函数与导数解答题
【2012高考北京理18】(本小题共13分)
3
已知函数f (x ) =ax +1(a >0),g (x ) =x +bx .
2
(1)若曲线y =f (x ) 与曲线y =g (x ) 在它们的交点(1, c )处具有公共切线,求a ,b 的值; (2)当a 2=4b 时,求函数f (x ) +g (x ) 的单调区间,并求其在区间(-∞, -1]上的最大值. 解:(1)由(1,c )为公共切点可得:
f (x ) =ax 2+1(a >0) ,则f '(x ) =2ax ,k 1=2a , g (x ) =x 3+bx ,则f '(x )=3x 2+b ,k 2=3+b ,
∴2a =3+b ⎺
又f (1)=a +1,g (1)=1+b ,
∴a +1=1+b ,即a =b ,代入①式可得:⎨
⎧a =3
. b =3⎩
1
(2) a 2=4b ,∴设h (x ) =f (x ) +g (x ) =x 3+ax 2+a 2x +1
4
1a a
则h '(x ) =3x 2+2ax +a 2,令h '(x ) =0,解得:x 1=-,x 2=-;
426
a >0,∴-
∴原函数在 -∞,-⎪单调递增,在 -,-⎪单调递减,在 -,+∞⎪上单调递增 2266
⎭
⎭
⎛
⎝
a ⎫
⎛a ⎝
a ⎫
⎛a ⎝
⎫⎭
a 2a 6
a 2a
①若-1≤-,即a ≤2时,最大值为h (1)=a -;
42a a ⎛a ⎫
②若-26⎝2⎭
③若-1≥-
a ⎛a ⎫
时,即a ≥6时,最大值为h -⎪=1. 6⎝2⎭
综上所述:
a 2⎛a ⎫
当a ∈(0,2]时,最大值为h (1)=a -;当a ∈(2, +∞)时,最大值为h -⎪=1.
4⎝2⎭
【2012高考天津理20】本小题满分14分)
已知函数f (x ) =x -ln(x +a ) 的最小值为0,其中a >0. (Ⅰ)求a 的值;
(Ⅱ)若对任意的x ∈[0, +∞), 有f (x ) ≤kx 成立,求实数k 的最小值;
2
1
(Ⅲ)证明【答案】
(1)函数f (x ) 的定义域为(-a , +∞) f (x ) =x -l n (x +a ) f '(x ) =1-⇒
2
-ln(2n +1)
n
1x +a -1
==0⇔x =1-a >-a x +a x +a
'' f (x ) >0⇔x >1-a , f (x )
得:x =1-a 时,f (x ) min =f (1-a ) ⇔1-a =0⇔a =1 (2)设g (x ) =kx -f (x ) =kx -x +ln(x +1)(x ≥0)
则g (x ) ≥0在x ∈[0,+∞) 上恒成立⇔g (x ) min ≥0=g (0)(*) g (1)=k -1+ln 2≥0⇒k >0 g '(x ) =2kx -1+ ①当2k -1
2
2
1x (2kx +2k -1)
=
x +1x +1
11-2k
(*)) 时,g '(x ) ≤0⇔0≤x ≤=x 0⇒g (x 0)
22k
1
时,g '(x ) ≥0⇒g (x ) min =g (0)=0符合(*) 2
1
得:实数k 的最小值为
2
12
(3)由(2)得:x -ln(x +1) 0值恒成立
2
②当k ≥ 取x =
222
-[ln(2i +1) -ln(2i -1)]
2i -1(2i -1) 22i -1
当n =1时,2-ln3
∑2i -1-ln (2n +1)
i =1
n
2
当i ≥2时,
211
(2i -1) 22i -32i -1
1
得:
∑[2i -1-ln(2i +1) +ln(2i -1)]
i =1
n
2
【点评】试题分为三问,题面比较简单,给出的函数比较常规,因此入手对于同学们来说没有难度,第二问中,解含参数的不等式时,要注意题中参数的讨论所有的限制条件,从而做到不重不漏;第三问中,证明不等式,应借助于导数证不等式的方法进行.
2
【2012高考山东理22】(本小题满分13分) 已知函数f (x ) =
ln x +k
k 为常数,e =2.71828⋅⋅⋅是自然对数的底数),曲线y =f (x ) 在x
e
点(1,f (1))处的切线与x 轴平行. (Ⅰ)求k 的值;
(Ⅱ)求f (x ) 的单调区间;
(Ⅲ)设g (x ) =(x +x ) f '(x ) , 其中f ' (x ) 为f (x ) 的导函数. 证明:对任意
2
x >0, g (x )
解:
-ln x -k (Ⅰ)f '(x ) =,依题意,f '(1) ==0⇒k =1为所求. x
e -ln x -1
(Ⅱ)此时f '(x ) =(x >0)
e x
记h (x ) =-ln x -1,h '(x ) =-2-
x h (1)=0,
所以,当00,f '(x ) >0,f (x ) 单增; 当 x >1时,h (x )
减区间为(1,+∞) .
(Ⅲ)g (x ) =(x 2+x ) f '(x ) =x ⋅(1-x ln x -x ) ,先研究1-x ln x -x ,再研究x .
e e
① 记i (x ) =1-x ln x -x , x >0,i '(x ) =-ln x -2,令i '(x ) =0,得x =e -2, 当x ∈(0,e -2) 时,i '(x ) >0,i (x ) 单增; 当x ∈(e -2,+∞) 时,i '(x )
所以,i max (x ) =i (e -2) =1+e -2,即1-x ln x -x ≤1+e -2.
② 记j (x ) =x , x >0,j '(x ) =-,所以j (x ) 在(0, +∞) 单减, x
e e
所以,j (x )
e
综①、②知,g (x ) =x (1-x ln x -x ) ≤x (1+e -2)
e e
3