高中数学必修5常考题型:等差数列的性质
等差数列的性质
【常考题型】
题型一、等差数列性质的应用
【例1】 (1)已知{a n }为等差数列,a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=450. 求a 2+a 8的值.
(2)设数列{a n },{b n }都是等差数列.若a 1+b 1=7,a 3+b 3=21,则a 5+b 5=________.
(1)[解] ∵a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=450,
由等差数列的性质知:a 3+a 7=a 4+a 6=2a 5.
∴5a 5=450. ∴a 5=90.
∴a 2+a 8=2a 5=180.
(2)[解析] 法一:设数列{a n },{b n }的公差分别为d 1,d 2,因为a 3+b 3=(a 1+2d 1) +(b 1+2d 2) =(a 1+b 1) +2(d 1+d 2) =7+2(d 1+d 2) =21,所以d 1+d 2=7,所以a 5+b 5=(a 3+b 3) +2(d 1+d 2) =21+2×7=35.
法二:∵数列{a n },{b n }都是等差数列,
∴数列{a n +b n }也构成等差数列,
∴2(a 3+b 3) =(a 1+b 1) +(a 5+b 5)
∴2×21=7+a 5+b 5
∴a 5+b 5=35.
[答案] 35
【类题通法】
1.利用通项公式时,如果只有一个等式条件,可通过消元把所有的量用同一个量表示.
2.本题的求解主要用到了等差数列的以下性质:
若m +n =p +q ,则a m +a n =a p +a q .
对于此性质,应注意:必须是两项相加等于两项相加,否则不一定成立.例如,a 15≠a 7+a 8,但a 6+a 9=a 7+a 8;a 1+a 21≠a 22,但a 1+a 21=2a 11.
【对点训练】
1.(1)已知{a n }为等差数列,a 15=8,a 60=20,则a 75=________.
(2)如果等差数列{a n }中,a 3+a 4+a 5=12,那么a 1+a 2+„+a 7=( )
A .14
C .28 B .21 D .35
解析:法一:因为{a n }为等差数列,
所以a 15,a 30,a 45,a 60,a 75也成等差数列,其公差为d ,a 15为首项,则a 60为其第四项,
所以a 75=a 60+d ⇒a 75=24. 所以a 60=a 15+3d ,得d =4.
法二:因为a 15=a 1+14d ,a 60=a 1+59d ,
⎧a 1+14d =8,⎪所以⎨ ⎪a +59d =20,⎩1
⎧解得⎨4d ⎩15. 64a 115
644故a 75=a 1+74d =+74×=24. 1515
(2)∵a 3+a 4+a 5=12,
∴3a 4=12,则a 4=4,
又a 1+a 7=a 2+a 6=a 3+a 5=2a 4,
故a 1+a 2+„+a 7=7a 4=28. 故选C.
答案:(1)24 (2)C
题型二、灵活设元求解等差数列
【例2】 (1)三个数成等差数列,其和为9,前两项之积为后一项的6倍,求这三个数.
(2)四个数成递增等差数列,中间两数的和为2,首末两项的积为-8,求这四个数.
[解] (1)设这三个数依次为a -d ,a ,a +d ,
⎧⎪(a -d )+a +(a +d )=9,则⎨ ⎪(a -d )a =6(a +d ),⎩
⎧⎪a =3,解得⎨ ⎪d =-1. ⎩
∴这三个数为4,3,2.
(2)法一:设这四个数为a -3d ,a -d ,a +d ,a +3d (公差为2d ) ,
依题意,2a =2,且(a -3d )(a +3d ) =-8,
即a =1,a 2-9d 2=-8,
∴d 2=1,∴d =1或d =-1.
又四个数成递增等差数列,所以d >0,
∴d =1,故所求的四个数为-2,0,2,4.
法二:若设这四个数为a ,a +d ,a +2d ,a +3d (公差为d ) ,
依题意,2a +3d =2,且a (a +3d ) =-8,
3把a =1-d 代入a (a +3d ) =-8, 2
339得(1)(1) =-8,即1-d 2=-8, 224
化简得d 2=4,所以d =2或-2.
又四个数成递增等差数列,所以d >0,所以d =2,
a =-2.
故所求的四个数为-2,0,2,4.
【类题通法】
常见设元技巧
(1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和,可设这两个数为:a -d ,a +d ,公差为2d ;
(2)三个数成等差数列且知其和,常设此三数为:a -d ,a ,a +d ,公差为d ;
(3)四个数成等差数列且知其和,常设成a -3d ,a -d ,a +d ,a +3d ,公差为2d .
【对点训练】
2.已知成等差数列的四个数,四个数之和为26,第二个数与第三个数之积为40,求这个等差数列.
解:设这四个数依次为a -3d ,a -d ,a +d ,a +3d .
由题设知
⎧⎪(a -3d )+(a -d )+(a +d )+(a +3d )=26,⎨ ⎪(a -d )(a +d )=40,⎩
⎧解得⎨3d ⎩213a ,2 ⎧或⎨3d =-⎩2. 13a =,2
∴这个数列为2,5,8,11或11,8,5,2.
题型三、等差数列的实际应用
【例3】 某公司经销一种数码产品,第1年获利200万元,从第2年起由于市场竞争等方面的原因,利润每年比上一年减少20万元,按照这一规律如果公司不开发新产品,也不调整经营策略,从哪一年起,该公司经销这一产品将亏损?
[解] 由题意可知,设第1年获利为a 1,第n 年获利为a n ,则a n -a n -1=-20,(n ≥2,n ∈N *) ,每年获利构成等差数列{a n },且首项a 1=200,公差d =-20,
所以a n =a 1+(n -1) d =200+(n -1) ×(-20)
=-20n +220.
若a n <0,则该公司经销这一产品将亏损,
由a n =-20n +220<0,解得n >11,
即从第12年起,该公司经销这一产品将亏损.
【类题通法】
1.在实际问题中,若涉及一组与顺序有关的数的问题,可考虑利用数列方法解决,若这组数依次成直线上升或下降,则可考虑利用等差数列方法解决.
2.在利用数列方法解决实际问题时,一定要分清首项、项数等关键量.
【对点训练】
3.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为( )
A .1升
47升 4467 6637D. 升 33
⎧⎪a 1+a 2+a 3+a 4=3,解析:选B 设所构成的等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,则有⎨ ⎪a 7+a 8+a 9=4,⎩
⎧⎪4a 1+6d =3,即⎨⎪3a 1+21d =4. ⎩ ⎧a =22解得⎨7d =⎩66113 67则a 5=a 1+4d = 66
67故第5节的容积为升. 66
【练习反馈】
1.已知等差数列{a n },则使数列{b n }一定为等差数列的是( )
A .b n =-a n
C .b n =a n B .b n =a 2n 1D .b n =a n
解析:选A ∵数列{a n }是等差数列,∴a n +1-a n =d (常数) .
对于A :b n +1-b n =a n -a n +1=-d ,正确;对于B 不一定正确,如数列{a n }={n },则b n =
12a 2n =n ,显然不是等差数列;对于C 、D :a n 及A. a n
2.在等差数列{a n }中,已知a 4+a 8=16,则a 2+a 10=( )
A .12
C .20 B.16 D .24
解析:选B 因为数列{a n }是等差数列,所以a 2+a 10=a 4+a 8=16.
3.已知数列{a n }中,a 5=10,a 12=31,则其公差d =________.
a -a 31-10解析:d =3. 712-5
答案:3
4.在等差数列{a n }中,已知a 2+2a 8+a 14=120,则2a 9-a 10的值为________. 解析:∵a 2+a 14=2a 8,
∴a 2+2a 8+a 14=4a 8=120,
∴a 8=30.
∴2a 9-a 10=(a 8+a 10) -a 10=a 8=30. 答案:30
5.已知等差数列{a n }中,a 1+a 4+a 7=15,a 2a 4a 6=45,求此数列的通项公式. 解:∵a 1+a 7=2a 4,
∴a 1+a 4+a 7=3a 4=15. ∴a 4=5. 又∵a 2a 4a 6=45,∴a 2a 6=9,
即(a 4-2d )(a 4+2d ) =9,亦即(5-2d )(5+2d ) =9, 解得d =±2.
若d =2,a n =a 4+(n -4) d =2n -3; 若d =-2,a n =a 4+(n -4) d =13-2n .