱密度函数为

GY()2GX()[1

cos(T)]

2.41已知平稳随机过程X(t)的功率谱密度函数为

||)||108()20(1 GX()100otherwise

求X(t)的自相关函数。

2.42设X(t)和Y(t)为两个统计独立的平稳随机过程，均值分别为mX、mY，且X(t)的功率谱密度函数为GX()，定义Z(t)=X(t)+Y(t)，试计算GXY()、GXZ()。

2.43设随机过程Y(t)=X(t)cos(0t+)，其中0为常量，X(t)为与无关的随机过程，为均匀分布于(0,2)的随机变量，求Y(t)的自相关函数及功率谱密度。

2.44设随机过程X(t)=acos(t+)，其中a为常量，为与无关的随机变量，为均匀分布于(0,2)的随机变量，的一维概率密度分布函数f()为偶函数，求证X(t)的功率谱密度为GX()a2f()。

2.45设广义平稳随机过程X(t)的相关函数如下图所示，求其功率谱密度函数。

2.46设随机过程X(t)=cos(t+)，其中为常量， 为随机变量，其特征函数为(u)=E[eju]，证明：当且仅当(1)= (2)=0时，随机过程X(t)广义平稳。

2.47下列函数是否可能为平稳随机过程的相关函数？

f()e2a222(12a||a22) (a,为常数) 3

第三章：随机过程的线性变换

im.X(n)X，求证： 3.1设有随机变量序列{X(n)|n=1,2,3,…}以及随机变量X，且有l..n

nlimE[X(n)]E[X]E[l..im.X(n)] n

3.2设随机过程X(t)是平稳且可微的，导数过程为X'(t)。证明：对于任一给定的时刻t，随机变量X(t)和X'(t)是正交的和互不相关的。

imX(t)Y，l..imX(t)Z，3.3设随机过程X(t)及随机变量Y和Z，并且有l..证明Y=Z(相tt0tt0

当于：若极限存在，则唯一)。

3.4设随机过程X(t)是平稳且可微的，导数过程为X'(t)；设X(t)的物理功率谱密度为FX() (0)，试求X(t)与X'(t)的互功率谱密度以及X'(t)的功率谱密度。

3.5设有复随机变量序列{X(n)|n=1,2,3,…}以及复随机变量Y，且有E[|X(n)|2]，求证：

X(n)依均方收敛于随机变量Y的充要条件是

nmlimE[X(n)X*(m)]C(常数)

3.6设有随机变量序列{X(n)|n=1,2,3,…}，X(n)的相关函数为

RX(n1,n2)E[X(n1)X(n2)]

若有普通序列{an|n=1,2,3,…},并定义Y(n)akX(k),求Y(n)均方收敛的充要条件。

k1n

3.7设有随机过程Y(t)X()d，已知X(t)为零均值平稳随机过程，功率谱密度为t

GX()，(1)证明Y(t)为平稳随机过程，(2)求Y(t)的功率谱密度(不考虑=0处)。

3.8 (非平稳随机过程的连续性) 证明：若X(t)的自相关函数RX(t1,t2)在t1t2t0处二元连续，则X(t)在tt0处连续。

3.9对于平稳随机过程X(t)，均方连续的充要条件是其自相关函数RX()在=0处连续。

3.10设X(t)是平稳随机过程，E[X(t)]=1，RX()1e2||，求随机变量SX(t)dt的均01值及方差。

3.11设X(t)的自相关函数为RX()A2Be||，系统的冲激响应为h(t)eat(t0)，A、B、a均为正的常数，设X(t)的均值非负，试求输出Y(t)的均值。

3.12在图示积分电路的输入端加入一平稳随机过程X(t)，E[X(t)]=0，RX(t1,t2)2e|t1t2|，电路的初始条件为Y(0-)=0，试分析输出过程Y(t)的统计特性(瞬态和稳态)。

3.13 (1) 12题中若X(t)的相关函数为RX(t1,t2)(t1t2)，求输出过程的自相关函数；(2)若输入从t=-已经开始(不限制t=0-处的初始条件)，求输出过程的自相关函数。

3.14如图所示的RL电路，输入为零均值平稳随机过程，相关函数为RX(t1,t2)2e|t1t2|，求输出过程的自相关函数RY ()。

3.15设线性因果时不变系统的冲激响应为h(t)etu(t) (>0)，输入平稳随机过程X(t)的自相关函数为RX()e|| (>0)，求输入输出之间的互相关函数。

3.16设系统的输出为输入的延迟，延迟时间为，试用输入随机过程的相关函数RX()来表示输出随机过程的相关函数以及输入与输出之间的互相关函数。

3.17设线性时不变系统的传输函数为H(j)

相关函数为RX()ev||j，输入平稳随机过程的X(t)的自j，试求输入输出随机过程之间的互相关函数。

3.18设输入随机过程的自相关函数为N0()，理想窄带放大器的频率特性为 2

2|0|H(j)0||0

(0)，求该放大器输出信号的总平均功率。 22 2

3.19如图所示的RL电路，输入X(t)是物理功率谱密度为N0的随机过程，试用频域法求Y(t)的自相关函数RY()。

3.20如图所示系统，输入随机过程的功率谱密度函数为常数，GX()法求输出随机过程Z(t)的均方值。

N0

，试用频谱2

3.21零均值平稳随机过程X(t)加到一个线性滤波器，滤波器的冲激响应是指数函数的一段，即

et

h(t)

0

0tTotherwise

t

试用GX()来表示输出随机过程Y(t)的功率谱密度。 3.22设积分电路输入输出之间满足如下关系Y(t)



tT

X()d，其中T为常数，且X(t)、

Y(t)均为平稳随机过程，求二者功率谱密度之间的关系。

3.23线性时不变系统的输入X(t)、输出Y(t)为平稳随机过程，系统传递函数为H(j)，

*

求证：GYX()H(j)GX()、GY()H(j)GYX()

3.24对于图示单输入、多输出线性时不变系统，求证：输出Y1(t)、Y2(t)的互功率谱密度

()H1(j)H2(j)GX()。 为GYY12

*

3.25设具有功率谱密度函数GX()(3)/(8)的某平稳随机过程通过某线性系统后，输出随机过程的功率谱密度函数为GY()1，求该系统的传递函数。 3.26已知平稳随机过程的相关函数为：(1) RX()2(1||) (||1/)；

22

(2) RX()2e||；0。分别求其等效通能带。(注：此题应放在第4章)

1X(t)x

3.27给定实数x，定义理想门限系统的输入输出关系为Y(t)，证明：(1)

0X(t)xE[Y(t)]FX(x);(2) RY()FX(x,x,)。

第四章：白色噪声与正态随机过程

4.1 X1、X2、X3、X4是四元联合高斯分布随机变量，且E[X1]E[X2]E[X3]E[X4]0，

求证：E[X1X2X3X4]E[X1X2]E[X3X4]E[X1X3]E[X2X4]E[X1X4]E[X2X3]。 4.2 X、Y是零均值高斯随机变量，方差分别为X2、Y2，若X、Y服从联合高斯分布，

且相关系数为r，求Z=X/Y的概率密度分布函数。 4.3 (接上题)证明以下关系成立：

1arcsin(r)

 421arcsin(r)

P{X0,Y0}P{X0,Y0}

42

1arcsin(r)

P{XY0}

21arcsin(r)

P{XY0}

2P{X0,Y0}P{X0,Y0}

4.4设线性系统的冲激响应为h(t)，输入为平稳高斯过程X(t)，系统的输出过程为Y(t)，

证明X(t)与Y(t)为联合正态分布随机过程。

4.5设n维高斯分布随机矢量X[X1,X2,...,Xn]T的各个分量的均值为零，协方差矩阵为

111111...

22...2223...333(其他未注明的元素根据对称性确定) n2n2n2

n1n1

n

求X的一维与二维概率密度分布函数。

4.6功率谱密度函数为N0/2的高斯白色噪声通过一个滤波器，其传输函数为

H(j)

11j/1

求输出随机过程Y(t)在任意时刻的概率密度分布函数。

4.7白噪声的均值为0，功率谱密度为非零的常数N0，求其相关函数。

4.8理想白噪声通过截止频率为fc的理想低通滤波器(幅频特性为常数1)，求输出过程的自相关函数。

4.9设X、Y是相互统计独立的高斯随机变量，且它们具有相同的该密度N(m,2)；求随机变量U=aX+bY和V=aX-bY的互相关系数以及U、V的二维联合概率密度。

4.10并联谐振电路如图所示，iN代表噪声电流，它是白噪声，其功率谱密度为N0，且为零均值，若t=0时电路开始工作，初始条件为iL(0-)=0，v(0-)=0；研究t时刻电流iL和iR的统计特性。

4.11设X、Y为联合高斯分布的随机变量，均值分别为mX、mY，根方差分别为X、Y，互相关系数为r，已现知X=x，求Y的合理估计值。

4.12一个高斯随机过程的均值函数为mX(t)2、协方差函数为KX(t1,t2)8cos[(t1t2)]，写出t1=0,t2=1/2时刻的二维概率密度。

4.13一个平稳高斯随机过程的均值函数为mX(t)0、自相关函数为RX()出t1=0,t2=1/2、t3=1时刻的三维概率密度。

4.14设随机过程Z(t)Acos(0t)n(t)，其中A、0为常量，n(t)为零均值平稳高斯过程，相关函数为RN()，写出Z(t)的一维、二维概率密度分布函数。

4.15考虑两个随机变量的去相关处理。设Y1、Y2为相关的零均值随机变量，方差分别为12,22，互相关系数为，考察下列变换

sin()



，写

X1cos()sin()Y1Xsin()cos()Y

22

求使得变换后的变量不相关的条件。

4.16图示RC低通滤波器的输入为白色噪声，物理功率谱密度为FX()=N0(0t2>t1，有

RY(t3t1)

RY(t3t2)RY(t2t1)

RY(0)

4.17 (与第3章第26题重复)。

4.18设有二维随机矢量[X1,X2]，其概率密度为

(x1m1)22r(x1m1)(x2m2)(x2m2)21

fX(x1,x2)[]} 2222(1r)1122在椭圆

(x1m1)2

12

上概率密度为常数

2r(x1m1)(x2m2)(x2m2)22

 (为常量)

2

122



2

2(1r)

2

，称该椭圆为等概率椭圆，求随机矢量

落在等概率椭圆内的概率。

4.19设n维随机矢量X=[X1,X2,…,Xn]服从联合高斯分布，各个分量相互独立，且均值为0，随机矢量的协方差矩阵为

2a20022

a02a2

......00...0

2

求其N维特征函数

4.20 (接上题)若各个分量的之间的协方差为

Km,in|mi|

设另一随机变量Y为YXi，求Y的特征函数

i1n

4.21设3维高斯随机矢量X=[X1,X2,X3]各个分量的均值为0，其协方差矩阵的元素值为kij(i,j=1,2,3),且

k11=k22=k33=2；求(1) E[X1X2X3]，(2) E[X12X22X32]，(3)

E[(X122)(X222)(X322)]

4.22设3维高斯随机矢量X=[X1,X2,X3]的概率密度为

1

fX(x1,x2,x3)Cexp{[2x12x1x2x222x1x3x32]}

2

(1) 证明经过线性变换

11/41/2X1

X YAX012/72

010X3

得到的随机矢量Y=[Y1,Y2,Y3]，则Y1,Y2,Y3是相互统计独立的随机变量；(2)求C的值。 4.23设X1、X2是相互独立的零均值、单位方差高斯随机变量，定义二维随机矢量Y

[X1,|X2|]X10

Y[Y1,Y2]

[X1,|X2|]X10

证明：(1)Y1、Y2都是高斯分布的，(2)Y不是联合高斯分布的。 4.24设某一线性系统的单位冲激响应为

eat

h(t)

0

t0t0

(a>0)

输入N(t)为零均值白色噪声，功率谱密度为N0/2，输出为X(t)；Y(t)X(t)X(tT)，假设输入从-开始，求Y(t)的一维概率密度函数。

4.25设随机变量X、Y是联合高斯随机变量，且具有边缘概率密度fX(x)、fY(y)，

E[X]E[Y]0，E[X2]E[Y2]2，E[XY]；证明：

E[fX(X)fY(Y)]

4.26设零均值高斯随机过程X(t)的相关函数为RX()2ea||，对其进行量化处理，得到时间连续但取值离散的随机过程Y(t)，即

Y(t)iS if i



2

X(t)i



2

(i=0,1,2,...)

(1)求Y(t)的均值函数；(2)求Y(t)的一维概率密度函数。

4.27设线性系统的输入过程X(t)为零均值高斯随机过程，相关函数为

RX()2ea||(a>0)，系统的冲激响应为

ebt

h(t)

0

t0t0

(b>0,ba)

X(t)是在t=-接入系统的，(1)求在t=0时输出Y(0)大于y的概率；(2)如果在t=-T时，

X(-T)=0，求条件概率P{Y(0)y|X(T)0}(T>0)；(3) 如果在t=T时，观察到X(T)=0，求条件概率P{Y(0)y|X(T)0}(T>0)。

4.28 设有平稳高斯随机过程X(t)，其均值为0，功率谱密度函数为

S0/2||0/2

GX()0

otherwise0

求：(1)该过程在单位时间内取得极大值的平均次数；(2)极大值的概率密度分布；(3)该过程在单位时间内正穿越X=a(从水平线X=a的下方向上穿过)的次数。

4.29设有平稳实高斯过程X(t)，均值为0，相关函数为RX()，该过程依均方意义可导，其导数过程为X'(t)，求在t1,t2两个时刻X(t1),X'(t1),X(t2),X'(t2)的四维概率密度。 4.30设X(n)为均值为0、方差为2的离散白噪声，通过一个单位脉冲响应为h(n)的线性时不变离散时间线性系统，Y(n)为其输出，试证：

E[X(n)Y(n)]h(0)，Y

222

h(n)

2n0



4.31均值为0、方差为2的离散白噪声X(n)通过单位脉冲响应分别为h1(n)=anu(n)以及h2(n)=bnu(n)的级联系统(|a|

4.32设离散系统的单位脉冲响应为h(n)nanu(n) (a1)，输入为自相关函数为

RX(m)X2(m)的白噪声，求系统输出Y(n)的自相关函数和功率谱密度。 4.33序列X(n)和Y(n)满足差分方程

Y(n)X(na)X(na)

其中a为整常数，试用X(n)的相关函数表示Y(n)的相关函数。 4.34实值一阶自回归过程X(n)满足差分方程

X(n)a1X(n1)V(n)

其中a1为常数，V(n)为方差为2的白噪声，输入从n=0开始，X(1)0。

(1)证明：若V(n)均值非零，则X(n)非平稳；(2)证明：若V(n)均值为零、|a1|

4.35考察如下的二阶自回归过程X(n)

X(n)a1X(n1)a2X(n2)V(n)

(1)若已知随机过程的相关函数值RX(0)、RX(1)、RX(2)，试写出用于计算系数a1,a2以及零均值白色噪声V(n)的方差V2的Yule-Walker方程；(2)反过来，若已知a1= -1,a2=0.5,

V20.5，求RX(0)、RX(1)、RX(2)的值；(3)求相关函数的通解。

4.36察如下的二阶自回归过程X(n)

X(n)b1X(n1)b2X(n2)V(n)

零均值白色噪声V(n)的方差为

V2，|b12；求：(1)X(n)的功率谱密度；(2)根据Wold分解求X(n)的自相关函数；(3)求Yule-Walker方程

4.37考察如下的二阶MA模型，输入X(n)的功率谱密度为X2，求Y(n)的自相关函数和功率谱密度。

Y(n)X(n)a1X(n1)a2X(n2)

4.38考察如下的ARMA模型

X(n)0.9X(n1)V(n)0.2V(n1)

其中V(n)为零均值、单位方差离散白色噪声，求X(n)的自相关函数。

第五章：窄带随机过程

5.1证明：偶函数的希尔伯特变换为奇函数，奇函数的希尔伯特变换为偶函数。 5.2设一个线性系统的输入为X(t)时，相应的输出为Y(t)，证明：若该系统的输入为X(t)

ˆ(t)，则其输出为Y(t)的希尔伯特Yˆ(t)。 的希尔伯特X

5.3设功率谱密度N0/2为的零均值高斯白噪声通过一个理想带通滤波器，此滤波器的增益为1，中心频率为f，带宽为2B（Bf），滤波器输出为n(t)，求n(t)的自相关函数以及其同相分量与正交分量的自相关函数。

5.4设a(t)A(t)sin[(t)]与b(t)A(t)cos[(t)]为低频信号，即当||/2时，其频谱值为0，00/2，证明

H{A(t)cos[0t(t)]}A(t)sin[0t(t)]H{A(t)sin[0t(t)]}A(t)cos[0t(t)]

ˆ(t)的相关函数存在如下关系 5.5证明广义平稳随机过程X(t)与其希尔伯特X

ˆˆRXXˆ()RX()，RXXˆ()RX() RXˆ()RX()，RXXˆ()为奇函数

ˆ(t)，证明： 5.6设X(t)的解释信号(复信号表示)为Z(t)X(t)jX

ˆ()],E[Z(t)Z(t)]0 E[Z(t)Z*(t)]2[RX()jRX

并用X(t)的功率谱密度函数GX()来表示Z(t)的功率谱密度函数。

5.7在复随机过程Z(t)X(t)jY(t)中，如果其均值E[Z(t)]E[X(t)]jE[Y(t)]mZ为复常数，且其自相关函数E[Z(t)Z*(t)]RZ()为仅与有关的复函数，则称Z(t)为复平稳随机过程，设Ak,k1,2,...,n是n个实随机变量，k,k1,2,...,n是n个实数。试问：

Ak以及Ak之间应满足什么条件，才能使Z(t)Akejkt是一个复平稳随机过程。

k1

n

5.8考虑窄带高斯过程n(t)X(t)cos(ct)Y(t)sin(ct)，假定其物理功率谱密度对称于载频c，求概率密度f(xt,xt,yt,yt)。

5.9设复随机过程为Z(t)[icos(it)jisin(it)]，其中i、i为相互独立的零均值

i1n

实随机变量，E[i2]E[i2]i2，对于任意的ik，i、k以及i、k相互正交，求该复随机过程的自相关函数。

5.10设窄带信号X(t)的物理带宽为(c/2c/2)，证明其复包络模平方的物理带宽为(0)。

5.11设窄带平稳随机过程n(t)X(t)cos(ct)Y(t)sin(ct)，证明：

ˆ()sin() RY()Rn()cos(c)Rnc

5.12对于调频信号X(t)cos[ctm(t)]，设|dm(t)/dt|c，即为窄带信号，求该信号

的复包络与包络的表示式。

5.13设窄带平稳随机过程n(t)X(t)cos(ct)Y(t)sin(ct)，证明其自相关函数为

Rn()RX()cos(c)RXY()sin(c)

5.14设窄带平稳随机过程n(t)X(t)cos(ct)Y(t)sin(ct)，若满足：

Gn()0 (||2c)

证明X(t)的功率谱密度为

GX()Gn(c)Gn(c) (||c)

5.15将相关函数为RX()X2ea||cos(0)的窄带平稳随机过程X(t)表示为

**

X(t)AC(t)cos(0t)AS(t)sin(0t)

**

试在(1) 00，(2) 00的条件下，分别求出相关函数RC()、RS()以及RCS()。

5.16考虑随机相位正弦波与窄带平稳实高斯随机过程X(t)之和

Y(t)Asin(0t)X(t)

为(0,2)其中A、0为常数，0为窄带实平稳随机过程Y(t)的功率谱密度的中心频率，上均匀分布的随机变量，E[X(t)]0、D[X(t)]2，并假设X(t)、相互独立； (1)对每一个固定的值，求Y(t)的均值和相关函数，判断Y(t)是否为高斯过程以及平稳过程；(2)当为(0,2)上均匀分布的随机变量时，求Y(t)的均值和相关函数，判断Y(t)是否为高斯过程以及平稳过程。

5.17考虑图示RLC带通滤波器，设其品质因素Q1，输入是功率谱密度为N0/2的零均值高斯白噪声w(t)，求滤波器输出端的窄带过程n(t)及其同相分量、正交分量的功率谱密度Gn()、GnC()、GnS()，并以图示之。

5.18设A(t)为窄带平稳高斯平稳随机过程的包络，试证：

E[A(t)]

其中2为该窄带随机过程的方差。 X



X、D[A(t)](2)2

2

X

5.19设窄带信号Z(t)Acos(0t)n(t)，其中n(t)为高斯过程，为[0,2]上均匀分布随机变量，且

n(t)X(t)cos(0t)Y(t)sin(0t)

证明Z(t)的包络平方的相关函数为

RZ()A44A22424[A2RX()RX2()RXY2()]

5.20变量为卡方分布变量的2的平方根，证明n个自由度的变量的概率密度为

f()

n1e

2

/2

2(n2)/2(n/2)

5.21证明n个自由度的卡方分布2变量的m阶原点矩为

nnn2m1...m1 222

第六章：随机过程的非线性变换

6.1给定实数x和一个平稳随机过程X(t)，定义理想门限系统的特性为

1X(t)x

Y(t)

0X(t)x

试证：(1) E[Y(t)]FX(x)；(2) RY()]FX(x,x,)

6.2设平方律检波器的传输特性为yx2，在检波器输入端加入一窄带高斯随机过程

X(t)，其概率密度函数为

(xa)2

fX(x) 22X在检波器后联接一个理想低通滤波器，求低通滤波器输出过程的一维概率密度和均值；当a0时结果有何变化。

6.3设对称限幅器的特性为

X(t)x0x0Y(t)g[X(t)]X(t)x0X(t)x0

xX(t)x00

(1)已知输入随机过程X(t)的一维概率密度fX(x,t)，求输出随机过程Y(t)的一维概率密度fY(y,t)。(2)当输入随机过程X(t)为零均值平稳高斯过程、自相关函数为RX()时，求输出过程Y(t)的相关函数RY()。

6.4设有理想限幅器

1X(t)0 Y(t)g[X(t)]1X(t)0

假定输入X(t)为零均值平稳高斯随机过程。(1)求Y(t)的一维概率密度和均值；(2)用Price定理证明：RY()2

arcsin[rX()]。

6.5设有零均值高斯平稳随机过程X(t)，其自相关函数为RX()，它的一维概率分布函数为FX(x)，定义一个无记忆非线性系统Y(t)FX[X(t)]1/2，试用Price定理证明Y(t)的相关函数为

RY()R()1arcsinX 22R(0)X

6.6平方律检波器的传输特性为yx2，在检波器输入端加入一零均值平稳高斯随机过程X(t)，其方差为2，相关函数为RX()，求检波器输出过程Y(t)的一维概率密度、均值及相关函数。

6.7全波线性检波器的传输特性为y|x|，在检波器输入端加入一零均值平稳高斯随机过程X(t)，其方差为2，相关函数为RX()，(1)求检波器输出过程Y(t)的一维概率密度、均值；(2)用Price定理求输出过程Y(t)的相关函数及方差。

6.8半波线性检波器的传输特性为

yx|x|xx0 0x02

在检波器输入端加入一零均值平稳高斯随机过程X(t)，其方差为2，相关函数为RX()，

(1)求检波器输出过程Y(t)的一维概率密度、均值；(2)用Price定理求输出过程Y(t)的相关函数及方差。

6.9图示非线性系统。输入为零均值、功率谱密度为GX()N0/2的高斯白噪声X(t)，求输出随机过程Y(t)的自相关函数和功率谱密度。

6.10设随机变量X和Y是零均值、方差为2的联合高斯随机变量，其概率密度分布函数分别为fX(x)和fY(y)，且E[XY]，证明：

E[fX(X)fY(Y)]

6.11设功率谱密度为N0/2的白噪声通过一个物理带宽为/2的理想低通滤波器，在低通滤波器后接一个传输特性为yx2的平方律检波器，求检波器输出随机信号的自相关函数和功率谱密度，并将功率谱密度函数用图表示。

6.12设X(t)为均值为mX、相关函数为RX()的平稳高斯过程，将其加入到模型为

1X(t)0 Y(t)g[X(t)]1X(t)0

的理想限幅器输入端，求限幅器输出过程的自相关函数RY()。

6.13平方律检波器的传输特性为y

包络A(t)服从瑞利分布

a2

fA(a)2exp{2a0) 2ab2x，在检波器输入端加入一窄带随机信号，其中2

求检波器输出过程的一维概率密度、均值和方差。

6.14同步检波器如下图所示，设X(t)为窄带平稳随机信号，其相关函数为

2||RX()Xecos(0)sin(0||) (0) 0

求检波器输出端的相关函数及平均功率。

6.15设全波线性检波器的传输特性为y|x|，检波器的输入为aN(t)，其中a0为直流电平信号，N(t)为零均值平稳高斯随机过程，其方差为2，求检波器输入、输出端的信噪比(考虑高信噪比情况)。

第七章：马尔可夫过程

7.1设由独立随机序列Xi构成一个新的序列Yi，且定义为

Y1X1, YnCYn1Xn (n2)

试证明随机序列Yi为马尔可夫序列。

7.2设X(t)为马尔可夫过程，又设t1t2...tntn1...tnk，试证明

ftn|tn1,...,tnk(xn|xn1,...,xnk)ftn|tn1(xn|xn1)

即一个马尔可夫过程的反向也具有马尔可夫性。

7.3试证明对于任何一个马尔可夫过程，如果“现在”的X(t)值为已知，则该过程的“过

去”和“将来”是统计独立的，即如果t1t2t3，其中t2代表“现在”，t1、t3代表“过去”和“将来”，若X(t2)x2为已知，试证明

ft1,t3|t2(x1,x3|x2)ft1|t2(x1|x2)ft3|t2(x3|x2)

7.4设齐次马尔可夫链有四个状态S1、S2、S3、S4，其转移概率矩阵为

1/41/401/20100 1/201/201/41/41/41/4

(1)如果该链在第n时刻处于S3状态，求在n+2时刻处于状态S2的概率；(2) 如果该链在第n时刻处于S1状态，求在n+3时刻处于状态S3的概率。

7.5X(t)为马尔可夫过程，又设t1t2...tmtm1tm2，试证明

ftm1,tm2|t1,t2,...,tm(xm1,xm2|x1,x2...,xm)ftm1,tm2|tm(xm1,xm2|xm)

7.6一个质点沿标有整数的直线移动，经过一步从点j移动到j1的概率为p，停止在点j的概率为q，移动到j1的概率为r，且pqr1。(1)求该马尔可夫过程的一步转移概率矩阵以及二步转移概率矩阵；(2)若该质点在n时刻位于点j，求该质点在n+2时刻位于各点的概率。

7.7若质点M在(0,1,2)三个位置随机徘徊，每经一单位时间按下列概率规则改变一次位置：自0出发，下一步停留在0的概率为q，来到1的概率为p；自1出发到达0,2的概率分别为p和q；自2出发停留在2及到达1的概率分别为p和q。该马尔可夫过程的一步转移概率矩阵以及二步转移概率矩阵。

7.8若质点M在图示的反射壁间四个位置(a1,a2,a3,a4)上随机游动，在a1处向右移动一步的概率为1；在a4处向左移动一步的概率为1；在a2、a3处向左或向右移动一步的概率为1/4、停留的概率为1/2，试求在平稳情况下，质点处于各状态的概率。

7.9设X1,X2,..,Xn,...为相互统计独立的零均值随机变量构成的序列，各自的概率密度分布函数分别为fXn(xn)，定义另外一个随机变量序列{Yn}如下

Y1X1,Y2X1X2,Y3X1X2X3,..,YnX1X2X3...Xn,...

试证明：(1) 序列{Yn}具有马尔可夫性

(2) E[Yn|Y1y1,Y2y2,Y3y3,...,Yn1yn1]E[Yn1|Ynyn1]yn1

2/31/37.10设齐次马尔可夫链的一步转移矩阵为，请应用该过程的遍历性证明： 1/32/3

1/21/2[P] n1/21/2(1)nP(n)

7.11从1，2，3，4，5，6六个数中等可能地取一个数，然后还原，不断独立地连续下去，如果在前n次中所取的最大数为j，就说质点在第n步时的位置处于状态j。质点的运动构成马尔可夫链，试写出其转移概率矩阵。

7.12设有随机过程X(n)，n=1,2,3,…；它的状态空间I：{x,0

10x1...xm1xm1 f1,2,...,m(x1,x2,...,xm)(1x1)(1x2)...(1xm1)

0otherwise

(1)求边际概率密度分布f1(x1)、f2(x2)及条件概率密度f2|1(x2|x1)；(2)求转移或条件概率密度函数fj|j1(xj|xj1) (j3,4,...,m) ，并问该过程是否为马尔可夫过程。

7.13设经过RC滤波器后的高斯白噪声为Y(t)，其相关函数RY()e||，规定t3t2 t2t1，Y(t3)Y3、Y(t2)Y2、Y(t1)Y1，式中t3t2t1。试证：

fY1|Y2,Y3(y1|y2,y3)fY1|Y2(y1|y2)

7.14考察下列随机过程，确定是否为独立增量过程，如果是，求其均值与方差。

(1)随机地投掷一枚硬币，第j次投掷的结果用随机变量Xj描述：

1第j次投掷结果为正面 Xj1第j次投掷结果为反面

由此确定的累积记数过程为YnXj。

j1n

(2) Z01，随机地投掷一枚硬币，第j次投掷的结果用随机变量Zj描述：

3Xj

2ZjZj1

7.15设有一参数离散、状态连续的随机过程X(n)，n=1,2,3,…；它的状态空间I：{x, x>0} X(1),X(2),…,X(m)的联合概率密度函数为

x1x2...xm1e(xmxm1xm1xm2...x2x1x1)

f1,2,...,m(x1,x2,...,xm)00x1,...,xm1,xm otherwise

(1)求边际概率密度分布f1(x2)、f2(x2)；(2)求边际概率密度f1,2,...,m1(x1,x2,...,xm1) ；(3)求转移概率密度fm|m1(xm|xm1)，并问该过程是否为马尔可夫过程。

7.16三个黑球与三个白球，将这6个球任意等分两个袋中，并将甲袋中的白球数定义为随机过程的状态，则有四种状态：0，1，2，3；现每次从甲、乙袋中各取一球，然后相互交换，经过n次交换，过程的状态为X(n)，n=1,2,3，…；

(1)该过程是否为马尔可夫链；(2)计算其一步转移概率矩阵；(3)该链的平稳分布是否存

在，为什么？若存在，求其平稳分布；(4)若X(0)=0，求经过三次交换后甲袋中有三个白球的概率。

7.17设{X(n)}是一马尔可夫链，其状态空间为I：{0,1,2}，初始状态概率分布为

P{X(0)0}1/4,P{X(0)1}1/2,P{X(0)2}1/4

一步转移概率矩阵为

1/43/40 P 1/31/31/301/43/4

(2)(1)计算概率P{X(0)0,X(1)1,X(2)1}；(2)计算P01

7.18设有马尔可夫链，它的状态空间为I：{0，1，2}，它的一步转移概率矩阵为

10

P 1p0

100p

0

(1)试求P(2)，并证明P(4)P(2)；

(2)求P(n)，n1。

7.19设{X(n)}是一马尔可夫链，其状态空间为I：{0,1}，其一步转移概率矩阵为

p1pP  1pp

证明：

1n(2p1)2 1(2p1)n

21(2p1)n2 1(2p1)n2P(n)

7.20天气预报问题。假设今日是否下雨依赖于前3天是否有雨，请将这一问题归结为马尔可夫链。如果过去一连3天有雨，今天有雨的概率为0.8，连续3天为晴，今天有雨的概率为0.2；在其他天气情况下，今日的天气与昨日相同的概率为0.6，求这个马尔可夫链的转移矩阵。

7.21设{Xn,nN}为马尔可夫链，其状态空间I{a,b,c}，转移矩阵为

1/21/41/4 P2/301/33/52/50

(1)求P{X1b,X2c,X3a,X4c,X5a,X6c,X7b|X0c}

(2)求P{Xn2c|Xnb}

7.22设{Xn}为马尔可夫链，其状态空间I{a,b,c,d,e}，转移概率矩阵为

01/201/2001/403/40P001/302/3，求其闭集。 1/41/201/401/301/301/3

7.23确定下列马尔可夫链的状态分类，哪些属于常返的，哪些属于非常返的。其一步转移概率矩阵分别为。

0001/21/200；(2) 1/201/2(1) PP1/21/21/21/20000001101/21/201/21/2010；P 1/41/41/41/4000100

0

00 0

0001/201/201/43/401/41/21/401/21/20000；(5) P0010(4) P1/201/200001/21/201/32/30001/21/200001

7.24设N(t)为具有比率为的泊松记数过程，其相应的概率分布为

(t)k

tP{N(t)k}e k!

试求该过程的特征函数，并根据特征函数求其均值、方差。

7.25设N(t)为具有比率为的泊松记数过程，以如下方式产生一个新的随机过程X(t)，X(0)0，在N(t)过程中，每发生一事件，X(t)就变化一随机数量，对应第n次事件的随机变量为Yn，并且对应不同的事件，这些变化之间以及与N(t)间是相互独立的，这样

X(t)Yn

n1N(t)

假设每个随机变量Yn具有相同的概率密度函数fY(y)，对应的均值、均方值分别为mY、mY2，试求该过程的特征函数，并根据特征函数求其均值、方差。

7.26设N1(t)与N2(t)是两个相互独立的、比率分别为1和2的泊松过程

(1)证明NS(t)N1(t)N2(t)是比率为12的泊松过程；

(2)证明ND(t)N1(t)N2(t)不是泊松过程

7.27设在时间t内向电话总机呼唤k次的概率为k

k!e,k0,1,2,...，其中0为常数，

在任意相邻的时间间隔内的呼唤次数是相互独立的，求在2t时间内呼唤n次的概率P2(tn)。

7.28设X1、X2、…、XN是相互独立、分别服从参数为1、2、…、N的泊松分布P{Xik}ik

k!e随机变量，证明随机变量YXi服从参数为i的泊松分布。 NN

i1i1

7.29电子管中的电子发射问题。设单位时间内到达阳极的电子数目N服从泊松分布，即P{Nk}k

k!e，每个电子携带的能量构成随机序列X1、X2、…、Xk；已知各Xi间

2N

相互独立且与N相互独立，E[Xi]、D[Xi]；SXi，求S均值与方差。

i1

7.30给定一个随机过程X(t)的任意两个时刻t1'和t2'，若对于任意时刻t't1'，X(t')与

X(t2')X(t1')统计独立，试证明X(t)为马尔可夫过程。

7.31多级单调谐电流放大器的频率响应特性为

(0)2K()C0exp 2

其输入端接入电流I(t)q(ttj)，q为电子的电荷，已知泊松脉冲序列Z(t)

j

(tt)的相关函数为R()j2Z()，如果中频放大器输出电流V(t)的均值mV和j

方差V2都可以测出，求输入脉冲列每秒的平均个数。

7.32已知X(t)为泊松过程，如果t2t1，且n和k为非负整数，证明：

P{X(t1)k,X(t2)nk}et2kn(t2t1)nt1k n!k!

7.33一质点沿圆周运动，圆周按顺时针等距排列3个点(0,1,2)将圆周分成3格，质点每次移动或顺时针或逆时针移动一格，顺时针前进一格的概率为1/2，逆时针退一格的概率为1/2。设X(n)代表质点经过n次游动后所处的位置，X(n)为齐次马尔可夫链。试求：(1)一步转移概率矩阵，(2)极限概率分布。

7.34一质点沿圆周运动，圆周按顺时针等距排列5个点(0,1,2,3,4)将圆周分成5格，质点每次移动或顺时针或逆时针移动一格，顺时针前进一格的概率为p，逆时针退一格的概率为1p。设X(n)代表质点经过n次游动后所处的位置，X(n)为齐次马尔可夫链。试求：(1)一步转移概率矩阵，(2)极限概率分布。