微积分的推导
乘法坐标系下的积分公式
摘要 ：本文把倍加的笛卡尔坐标系变成倍乘坐标系，因而把牛顿莱布尼茨基本微积分公式的连加运算，变成连乘运算，提出新的基本微积分公式，还给出一般的函数坐标系。
在坐标系里，如果坐标轴上的单位间隔为：
11 , , , , 1, 2, (n -1), n
n n -1
且这里的n 为整数，1作为坐标原点，把这样的坐标系称共坐标系，其图如下：
设 函数 y =f (x )在共坐标系上[a,b]有界，在[a,b]中插入若干个分 把区间[a,b]分成n 个小区间
a =x 0
[x 0, x 1], [x 1, x 2], , [x n -1, x n ]
各个小区间的长度依次为
∆x 1=x 1÷x 0, ∆x 2=x 2÷x 1, , ∆x n =x n ÷x n -1
⎛x 1⎫⎛x 2⎫⎛x 3⎫⎛x n -1⎫⎛x n ⎫⎛x n ⎫
⎪ ⎪ ⎪∆x 1⨯∆x 2⨯∆x 3⨯ ⨯∆x n -1⨯∆x n = ⨯⨯⨯ ⨯ x ⎪ x ⎪ x ⎪ x ⎪⎪⨯ x ⎪⎪= x ⎪⎪⎝0⎭⎝1⎭⎝2⎭⎝n -2⎭⎝n -1⎭⎝0⎭ 在每个小区间
[x i -1, x i ]上任取一点ξi (x i -1
M =∏f (ξi )∆S i
i =1n
f (ξi )∆S i (i =1, 2, , n ) 并做连乘
积
，记
λ=ma x {∆x 1, ∆x 2, , ∆x n }，
如果不论对[a,b]怎样划分，也不论在小区间
[x i -1, x i ]上ξi 怎样选取，只要当能λ→0时，积
M 总趋于确定的极限I ，那么称这个极限I 为函数y =f (x )在区间[a,b]上的伊积分，记作
b a
f (x )dx
。
b a
f (x )dx =M =lim ∏f (ξi )∆S i
λ→0
i =1
n
其中f (x )叫做被积函数，f (x )dx 叫做被积表达式, x 叫做积分变量，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，[a,b]叫积分区间 可得微积分基本公式为：
b a
f (x )dx =F (b )÷F (a )
.
其积分公式参考基本积分公式 同理：
设 函数 y =f (x )在[a,b]上有界，在[a,b]中插入若干个分 把区间[a,b]分成n 个小区间
a =x 0
[x 0, x 1], [x 1, x 2], , [x n -1, x n ]
各个小区间的长度依次为
∆x 1=x 1÷x 0, ∆x 2=x 2÷x 1, , ∆x n =x n ÷x n -1
⎛x 1⎫⎛x 2⎫⎛x 3⎫⎛x n -1⎫⎛x n ⎫⎛x n ⎫
⎪ ⎪ ⎪∆x 1⨯∆x 2⨯∆x 3⨯ ⨯∆x n -1⨯∆x n = ⨯⨯⨯ ⨯ x ⎪ x ⎪ x ⎪ x ⎪⎪⨯ x ⎪⎪= x ⎪⎪⎝0⎭⎝1⎭⎝2⎭⎝n -2⎭⎝n -1⎭⎝0⎭ 在每个小区间
[x i -1, x i ]上任取一点ξi (x i -1
V =
n i =1
f (ξi )∆S i (i =1, 2, , n )
的乘 积
∏ ∏∏f (ξ)∆S
i
2i =1i =1
n n n
i
λ=max {∆x 1, ∆x 2, , ∆x n }，
如果不论对[a,b]怎样划分，也不论在小区间
[x i -1, x i ]上ξi 怎样选取，只要当能λ→0时，积
M 总趋于确定的极限I ，那么称这个极限I 为函数y =f (x )在区间[a,b]上的高维伊积分，记作，
b a
f (x )d n x
即
b a
f (x )d x =V =lim
n
λ→0
n i =1
∏ ∏∏f (ξ)∆S
i
2i =1i =1
n n n
i
（1） 注： 当积分次数为分数时，这里给出一些说明
n
由分数的定义知，把n 个东西分成m 份，记做m
而对幂函数的分数形式所表示的意义为：先对x n方，在开m 次方，记做：
n
() f x =x =x
n m
x ) 因此对函数的积分次数的分数形式所表示的意义为：先对f ( 积n 次方，
x ) 在对f (求m 次导，记做：
而上述的乘法坐标系只是乘法函数坐标系的一种特例， 当坐标系里的坐标标注为： f (-n ), f (-n +1), f (-n +2), , f (n -2), f (n -1), f (n ) 则称这样的坐标系为函数f (x )坐标系，而加法和乘法式的函数坐标系分别如图
y =
b
a
f (x )d x
n m
当加法坐标系轴函数为 f (x )=x f (y )=y 时，函数坐标系就变为笛卡尔坐标系，而乘法坐标系同理。
伊积分和共坐标系的应用：
（1）伊积分在概率论上的应用
例如：在一个工厂的生产线上，产品从a 点移动到b 点的合格的概率为P ，而在点ξ处产品合格的概率为f (ξ)，且ξ∈(a . b )，求概率P
解： 首先建立共坐标系，然后把直角坐标系上的(a , b )区间，变成共坐标系的(A , B )区间，然后应用伊积分定理，求解概率P ，因此可得：
P =
B
A
f (ξ)d ξ=
F (B )F A
（2）共坐标系在函数图象和解析式上的应用 例如
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()y =x f x =x 函数画在直角坐标系里为双曲线，而画在 f (y )=y 的坐标系就为3
()f x =x 一条直线，如图一，而画在 f (y )=y 的坐标系里就为双曲线，如图（二）
结论：一个函数解析式会在不同的坐标系里表现不同的函数图象。