基于SIR传染病模型的技术扩散模型的研究
管 理 工 程 学 报
Vol 20, No 1
Journal of Industrial Engineering Engineering Management
2006年第1期
基于SIR 传染病模型的技术扩散模型的研究
罗荣桂, 江 涛
(武汉理工大学管理学院, 湖北430070)
摘要:科技进步推动经济和社会发展是技术扩散来实现的, 所以研究技术扩散现象具有十分重要的理论和现实意义。于技术扩散过程类似于传染病的蔓延过程, 因此本文利用经典的传染病模型(SIR 模型) 建立了单一技术在单一企业群中扩散的SIR 技术扩散模型、单一技术在多个企业群中扩散的SIR 技术扩散模型和多种竞争技术在单一企业群中扩散的SIR 技术扩散模型, 并通过对三种模型的分析, 研究了技术扩散现象的一般规律。
关键词:SIR 模型; 技术扩散; 技术扩散模型
中图分类号:F224 文献标识码:A 文章编号:1004 6062(2006) 01 0032 04
当今社会科技进步是推动经济和社会发展的决定性力量, 许多发达国家技术进步对GDP 的贡献已达到60%~90%[1]。然而, 一项新技术, 除非得到广泛应用和推广, 否则它不以任何物质形式影响经济。
去年年底开始流行的非典型肺炎(SARS) , 由于隔离措施得当, 现在疫情已基本得到控制, 这也是利用了传染病模型中通过减少日接触率来制止传染病蔓延的原理。由此可见, 研究事物的机理, 对关键参数进行控制往往起到决定性作用。
人治愈后还会染病则为SIS 模型[8]; 如果治愈后有很强的免疫力, 即病人不会再染病, 他们就是移出者(Removed) , 该模型则称为SIR 模型[9 11]如果病人治愈后有一定的免疫力但还可能染病, 则该模型称为SIRS [12,13]模型; 如果传染病有潜伏期(latent) , 则为SILI 模型[14]; 如果潜伏期有传染性, 为SEIS 模型[15]; 相应还有SLIS, SLIRS 、SEIR 、SEIRS [16, 17]等模型。
2 单一技术在单一企业群中扩散的SIR 技术扩散
模型
由于社会总体技术进步依赖于逐个体企业的技术进步, 因此企业是技术进步的主体。如果要研究的企业群总数不变且为N , 假设此时的传染率为标准传染率[18], 则技术扩散在企业群中的扩散可由下列模型表示:
dS (t ) - I (t )
=(t ) dI (t ) I (t )
=(t ) - I (t ) dt N dR (t )
= I (t ) dt
S (t ) +I (t ) +R (t ) =N
其中, S (t ) 表示在t 时刻企业群中还未接受这种技术, 但有潜在接受能力的企业群的总数, I (t ) 表示在t 时刻企业群中已接受这种技术的企业群的总数, R (t ) 表示在t 时刻企业群中接受该技术后放弃该技术而采用了替代技术(一般是更先进的技术) 的企业群的总数, 为技术扩散的成功率, 为接受该技术后的退出率(替代技术的接受率) , N 为企业总数。S (t ) , I (t ) , R (t ) 0; N , , >0。
如果令S (0) =S 0, I (0) =I 0, R (0) =R 0, li m S (t ) =S ,
t +
t +
1 技术扩散与传染病模型
按照美国创新扩散理论权威E. M. Rogers 的定义:创新扩散是一个过程, 通过这个过程, 一项创新、通过一定的渠道、跨越一定时间, 在一个社会系统的成员中交流[2]。
Mansfield 在他的 传染 学说[3]中最早提出了技术扩散是一种传染过程, 该学说认为技术创新在企业中的扩散过程是一个模仿过程, 企业能否采用技术创新在很大程度上受其他企业采用行为的影响。采用技术创新的企业越多, 企业受到的影响就越大, 因而采用技术的可能性就越大。如同传染病的传播过程一样, 该病的患者越多, 健康人被感染的机会就越大。
国内学者也认为技术扩散是技术的传播过程, 是技术的采用者通过各种途径从扩散源获得技术的过程[4]。因此我们可以用传染病模型来研究技术扩散过程。
关于对传染病传播的数学模型的研究是从En ko (1889) 开始的[5], 1927年Kermark 和Mokendrick 建立了标准的传染病模型 SIR 模型, 此后Anderson 和May 在英国的Nature 上首次提出了传染病生态学模型[6,7]。
如果总人口分为易感染者(Susceptible) 和已感染者(Infective) , 称为SI 模型(Logistic 模型) ; 如果无免疫力, 即病
收稿日期:2004 03 22
(1)
lim I (t ) =I , lim R (t ) =R , 由方程(1) 消去dt , 可得:
t +
I =(S 0+I 0) -S +
N S
ln 0
(2)
基金项目:国家自然科学基金资助项目(70271033) ; 教育部重点科技资助项目(0092)
作者简介:罗荣桂(1943 ) , 男, 湖南常宁人, 武汉理工大学教授, 博士生导师, 主要从事复杂系统建模与优化研究。
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2006年第1期
在定义域D ={(S , I ) |S 0, I 0, S +I N }内, 有以下结论:
(1) 不论初始条件S 0、I 0、R 0如何, 最终掌握该技术的企业数为零, 即I =0。这与现实也是吻合的。因为任何企业在接受某一技术后以速率 接受新技术, 新技术必将替代旧技术, 该技术的扩散最终都会消失。最终没有接受该技术的企业的数量为S , 其在所有企业中的比例为S N , 最终采用该技术后放弃该技术而接受了更先进的技术的企业的数量。(2) 若S 0> N , 则I (t ) 先增加, 当S = N 时, I (t ) 达到最大值I m =S 0+I 0- N (1+In S 0-In N ) , 然后I (t ) 减少且趋于零。S (t ) 则单调减少至S 。若S 0
可以得出, 如果技术在一段时期内扩散, 则I (t ) 在一段时期增加, 此时S 0> N , 因此 = N 是一个阈值。由于开始时未掌握该技术的企业S 0是一定的, 通常可认为S 0 N , 因此, 要使该技术得到扩散就必须有1> , 即 - >0。如果在更先进的技术出现以前没有其它技术可代替该技术则 =0, 这时模型(1) 称为Logistic 模型。当 很小或不变时, 如果中介机构越多, 企业和机构间的交流越频繁, 那么 越大, 技术扩散现象将保持。当 很大时, 即很好的替代技术已出现, 此时原技术的扩散现象最终将消失。
其中, S i (t ) 表示在t 时刻第i 类(i =1, 2, n ) 群体中还未接受这种技术, 但有潜在接受能力的企业的总数, I i (t ) 表示在t 时刻第i 类(i =1, 2, n ) 群体中已接受这种技术的企业的总数, R (t ) 表示在t 时刻采用了替代技术的企业群的总数, N (t ) 为t 时刻的企业总数; ij 为第i 类群体向第j 类(i , j =1, 2, n ) 群体技术扩散的成功率, 为接受技术后的退出率(替代技术的接受率) , b 为新企业的产生率, d 为企业破产率(与技术扩散无关) 。S i (t ) , I i (t ) , R (t ) 0; N (t ) , b , d , ij , >0。
为了研究方便, 现假设不同种群的企业群只有两个, 即n =2。对这个只有两类群体的系统进行稳定性分析可以发现R 0= (d +min{0, - 12 21 11}) (d +min{0, - 22}) 是该系统的一个阈值, 当R 01时, 扩散现象消失平衡点不稳定。
如果非常好的替代技术已经出现, 则替代技术接受率将大于系统内部技术扩散的成功率, 即 > ii 。当其它企业群对其的扩散的成功率大于企业破产率( ij >d ) 时, 原技术扩散的现象将仍然存在。这说明即使替代技术可能很先进, 但未采用任何技术的企业仍然会接受从外部(其它企业群) 传来的原技术。当其它企业群对其的扩散的成功率小于企业破产率( ij
如果原技术暂时是领先技术, 则替代技术的接受率必将小于技术在各群体技术扩散的内部成功率, 即 > ii 。若替代技术的接受率与企业破产率之和小于技术扩散的内部成功率, 即 +d max{ 11, 22}, 当第i 类企业群向第j 类企业群扩散的成功率(i , j =1, 2且i j ) 和其内部的扩散的成功率之和小于企业群的破产率和替代技术的接受率之和时, 即 11+ 211, 也就是说外部对其的影响(其它企业群对其的扩散) 加上企业群内部的扩散要大于企业的破产率和退出率( ji + ii >d + , i j ) 。如果还有d , 即破产率大于退出率, 扩散现象将在唯
****
一的吸引子(S *1, S 2, I 1, I 2, R ) 处达到一种动态的平衡。
3 单一技术在多个企业群中扩散的SIR 技术扩散
模型
由于技术扩散是技术在最初的商业化之后的继续推广利用, 包括新技术在其潜在采用者之间传播、推广和采用的企业间扩散, 也包括在已采用企业内部继续扩大新技术应用范围。因此技术扩散可以看作是技术在同一群体之间的传播和不同群体之间的传播。对于同一区域或流域内不同的地区之间因为生产水平、R &D水平、技术开发能力的不同, 其不同地区的企业群可以看作不同的种群。以长江流域为例, 上、中、下游由于地区发展水平的不同, 其化工行业的企业群具有明显的差异性, 因此可以看作是三类不同的企业群。
由于社会经济环境不同, 不同企业群之间的技术扩散速率不应相同; 并且由于考虑的范围较大, 因此企业的总数应该是变化的[20]。所以我们可以用下面模型来表示同一区域内多个地区之间的企业群之间的技术扩散现象:
dS i (t )
=b -[ i (t ) +d ]S i (t ) i =1, 2, n dt dI i (t )
= i (t ) S i (t ) -( +d ) I i (t ) dR (t )
= I i (t ) -dR (t ) dt i =1
[19]
n
n
dN (t )
=nb -dN (t ) (3)
4 多种竞争技术在单一企业群中扩散的SIR 技术扩散模型
由于有些技术在扩散过程中实际上是处于竞争状态, 即企业有多个技术可供选择, 但是某一时刻只能选取其中的一种, 如核能开发利用的核裂变技术和核聚变技术。这里我们所定义的竞争技术与替代技术略有不同, 替代技术一般是可
i =1
S (t ) + I (t ) +
i
i i =1
j =1
n
R (t ) =N (t )
i =
n
ij I j (t )
j =1, 2, n
S j (t ) +I j (t )
罗荣桂等:基于SIR 传染病模型的技术扩散模型的研究
替代原技术的更先进更好的技术, 竞争技术基本上是同时产生的, 处在同一水平上而且在技术扩散过程中相互竞争的技术。如电脑操作系统的应用可以看作是一种技术扩散, 那么windows 和li nu x 就是两种竞争技术, 而windows2000和windowsXP 则是windows98的替代技术。基于上面设定的多种竞争技术在单一企业群中的扩散过程, 我们可用下面模型表示:
dS (t )
=b -S (t ) dt
n
5 结语
SIR 技术扩散模型在传统的技术扩散模型(Logistic 模型) 基础上, 增加讨论了替代技术对技术扩散的影响及竞争技术在技术扩散过程中的关系, 得出如下结论:
(1) 要保持扩散就必须使得所有扩散成功率的和大于替代技术的成功率与企业破产率之和, 即
-ij
i -d >
i =1
i I i (t )
-dS (t )
S +I i (t )
0(i , j =1, 2 n ) 。 的大小由企业采用替代技术的可能性决定, 因此替代技术的出现无疑使得原技术的扩散带来很大的负面影响。当各个企业在地理空间或虚拟空间的集中度越大则 越大, 同时中介机构由于能迅速准确传递创新信息, 提
(4)
供各种服务, 使交流更频繁, 因此 越大, 更有利于技术扩散。
(2) 两种竞争技术在扩散过程中的比例是由各自的技术扩散成功率 i 和初始时已接受各自技术的企业数决定的, 且随着两种竞争技术的技术扩散成功率之比 1 2呈指数变化。
另外, 由于不同企业群之间扩散成功率 ji 通常小于企业群内部技术扩散的成功率 ii , 因此企业在一个扩散成功率高的企业群中比在一个扩散成功率低的企业群中更容易接受新技术。因此要想技术扩散更有利于进行就必须满足两个条件, 即一是企业要集群, 二是要提高企业群内部扩散的成功率。
参
考
文
献
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s tability res ults
of
a
suscepti ble infective i mmune susceptible (SIRS ) epidemic model
dI i (t ) i I i (t ) =S (t ) -( i +d ) I i (t )
dt S +I i (t ) dR =dt
i =1
I (t ) -i i n
n
dR (t )
dN (t )
=b -dN (t ) dt S (t ) +
i =1
I i (t ) +R (t ) =N (t )
其中, S (t ) 、R (t ) 、N (t ) 、b 和d 等符号的意义同上文,
I i (t ) 表示在t 时刻中已接受了第i 种(i =1, 2, n ) 技术的企业的总数, i 为第i 种(i =1, 2, n ) 技术扩散的成功率, i 为接受第i 种(i =1, 2, n ) 技术后的退出率(替代技术的接受率) 。S (t ) , I i (t ) , R (t ) 0; N (t ) , b , d , i , i >0。
为了讨论方便起见, 假设只有两种竞争技术, 且企业群的总数不变, 令I 1+I 2+S =N ; 假设没有新增企业和破产企业, 没有替代技术, 即b =0, d =0, i =0(i =1, 2, n ) 。因此可得到两种竞争技术的下列关系:
dI 1 S +I 2 I (N -I 1) 1I 1
= =112122222令I 1(0) =I 10, I 2(0) =I 20, c =得
I 1=
N
121+c (N I 2-1) (6)
N I 10
-1
N
-1I 20
(5)
12
,
由式(6) 可知, 两种技术在扩散过程中的比例关系由参数c 、 而c 由I 10和I 20决定, 即初始时分别掌握1和 2决定。了两种技术的企业数量。当两种技术的扩散成功率相同(即 1= 2) 时, 如果开始时已掌握了第一种技术的企业数量大于已掌握了第二种技术的企业数量(即I 10>I 20) , 此时c 0, d 2I 1 dI 2因此掌握第一种技术的企2
, I 2( ) =
(1+
) 。如果第一种技术的扩散成功率大于第二种( 1> 2) , 则开始时无论已掌握了第一种技术的企业数量多(c >1) 还是已掌握了第二种技术的企业数量多(c 0, d 2I 1 dI 22>0, 因此掌握第一种技术的企业与掌握第二种技术的企业数量之比I 1 I 2逐渐增加。这说明, 决定两种竞争技术扩散速率的还是各自的扩散成功率 进一步说, 一i 。种技术要保持扩散必须使得 i - i -d >0。
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The Research of Technology Diffusion Model Based on the SIR Epidemic Model
LUO Rong gui, JIANG Tao
(School of Management, Wuhan University of Technology, Wuhan 430070, China)
Abstract :The progress of science and technology result in the development of society and economy , the realization of which predominantly depends on the technology di ffusion. Because the technology di ffusion is very si milar to the spread of i nfectious diseases, this paper formulated the SIR model of single technology diffusing in one enterprise cluster, the SIR model of single technology diffusing in several enterprise clusters and the SIR model of several technologies di ffusi ng in one enterprise cluster by applying the classical epidemic model (SIR model). Through the analyses to the three kinds of models, the general regularity of the technology di ffusi on phenomena was studied. Key words :SIR model; technology diffusion; technology diffusion model
责任编辑:杜 健